4高中数学新教材一轮复习课堂导学案（直线的倾斜程度）及答案

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1.直线的倾斜角：直线向上的方向和轴正方向所夹的叫叫做直线的倾斜角.
倾斜角记为，则
2.直线的斜率：倾斜角的正切值称为斜率，记为，即（）.
注：由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线的斜率为零；当时，直线的斜率不存在．直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然．因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然．
3.过与的直线的斜率：（为直线的倾斜角）；
注：对于上面的斜率公式要注意下面五点：
(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；
(2)与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；
(3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；
(4)当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；
(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．
4.两直线与（不重合）的平行与垂直：
（1）平行：当直线的斜率分别为.若∥，则与的倾斜角与相等.由，可得，即； 当直线斜率都不存在时，倾斜角与都等于90°则∥.
（2）垂直：设两条直线的斜率分别为.若，则.
【例题】
例1.已知三条直线的倾斜角分别为，，，
则它们的斜率分别为 ， ， .
例2.如下图所示，写出图中直线（）的斜率.
A1
A2
A3
A4
A5
A6
A7
A8
A9
A10
例3.如图所示，，，则
（1） ， ， ；
（2）直线与直线是否垂直？ （填“是”或“否”）
（3）一条直线过点且与线段有公共点，则其斜率的取值范围是 ；
（4）一条直线过点且与线段有公共点，则其斜率的取值范围是 .
例4.（多选题）如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【解析】
【分析】
根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论.
【详解】
直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，
由倾斜角定义知，，，，故C正确；
由，知，，，，故B正确；
故选：BC
【直线的倾斜程度】
一、选择题
1．下列说法正确的是 (D )
A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角
C．与x轴平行的直线的倾斜角为180°
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
1. D 解析：选项A成立的前提条件为直线和x轴相交，故错误；选项B中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C中与x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确．
2．对于下列命题
①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°；
②一条直线的斜率随着倾斜角的增大而增大；
③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；
④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．
其中正确命题的个数是( B )
A．1 B．2 C．3 D．4
3．若A，B两点的横坐标相等，则直线AB的倾斜角和斜率分别是( C )
A．45°，1 B．135°，－1
C．90°，不存在 D．180°，不存在
C 解析：由倾斜角的定义知直线AB的倾斜角为90°，而当倾斜角为90°时，斜率不存在．
4．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则( D )
A．k1C．k35．已知直线经过点，，则直线的斜率为（ A ）
A．B．C．D．
6．若直线过点(1,2)，(4,2＋eq \r(3))，则此直线的倾斜角是( C )
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．以A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是( C )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形 D．以B点为直角顶点的直角三角形
6. C 解析 kAB＝eq \f(－1－1,2＋1)＝－eq \f(2,3)，kAC＝eq \f(4－1,1＋1)＝eq \f(3,2)， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角．
8．如果过P（-2，m）,Q（m，4）两点的直线的斜率为1，那么m的值是（ A ）
A．1B．4C．1或3D．1或4
9．（2022·全国·高二课时练习）设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或B．或
C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】
如图所示：
，要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，
故选：A
10．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由，得到，结合正切函数的性质，即可求解．
【详解】
由题意，直线的倾斜角为，则，
因为，即，
结合正切函数的性质，可得．
故选：B．
二、填空题
11．已知直线经过两点，，则直线的斜率为 3 .
12．若直线AB与y轴的夹角为60°，则直线AB的倾斜角为__30°或150°___，斜率为____eq \f(\r(3),3)或－eq \f(\r(3),3)___．
13.已知点，点在轴上，若直线的斜率为，则点的纵坐标是 ．
14．（2022·天津天津·高二期末）若直线l经过A(2，1)，B(1，)两点，则l的斜率取值范围为_________________；其倾斜角的取值范围为_________________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据直线l经过A(2，1)，B(1， )两点，利用斜率公式，结合二次函数性质求解；设其倾斜角为，，利用正切函数的性质求解.
【详解】
因为直线l经过A(2，1)，B(1， )两点，
所以l的斜率为，
所以l的斜率取值范围为，
设其倾斜角为，，则，
所以其倾斜角的取值范围为，
故答案为：，
三、解答题
15．已知A(－1,1)，B(1,1)，C(2，eq \r(3)＋1)，
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段AB(包括端点)上移动时，求直线CD的斜率的变化范围．
10.解 (1)由斜率公式得kAB＝eq \f(1－1,1－－1)＝0，kAC＝eq \f(\r(3)＋1－1,2－－1)＝eq \f(\r(3),3).
(2)如图所示．
kBC＝eq \f(\r(3)＋1－1,2－1)＝eq \r(3).
设直线CD的斜率为k，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针方向旋转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)，\r(3))).
二、直线的方程
1.点斜式： （直线过点，且斜率为）；
（1）点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在.点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；
（2）当直线的倾斜角为时，直线方程为；
（3）当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示.这时直线方程为：.
（4）表示直线去掉一个点；表示一条直线.
2.斜截式： （为直线在轴上的截距）；
注：
（1）b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
（2）斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；
（3）当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.
（4）斜截式的前提是直线的斜率存在.斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线.
（5）斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距.
3.一般式： （、不全为零） .
（1）当时，方程可化为，它表示过点，斜率为的直线．
（2）当，时，方程化为，即，此时直线与轴垂直．
（3）由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．
三、两条直线的平行与垂直
1.当直线；
①若平行 且 ；
②若垂直 .
2.当直线：，：
①若平行 且不重合 ；
②若垂直 .
四、距离公式：
1.两点的距离：
2.点到直线的距离公式：
3.两平行直线点距离：
例1．（2022·全国·高二课时练习）过点，斜率为的直线在x轴上的截距为______．
【答案】
【解析】
【分析】
写出直线的点斜式方程，令，即可求得结果.
【详解】
由题可知所求直线方程为：，
令，解得，即直线在x轴上的截距为.
故答案为：.
例2．（2022·江苏·高二）已知三点，
（1）△ABC为__________ 三角形.
【答案】直角
【解析】
【分析】
根据直线斜率关系即得.
【详解】
如图，猜想是直角三角形，
由题可得边所在直线的斜率,边所在直线的斜率，
由，得即，
所以是直角三角形.
故答案为：直角.
（2）求直线的方程；
（3）求边上的中线所在的直线方程.
例3.（多选题）（2022·江苏·高二）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为2
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且平行于直线的直线方程为
【答案】AC
【解析】
【分析】
将直线方程化为，即可求出直线过定点坐标，从而判断A，令求出，即可判断B，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D；
【详解】
解：对于A，，即，
令，即，所以直线必过定点，故A正确；
对于B，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故B错误；
对于C，直线，即，所以斜率，其倾斜角为，故C正确；
对于D，过点且平行于直线的直线方程为：，即，故D错误，
故选：AC．
例5．若： 与：平行, 则它们的距离为 ( B )
A． B． C． D．
例．已知的三个顶点分别为，，．
（1）求直线的方程；
（2）求边的垂直平分线方程；
（3）求的面积.
答案：（1）；（2）；（3）8.