四川省成都市武侯区西川实验学校2024-2025学年九年级上学期入学数学试题

这是一份四川省成都市武侯区西川实验学校2024-2025学年九年级上学期入学数学试题，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知关于的方程的一个根为，则实数的值为（ ）
A．2B．C．1D．
3．下列因式分解结果正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．反比例函数的图象经过点，下列各点在此反比例函数图象上的是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在矩形中，对角线交于点，，则的长是（ ）
A．4B．2C．D．
6．如图，若点是线段的黄金分割点，则的长是（ ）
A．3B．C．D．
7．下列判断错误的是（ ）
A．有两组邻边相等的四边形是菱形
B．有一角为直角的平行四边形是矩形
C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
D．矩形的对角线互相平分且相等
8．如图，若设从2019年到2021年我国海上风电新增装机容量的平均增长率为，根据这个统计图可知，应满足（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
9．已知，则____________．
10．若点向上平移3个单位后得到的点在轴上，则的值为____________．
11．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是____________．
12．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点两点，当时，则自变量的取值范围是____________．
13．如图，先将一张正方形纸向上对折、再向左对折，然后沿着图中的虚线剪开，得到①②两部分，将①展开后得到的平面图形是______．
14．若，则的值为____________．
15．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是____________．
16．如图，点是函数图象上两点，过点作轴，垂足为点交于点．若的面积为3，点为的中点，则的值为____________．
17．如图，正方形中，点分别是边上的两个动点，且正方形的周长是周长的2倍．连接分别与对角线交于点，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，则；④若，则．其中正确结论的序号为____________．
18．如图，在中，为上一点，且满足，过作交延长线于点，则____________．
三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19．（本小题8分）
计算：（1）解方程；
（2）
20．（本小题8分）
在如图所示的平面直角坐标系中，的顶点分别为．
（1）画出关于点成中心对称的；
（2）在（1）条件下，连接，四边形的形状是____________；
（3）在网格内存在点，使点构成平行四边形，请写出所有符合条件的点的坐标____________．
21．（本小题8分）
“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑”．自古以来荡秋千深受孩子们喜爱如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到0．1m；参考数据，）
22．（本小题8分）
如图，在中，的平分线交边于点，已知．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23．（本小题8分）
已知：图形上任意一点图形上任意一点，若点与点之间的距离始终满足，则称图形与图形相离．
（1）已知点．
①与直线为相离图形的点是____________；
②若直线与相离，求的取值范围．
（2）设直线、直线及直线围成的图形为，图形是边长为2的正方形，且正方形的各边分别与两坐标轴平行，该正方形对角线的交点坐标为，直接写出图形与图形相离时的取值范围．
24．（本小题8分）
食堂午餐高峰期间，同学们往往需要排队等候购餐、经调查发现，每天开餐时，约有400人排队，接下来，不断有新的同学进入食堂排队，队列中的同学买到饭后会离开队列．食堂目前开放了4个售餐窗口（规定每人购餐1份），每分钟每个窗口能出售午餐15份，前分钟每分钟有40人进入食堂排队购餐．每一天食堂排队等候购餐的人数（人）与开餐时间（分钟）的关系如图所示，
（1）求的值．
（2）求开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候的人数．
（3）若要在开始售餐7分钟内让所有的排队的学生都能买到，以便后来到同学随到随购，至少需要同时开放几个窗口？
25．（本小题8分）
如图1，直线交轴于点，交轴于点．直线关于轴对称的直线交轴于点，直线经过点．
图1 图2
（1）①求线段的长；
②求出直线的函数表达式；
（2）点分别在直线上．若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标；
（3）如图2，点在轴上，过点作直线轴，交直线于点，点在四边形内部，直线交于点，直线交于，求的值．
26．（本小题8分）
阅读以下材料：
【问题情境】如图1，在正方形中，为边上一点，为延长线上一点，且．
（1）与之间有怎样的数量和位置关系？请说明理由．
【类比迁移】
（2）如图2，在矩形中是边上一点，将沿翻折得到，延长交延长线于点．线段与具有怎样的数量和位置关系？请证明你的猜想；
【拓展提升】
（3）如图3，在菱形中，是上一点，绕点顺时针旋转得，绕点顺时针旋转得，当时，求四边形的面积．
图1 图2 图3
答案和解析
1．【答案】D
【解析】解：A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．【答案】C
【解析】解：把代入方程得：，解得．
故选：C．
方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于的方程，从而求得的值．
本题主要考查了方程的解的定义．就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
3．【答案】C．
【解析】解：A、原式，故本选项不符合题意．
B、原式，故本选项不符合题意．
C、原式，故本选项符合题意．
D、原式，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据提公因式法、平方差公式以及十字相乘法进行解答．
本题主要考查了提公因式法、平方差公式以及十字相乘法因式分解，属于基础题．
4．【答案】C
【解析】解：设反比例函数解析式为，
反比例函数的图象经过点，
，
，
点在此反比例函数图象上，
故选：C．
根据反比例函数的图象经过点，求出反比例函数解析式，只要各点坐标乘积等于比例系数即为函数图象上的点．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．
5．【答案】B
【解析】解：四边形是矩形，对角线交于点，
，
又，
是等边三角形，
，
，
，
，
故选：B．
根据矩形的对角线互相平分且相等结合得出三角形是等边三角形，再通过解直角三角形即可求解．
本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，正确得出三角形是等边三角形是解题的关键．
6．【答案】D
【解析】解：点是线段的黄金分割点，
，
故选：D．
根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
7．【答案】A
【解析】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，错误，符合题意；
B、有一角为直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，正确，不符合题意；
D、矩形的对角线互相平分且相等，正确，不符合题意；
故选：A．
根据正方形的性质和判定解答．
考查正方形的判定，通过这道题可以掌握正方形对角线，边和角的性质以及正方形和矩形，菱形的关系．
8．【答案】C
【解析】解：依题意得：．
故选：C．
利用2021年我国海上风电新增装机容量年我国海上风电新增装机容量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
9．【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
直接利用合比性质计算．
本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．
10．【答案】
【解析】解：点向上平移3个单位，
点向上平移3个单位，
点在轴上，
，解得：，
故答案为：．
先平移点，再根据轴上点纵坐标为0列式求解即可得到答案．
本题考查点的平移及坐标轴上点的运算，正确记忆相关知识点是解题关键．
11．【答案】
【解析】解：根据题意得，解得．
故答案为．
利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
12．【答案】或
【解析】解：由图象可知，当时，的取值范围为或，
故答案为：或．
根据图象直线在反比例函数图象的上方部分的对应的自变量的值即为所求．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
13．【答案】菱形
【解析】解：由折叠过程可得，该四边形的对角线互相垂直平分，
故将①展开后得到的平面图形是菱形．
故答案为：菱形．
解答该类剪纸问题，通过自己动手操作即可得出答案；或者通过折叠的过程可以发现：该四边形的对角线互相垂直平分，继而进行判断．
此题考查了剪纸问题以及正方形的性质，利用对称设计图案以及菱形的判定，关键是根据对折实际上就是轴对称性质的运用进行解答．
14．【答案】8
【解析】解：由，得，
原式
故答案为：8．
把当整体代入求值，通过两次代入解题．
本题考查分解因式的应用，同时也要熟练运用整体代入的方法，快速分析出所需代入的整体是解题的关键．
15．【答案】且
【解析】解：，
方程的解为非负数，
，
的取值范围为且，
故答案为：且．
先解分式方程得，再由题意可得，从而求解即可．
本题考查分式方程的解以及解一元一次不等式，熟练掌握分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键．
16．【答案】
【解析】解：设点，
为的中点，
，
轴，
的面积为3，
，
．
，
故答案为：．
先设出点的坐标，进而表示出点的坐标，利用的面积建立方程求出，即可得出结论．
本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．
17．【答案】②
【解析】解：正方形的周长是周长的2倍，
若，则，故①错误；
如图，在的延长线上取点，使得，
在正方形中，，在和中，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
则，故②正确；
如图，作于点，连接，
在和中，
，
同理，，
，
点关于对称轴，关于对称，
，
，即是直角三角形，
若，
，
在中，，故③错误；
，且，
在中，，
且，
即，
，
，故④错误，
综上，正确结论的序号为②，
故答案为：②．
根据已知条件可得，即可判断①，进而推出，判断②正确，作于点，连接，证明是直角三角形，结合勾股定理验证③，证明，即可判断④．
本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，全等三角形的性质与判定，题目有一定综合性，通过添加辅助线构造全等三角形是解题关键．
18．【答案】
【解析】解：方法一：如图，过点作于点，作于点，
设，则，
，
，
，
在中，，
在中，，
故答案为：．
方法二：如图过作于点于点，
同方法一，
设，则，
在中，，
在中，，
，
有射影定理可知：，
．
故答案为：．
方法三：如图所示建立直角坐标系，
由前述方法可得，
解析式：，
解析式为：，
，
解析式为：，
联立和解析式得：
．
故答案为：．
根据问题分析：要求的值，可能需要构造相似或者平行线分线段成比例，所以作于点，从而将转化成，再根据题中条件去求解即可．
本题主要考查了解直角三角形、平行线分线段成比例等知识点，作为填空压轴题有一定难度，其中熟练掌握相关知识和构造合适的辅助线是解题关键．
19．【答案】解：（1）去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验：当时，，则为原方程的增根，
所以原方程无解；
（2）原式
【解析】（1）先把方程两边乘以，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解；
（2）先利用乘方的意义和特殊角的三角函数值计算，然后合并即可．
本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
20．【答案】平行四边形或
【解析】解：（1）如图，即为所求．
（2）与关于点成中心对称，
，
四边形为平行四边形．
故答案为：平行四边形．
（3）如图，点均符合条件，
符合条件的点的坐标为或．
故答案为：或．
（1）根据中心对称的性质作图即可．
（2）根据中心对称的性质以及平行四边形的判定可得答案．
（3）结合平行四边形的判定，分别以为对角线画出平行四边形，即可得出答案．
本题考查中心对称、平行四边形的判定，熟练掌握中心对称的性质、平行四边形的判定是解答本题的关键．
21．【答案】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，
由题意得：，
在中，，
在中，，
座板距地面的最大高度约为．
【解析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22．【答案】（1）证明：平分，
（2）解：，
是直角三角形，且，
的度数是．
【解析】（1）由，得，而，则，得，所以；
（2）由相似三角形的性质得，因为，所以，求得，所以，则，所以，则．
此题重点考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理等知识，证明是解题的关键．
23．【答案】
【解析】解：（1）（1）点，
当时，，
点不在直线上，
同理，点不在直线上，点，点在直线上，
与直线相离的点是；
故答案为：；
（2）当直线过点时，
，
解得：．
当直线过点时，
，
解得：．
的取值范围是或．
（2）如图所示：
图形与图形相离时的取值范围是或或．
（1）①将四个点的坐标代入直线计算即可判断；
②根据直线经过点和点计算的值即可解答；
（2）先画出图形，再分三种情形，观察图象得出经过特殊位置的的坐标，即可解答．
本题主要考查了一次函数的性质、正方形的性质等知识，是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题是解题的关键．
24．【答案】解：（1）根据“等候购餐的人数=开餐时排队人数+前分钟新增排队人数-购餐后离开的人数”，
得，
解得，
的值是4．
（2）当时，设排队等候购餐的人数与开餐时间的关系为（为常数，且）．将坐标和代入，
得，
解得，
．
当时，，
开餐到第7分钟时食堂排队购餐等候160人；
（3）设同时开放个窗口，则，解得，
所以至少需同时开放7个售票窗口．
【解析】（1）分钟新增人，由图象可得，据此可得答案；
（2）运用待定系数法求直线的解析式，再把代入计算即可；
（3）根据题意列不等式求解．
本题考查了一次函数的应用：建立一次函数函数模型，应用一次函数的性质解决问题．
25．【答案】解：（1）①直线交轴于点，交轴于点，则点的坐标分别为：，则；
②直线关于轴对称的直线交轴于点，
则点，则，
则直线的表达式为：；
（2）设点的坐标分别为：，
当为对角线时，由中点坐标公式得：
，解得，
则点的坐标为：；
当为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
则点的坐标为：或；
则点的坐标为：或或；
（3）由点的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，
则，
同理可得：点，
则，
而，
则．
【解析】（1）①直线交轴于点，交轴于点，则点、的坐标分别为：、，即可求解；
②直线关于轴对称的直线交轴于点，则点，则，即可求解；
（2）当为对角线时，由中点坐标公式列出方程组，即可求解；当为对角线时，同理可解；
（3）由点的坐标得，直线的表达式为：，得到，求出，同理可得：点，则，即可求解．
本题考查一次函数的综合运用，涉及到平行四边形的性质、线段长度的表示方法，中点坐标公式的运用等，分类求解是解题的关键．
26．【答案】解：（1），理由如下，如图1，
图1
延长交于点，
四边形为正方形，
，
，
，
，
在和中，
，
，即；
（2），理由如图下，如图2，延长交于，
图2
由折叠得，点与点关于对称，
，即
，
在和中，
，即；
（3）如图3，连接并延长交于点，交于，过作于，交的延长线于，
图3
由旋转得，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
．
【解析】（1）延长交于点，证明，得出，在利用三角形内角和定理证明出，即可解答；
（2）延长交于，由折叠得，点与点关于对称，得出，再证明，得出；
（3）连接并延长交于点，交于，过作于，交的延长线于，证明出，得到，再证明，利用相似比求出，再求出，利用对角线互相垂直的四边形面积公式即可解答此问．
本题考查了四边形的综合，矩形性质、三角形全等、三角形相似、旋转对称性质及勾股定理的计算等知识点的应用是本题的解题关键．