内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗达拉特旗第一中学2024-2025学年高二上学期第一次学情诊断（9月）数学试题

这是一份内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗达拉特旗第一中学2024-2025学年高二上学期第一次学情诊断（9月）数学试题，共13页。试卷主要包含了5，D错误，68）等内容，欢迎下载使用。
达旗一中2024-2025秋季学期高二年级第一次学情诊断
数 学
总分：150分；考试时间：120分钟
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的班级、姓名填写在答题卡上，并在指定位置粘贴条形码。
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号。回答非选择题时，应使用0.5毫米的黑色墨水签字笔将答案写到答题卡上，且必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知复数z满足2-iz=3+i，则z的虚部是（ ）
A．-1B．1C．-iD．i
2．若一组数据a1,a2,a3的平均数为4，方差为3，那么数据2a1+2、2a2+2、2a3+2的平均数和方差分别是（ ）
A．10，12B．10，14C．4，3D．6，3
3．设x,y∈R,a=1,1,1,b=1,y,z,c=x,-4,2，且a⊥c,b∥c，则2a+b=（ ）
A．22B．0C．3D．32
4．设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（ ）
A．若，是对立事件，则P(AB)=1
B．若A，B是互斥事件，，则P(A+B)=16
C．若P(A)=13,P(B)=12，且P(AB)=13，则，是独立事件
D．若，是独立事件，P(A)=13,P(B)=23，则P(AB)=19
5．已知A0,-1，B0,23-1，过点P-2,-1的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A．0,π6 B．0,π3 C．0,π6 D．0,π3
6．在空间直角坐标系中，直线l经过A3,3,3、B0,6,0两点，则点P0,0,6到直线l的距离是（ ）
A．62B．23C．26D．32
7．已知平行六面体中，棱两两的夹角均为，AA1=2AB,AB=AD，E为中点，则异面直线BA1与D1E所成角的余弦值为（ ）
A．B．
C．D．
8．已知点均在球O上，AB=BC=3，AC=3，若三棱锥D-ABC体积的最大值为334，则球O的体积为（ ）
A．32π3B．16πC．32πD．16π3
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
9．已知一组样本数据x1，x2，…，x20x1≤x2≤…≤x20，下列说法正确的是（ ）
A．该样本数据的第60百分位数为x12
B．若样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其平均数大于中位数
C．剔除某个数据xi（i=1，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差
D．若x1，x2，…，x10的均值为2，方差为1，，x12，…，x20的均值为6，方差为2，则x1，x2，…，x20的方差为5
10．已知函数f(x)=cs2x-π3，则下列结论正确的是（ ）
A．y=f(x)的图象关于点π6,0对称
B．f(x)在π6,π4上单调递减
C．若f(x)=14，则sin2x+π6=14
D．为了得到函数f(x)=cs2x-π3的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移π3个单位长度
11．如图，P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列正确的有（ ）
A．当P在平面内运动时，四棱锥的体积不变
B．当P在线段AC上运动时，与所成角的取值范围是
C．使得直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π+42
D．若F是棱A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，
且PF∥平面B1CD1时，PF的最小值是5
三.填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知甲袋中有2个白球、3个红球、5个黑球；乙袋中有4个白球、3个红球、3个黑球，各个球的大小与质地相同．若从两袋中各取一球，则2个球颜色不同的概率为 ．
13．过A4,a、Ba-1,3两点的直线与过C2,3、D-1,a-2两点的直线垂直，则 .
14．在平面直角坐标系xOy中，M3,1,N1,3，点Px,y是线段MN上的动点，设，则3x+yx2+y2+sinθ的最大值为 .
四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
∆ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsB+bcsA=77ac，sin2A=sinA.
(1)求及a；
(2)若，求边上的高.
16．（15分）
在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
(1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数；
(2)求a的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数；
(3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为23，乙复赛获优秀等级的概率为34，丙复赛获优秀等级的概率为12，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率．
17．（15分）
已知，其中向量，
(1)求fx的最小正周期以及其在0，π的单调增区间；
(2)在∆ABC中，角的对边分别为，若，求角B的值．
18．（17分）
已知四棱柱中，底面为梯形，，平面，，其中AB=AA1=2,AD=DC=1．是的中点，是DD1的中点．
(1)求证平面；
(2)求平面与平面的夹角余弦值；
(3)求点到平面的距离．
19．（17分）
如图，在四棱锥P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点．
（1）求证：CD⊥平面PAD；
（2）若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．
（3）设CG与平面AEF所成角为，求的范围。
达旗一中2024-2025秋季学期高二年级第一次学情诊断
数学 参考答案
1．【答案】B
【解析】2-iz=3+i，则z=3+i2-i=3+i2+i2-i2+i=5+5i5=1+i，虚部为1
2．【答案】A
【解析】ai的均数和方差分别是a和s2，则kai+b的均数和方差分别是ka+b和k2s2
3．【答案】D
【解析】a⊥c有a∙c=x-4+2=0，解得x=2，b∥c有x1=-4y=2z，解得y=-2，z=1，故2a+b=3,0,3，2a+b=32
4．【答案】C
【解析】若A、B是对立事件，则P(AB)=0，A错误；若A，B互斥，P(A)=13，P(B)=12，则有P(A+B)=56，B错误；若P(A)=13,P(B)=12，且P(AB)=13，则P(A)=23,P(B)=12，PAB=P(A)P(B)，故A、B相互独立，C正确；若，是独立事件，P(A)=13,P(B)=23，则PAB=PAPB=29，D错误
5．【答案】D
【解析】由图可知直线l的斜率介于PA与PB之间，其斜率范围为0,3，倾斜角的范围是0,π3
6．【答案】C
【解析】AB=-3,3,-3，PB=0,6,-6，取直线l的方向向量为l=1,-1,1，则点P0,0,6到直线l的距离是d=PB2-PB∙l|l|2=72--1232=24=26
7．【答案】D
【解析】连接CD1、CE、B1D1，可知CD1∥A1B
则∠CD1E（或其补角）大小与异面直线BA1与D1E所成角相等
设AB=a，则三角形B1C1D1为等边三角形，底边上的中线D1E=32a,
CD1=a2+2a2-2∙a∙2a∙cs60°=3a，
CE=a22+2a2-2∙a2∙2a∙cs60°=132a，
故cs∠CD1E=CD12+D1E2-CE22CD1∙D1E=34a2+3a2-134a22∙3a∙32a=12a23a2=16
另法：设AB=a，故BA1=AA1-AB，D1E=AB-12AD，故
BA1=AA12-2AA1∙AB+AB2=4a2-22a∙a∙cs60°+a2=3a,
D1E=AB2-AB∙AD+14AD2=a2-a∙a∙cs60°+14a2=32a,
BA1∙D1E=AA1-AB∙AB-12AD=AA1∙AB-12AA1∙AD-AB2+12AB∙AD=-14a2,
故所求角的余弦值为|BA1∙D1E|BA1∙D1E=16
8．【答案】A
【解析】由AB=BC=3，AC=3，可知cs∠ABC=AB2+BC2-AC22AB∙BC=-12，
则∠ABC=23π，三角形ABC的面积S=12AB∙BCsin∠ABC=343，
外接圆O1的半径r=AC2sin∠ABC=3，
而三棱锥D-ABC体积的最大值为334，
故三棱锥的高（点D到平面ABC的距离）最大为h=3VS=3，
此时D的位置必然满足在OO1的连线上，设球O的半径为R，
则O1D-OD2+O1A2=OA2，即3-R2+3=R2，解得R=2
则球O的体积为43πR3=32π3
9．【答案】BC
【解析】样本数据中的20个数字按顺序排列，因20×60%=12，则的第60百分位数为x12+x132，A错误；平均数比中位数更容易受极端值影响，因频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则其极端值集中于较大一侧，平均数大于中位数，B正确；极差为最大值与最小值的差值，剔除某个数据xi（i=1，2，…，20）后得到新样本数据的极差不大于原样本数据的极差，C正确；若x1，x2，…，x10的均值为2，方差为1，，x12，…，x20的均值为6，方差为2，则x1，x2，…，x20的方差为5，则总体平均数x=10×2+10×620=4，方差s2=12010×1+4-22+10×2+6-42=5.5，D错误
10．【答案】BC
【解析】fπ6=cs0=1，故A错误；x∈π6,π4时，2x-π3∈0,π6，f(x)单调递减，B正确；若fx=cs2x-π3=14，则sin2x+π6=sin2x-π3+π2=cs2x-π3=14，C正确；为了得到函数f(x)=cs2x-π3的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移π6个单位长度，D错误
11．【答案】AC
【解析】当P在平面BCC1B1内运动时，
点P到平面AA1D1D的距离等于正方体的棱长2，
则棱锥P-AA1D1D体积不变，A正确；
连接AC、A1C1、AD1、CD1，取AC中点M，连接D1M，
易知面对角线AC与A1C1平行且相等，AC、AD1、CD1围成等边三角形，
故D1P与A1C1所成角与D1P与AC所成角大小相等，
当P与M重合时，二者垂直，成角为π2，
当P与M不重合时，成角即图中的∠D1PM，
综上， D1P与A1C1所成角的取值范围是π3,π2，B错误；
当直线AP与平面ABCD所成的角为45°时，
点P在以AA1为轴线、母线与轴线夹角45°的圆锥侧面上，
其与正方体表面的交线为线段AB1、AD1与弧B1D1（圆心在A1），
长度为22+22+π2×2=π+42，C正确；
取BB1中点G、BC中点H、CD中点I，AB中点J，
可知平面FGHI∥平面B1CD1，则此时P的轨迹为线段HI，
且HI⊥HJ、HI⊥FJ，可证HI⊥平面HFJ，所以FH⊥IH，
故P与H重合时，PF最短，其最小值为6，D错误。
另法：以A为原点、AB、AD、AA1为三坐标轴正方向建立直角坐标系，则F1,0,2，I1,2,0，H2,1,0，FP=FI+IP=FI+λIH=0,2,-2+λ1,-1,0=λ,2-λ,-20≤λ≤1
则FP=λ2+2-λ2+4=2λ2-4λ+8=2λ-12+6，当λ=1时，PF取最小值6。
12．【答案】1725（或0.68）
【解析】P2个球颜色不同=1-P2个球颜色相同=1-15×25-310×310-12×310=1725
已知甲袋中有2个白球、3个红球、5个黑球；乙袋中有4个白球、3个红球、3个黑球，各个球的大小与质地相同．若从两袋中各取一球，则2个球颜色不同的概率为 ．
13．【答案】0或5
【解析】两直线的方向向量分别为AB=a-5,3-a、CD=-3,a-5，故AB∙CD=-3a-5+3-aa-5=-aa-5=0有a=0或5，且两种情况下A、B与C、D均不重合
14．【答案】5
【解析】计算可知OM、ON的斜率分别为33、3，倾斜角分别为π6、π3，
故∠MON=π6，0≤θ≤π6，观察可知OM∙OP=3x+y，
则3x+yx2+y2=OM∙OP|OP|=2OM∙OP|OM||OP|=2csθ，
故3x+yx2+y2+sinθ=2csθ+sinθ=5sinθ+φ，
其中tanφ=2，在0≤θ≤π6时，0≤tanθ≤33，
故当θ=π2-φ，即tanθ=12时，取最大值5
另法：易知OP的倾斜角α=θ+π6，则根据三角函数定义，3x+yx2+y2+sinθ=3xx2+y2+yx2+y2+sinθ=3csθ+π6+sinθ+π6+sinθ=2csθ+sinθ=5sinθ+φ，其余同上
四.解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）
【答案】（1）△ABC中A∈0,π，sinA>0，A+B+C=π
由sin2A=2sinAcsA=sinA可知csA=12，A=π3（3分）
由acsB+bcsA=77ac得sinAcsB+sinBcsA=sinA+B=77asinC
得a=7（6分）
（2）若b-c=2有b2-2bc+c2=4
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccsA=b2+c2-bc=7
故bc=3（10分）
边上的高为h=2Sa=bcsinAa=32114（13分）
16．（15分）
【答案】（1）从图中可知组距为10，则40-50、50-60的频率分别为0.1、0.15
从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时
成绩不高于50分的人数为10×0.10.1+0.15=4（人）（2分）
（2）由图可知0.1+0.15+0.15+10a+0.25+0.05=1
解得a=0.030（4分）
使用组中值与频率可估计
平均数为0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.05×95=71（7分）
设估计的中位数为m，则0.4+m-7010×0.3=0.5，得m=2203（10分）
（3）记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件A、B、C，则
P（三人中至少有两位同学复赛获优秀等级）=PABC+PABC+PABC+PABC
=23×34×12+13×34×12+23×14×12+23×34×12=14+18+112+14=1724 （15分）
17．（15分）
【答案】（1）fx=a∙b=3sin2x+cs2x=2sin2x+π6（2分）
最小正周期T=2π2=π（4分）
其增区间满足2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2k∈Z
即kπ-π3≤x≤kπ+π6k∈Z（6分）
令k=0，有-π3≤x≤π6，令k=1，有2π3≤x≤7π6
故fx在0,π上的单调增区间为0,π6和2π3,π（9分）
（2）fA4=2sinA2+π6=3时，有sinA2+π6=32
而△ABC中A∈0,π，A2+π6∈π6,2π3，故A2+π6=π3，A=π3（12分）
由正弦定理sinB=bsinAa=12，得B=π6或5π6（舍）（15分）
18．（17分）
【答案】（1）以A为原点，AB、AD、AA1为三轴正方向，建立坐标系（1分）
则各点坐标为B2,0,0、B12,0,2、C1,1,0、C11,1,2、
D0,1,0、D10,1,2、M0,1,1、N32,12,2
则MC=1,0,-1，MB1=2,-1,1
设平面CB1M的法向量为n=x,y,z
则MC∙n=x-z=0MB1∙n=2x-y+z=0，
令x=1，有y=3，z=1，故n=1,3,1（4分）
而D1N=32,-12,0，D1N∙n=0
又因为EM⊂平面CB1M，ND1⊄平面CB1M
故ND1∥平面CB1M（8分）
（2）由（1）可知B1C1=-1,1,0，BB1=0,0,2
设平面BB1C1C的法向量为m=x',y',z'
则B1C1∙m=-x'+y'=0BB1∙m=2z'=0，令x'=1，有y'=1，z'=0，故m=1,1,0（11分）
则平面CB1M与平面BB1C1C的夹角余弦值csθ=|m∙n|m|n|=411×2=22211（14分）
（3）点B到平面的距离d=|BB1∙n||n|=211=21111（17分）
另法：取B1C的中点E，连接EN、EM
因为M是DD1的中点，N是B1C1的中点，则NE ∥ 12CC1，
而CC1 ∥ DD1，即NE ∥ D1M，故四边形NEMD1为平行四边形
所以ND1 ∥ EM，而EM⊂平面CB1M，ND1⊄平面CB1M
故ND1∥平面CB1M（4分）
（2）作MF⊥B1C于F，FG⊥B1C交CC1于G，C1H⊥B1C于H,连接MG
因为MC=2，B1C=B1M=6，
故cs∠B1CM=36，CF=66，MF=666
又因为B1C1=2，CC1=2，
所以B1C=6，C1H=233，CH=236
故FGC1H=CFCH=CGCC1=14，可得FG=36，MG=52
则cs∠MFG=MF2+FG2-MG22MF∙FG=22211（12分）
（3）连接BD、BM、B1D
因为DD1∥平面BB1C1C，故dM-BB1C1C=dD-BB1C1C,
所以VM-BB1C=VD-BB1C=VB1-BCD=13SBCD∙BB1=13×12×1×1×2=13
而sin∠B1CM=1-cs2∠B1CM=336，
SB1CM=12B1C∙CM∙sin∠B1CM=12×6×2×336=112，
点B到平面的距离d=3VB-B1MCSB1CM=21111（17分）
（注：如果（1）不使用空间向量方法，（2）开始建立坐标系，则（1）中建立坐标系的1分、求平面CB1M法向量n的3分转移至（2），按照（1）4分、（2）10分、（3）3分计分）
19．（17分）
【答案】（1）因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD
又因为AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内相交直线，故CD⊥平面PAD（4分）
另法：因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD，二者交线为AD
又因为AD⊥CD，CD⊂平面ABCD，故CD⊥平面PAD
（2）以A为原点，DC、AD、AP为三轴正方向，建立直角坐标系（5分）
则各点坐标为A0,0,0、B2,-1,0、C2,2,0、D0,2,0、
P0,0,2、E0,1,1、F23,23,43、G43,-23,23
向量坐标AE=0,1,1、AF=23,23,43、AG=43,-23,23
设平面AEF的法向量为n=x,y,z
则AE∙n=y+z=0AF∙n=23x+23y+43z=0，令y=1，有x=1，z=-1，故n=1,1,-1（8分）
而AG∙n=0，且AE、AF、AG有公共点A，故直线AG在平面AEF内（10分）
另法：设直线AG在平面AEF内，则∃λ,μ∈R且λ2+μ2≠0，使得AG=λAE+μAF
则有43=23μ-23=λ+23μ23=λ+43μ，解得λ=-2μ=2，则假设成立，直线AG在平面AEF内
（3）由（2）可知BP=-2,1,2，
设BG=kBP=-2k,k,2k0≤k≤1
则CG=CB+BG=-2k,k-3,2k0≤k≤1
故sinθ=csCG,n=CG∙nCGn=-2k+k-3-2k4k2+k-32+4k2∙3
=|3k+3|9k2-6k+9∙3=|k+1|3k2-2k+3=k+123k2-2k+3，
令t=k+1∈1,2，则sinθ=t23t-12-2t-1+3=t23t2-8t+8=18t2-8t+3=181t-122+1
而1t-12∈0,12，81t-122+1∈1,3，故sinθ∈33,1（17分）
（注：如果（1）使用空间向量方法，则（2）中建立坐标系的1分移至（1），按照（1）5分、（2）5分、（3）7分计分，如果（2）中未求平面AEF的法向量，而是使用平面向量基本定理完成的，则（2）中求法向量的3分移至（3），按照（1）4分、（2）3分、（3）10分计分）