2024-2025学年四川省德阳市绵竹中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

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这是一份2024-2025学年四川省德阳市绵竹中学高三（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x∈Z|−3A. {−1,0,1,2}B. (−1,3)C. {0,1,2}D. (−1,+∞)
2.已知不共线的两个非零向量a，b，则“a+b与a−b所成角为锐角”是“|a|>|b|”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
3.函数f(x)=sinx⋅ln2+x2−x的大致图象是( )
A. B.
C. D.
4.已知f(x)=−2x2,x>0,ln(1−x),x≤0,则不等式f(x+3)A. (−3,1)B. (0,1)
C. (−∞,−3)∪(1,+∞)D. (1,+∞)
5.已知a=lg32，b=lg43，c=0.51.2，比较a，b，c的大小为( )
A. a>b>cB. a>c>bC. b>c>aD. b>a>c
6.在同一直角坐标系内，存在一条直线l，使得函数y=f(x)与函数y=g(x)的图象关于直线l对称，就称函数y=g(x)是函数y=f(x)的“轴对称函数”.已知函数f(x)=ex(e是自然对数的底数)，则下列函数不是函数y=f(x)的“轴对称函数”的是( )
A. y=2−exB. y=e2−xC. y=−e−xD. y=lnx
7.已知f(x)，g(x)是定义域为R的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，满足f(x)+g(x)=ax2+x+2，若对任意的1−3成立，则实数a的取值范围是( )
A. [0,+∞)B. [−1,−0]C. [−34,+∞)D. [−4,+∞)
8.已知函数f(x)=x3,x≥0,−x,x<0.若函数g(x)=f(x)−|kx2−2x|(k∈R)恰有4个零点，则k的取值范围是( )
A. (−∞,−12)∪(2 2,+∞)B. (−∞,−12)∪(0,2 2)
C. (−∞,0)∪(2 2,+∞)D. (−∞,0)∪(0,2 2)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列式子中最小值为4的是( )
A. sin2x+4sin2xB. 2x+22−x
C. 8+lg2(2x)⋅lg2x8D. 1sin2x+1cs2x
10.下列说法正确的是( )
A. 命题“∀x≥3，2x−10≥0”的否定是“∃x0≥3，2x0−10<0”
B. 已知函数为f(x)=−x2−2ax−a,x<0ex+ln(x+1),x≥0，在R上单调递增，则a的范围是(−∞,0]
C. 函数f(x)=3lg2( x2+1−x)，正数a，b满足f(a)+f(3b−1)=0，则3b+aab的最小值为12
D. 设函数f(x)=ex+e−x−1x2+1，则使得f(2x)>f(x+1)成立的x范围：(−∞,−13)∪(1,+∞)
11.我们知道，函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数.有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)−b为奇函数.已知函数f(x)=42x+2，则下列结论正确的有( )
A. 函数f(x)的值域为(0,2]
B. 函数f(x)的图象关于点(1,1)成中心对称图形
C. 函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于直线x=1对称
D. 若函数g(x)满足y=g(x+1)−1为奇函数，且其图象与函数f(x)的图象有2024个交点，记为Ai(xi,yi)(i=1,2,…,2024)，则i=12024(xi+yi)=4048
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数y= 4−x2ln(x+1)的定义域为．
13.已知a>0，若函数f(x)=lg3(ax2−x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是______．
14.已知函数f(x)=ln(x+1)−mx+1,g(x)=x+lnxm(m>0)，且f(x1)=g(x2)=0，则x2(x1+1)em−1的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知acsB−bcsA=b+c．
(1)求角A的值；
(2)若a=2 3,△ABC的面积为 3，求b，c．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=ex−ax−a3．
(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
17.(本小题15分)
已知二次函数f(x)=mx2−2x−3，关于实数x的不等式f(x)≤0的解集为[−1,n]．
(1)当0(m+1)x+2ax；
(2)是否存在实数a∈(0,1)，使得关于x的函数y=f(ax)−3ax+1(x∈[1,2])的最小值为−5？若存在，求实数a的值；若不存在，说明理由．
18.(本小题17分)
某市为提升中学生的环境保护意识，举办了一次“环境保护知识竞赛”，分预赛和复赛两个环节，预赛成绩排名前三百名的学生参加复赛.已知共有12000名学生参加了预赛，现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本，得到如右频率分布直方图：

(1)规定预赛成绩不低于80分为优良，若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人，求至少有1人预赛成绩优良的概率，并求预赛成绩优良的人数X的分布列及数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替)，且σ2=362，已知小明的预赛成绩为91分，利用该正态分布，估计小明是否有资格参加复赛？
附：若Z～N(μ,σ2)，则P(μ−σ19.(本小题17分)
将n(n≥2)个不同的数按照某种顺序排成一列得到数列{an}，对任意1≤iaj，那么称数对(ai,aj)构成数列{an}的一个逆序对，一个有穷数列的全部逆序对的总数称为该数列的逆序数．
(1)若将1，2，3，4四个数构成的数列恰有2个逆序对，请写出符合条件的数列组合；
(2)计算以下数列的逆序数．
(ⅰ)an=−2n+19(1≤n≤100)；
(ⅱ)an=(13)n,n为奇数−nn+1,n为偶数(1≤n≤k)；
(3)已知数列a1，a2，…，an的逆序数为a，求an，an−1，…，a1的逆序数．
参考答案
1.A
2.C
3.C
4.A
5.D
6.C
7.C
8.C
9.BCD
10.ACD
11.BCD
12.(−1,0)∪(0,2]
13.(13,+∞)
14.1
15.解：(1)∵acsB−bcsA=b+c，
由正弦定理可得：sinAcsB−sinBcsA=sinB+sinC，
∵sinC=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
∴sinAcsB−sinBcsA=sinB+sinAcsB+csAsinB，
即−2sinBcsA=sinB，
∵sinB≠0，∴csA=−12，
∵A∈(0,π)，∴A=2π3．
(2)由题意，S△ABC=12bcsinA= 34bc= 3，
所以bc=4，
由a2=b2+c2−2bccsA=b2+c2+bc，
得(b+c)2=a2+bc=16，
所以b+c=4，解得：b=c=2．
16.解：(1)∵函数f(x)=ex−ax−a3，
∴当a=1时，f(x)=ex−x−1，f′(x)=ex−1，
∴f(1)=e−2，∴切点坐标为(1,e−2)，
切线的斜率为k=f′(1)=e−1，
∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：
y−(e−2)=(e−1)(x−1)，整理得：y=(e−1)x−1．
(2)∵函数f(x)=ex−ax−a3，∴f′(x)=ex−a，
当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)在R上单调递增，此时函数f(x)无极值，
∴a>0，
令f′(x)=ex−a=0，得x=lna，
当xlna时，f′(x)>0，
∴函数f(x)的增区间为(lna,+∞)，减区间为(−∞,lna)，
∴f(x)极小值=f(lna)=a−alna−a3<0，
∴1−lna−a2<0，
令g(a)=−a2−lna+1，g′(a)=−2a−1a<0，
g(a)在(0,+∞)上单调递减，
∵g(1)=0，∴g(a)<0等价于a>1，
∴a的取值范围是(1,+∞)．
17.解：(1)由不等式mx2−2x−3<0的解集为(−1,n)知，关于x的方程mx2−2x−3=0的两根为−1和n，且m>0，
由根与系数关系，得−1+n=2m−1×n=−3m，∴m=1n=3，
所以原不等式化为(x−2)(ax−2)>0，
当00，且2<2a，解得x>2a或x<2，
解集为{x|x>2a或x<2}；
(2)假设存在满足条件的实数a，由(1)得：m=1，∴f(x)=x2−2x−3，
∴y=f(ax)−3ax+1=a2x−2ax−3−3ax+1=(ax)2−(3a+2)ax−3，
令ax=t，(a2≤t≤a)，则y=t2−(3a+2)t−3，∴对称轴为：t=3a+22，
又0∴函数y=t2−(3a+2)t−3在[a2,a]递减，
∴t=a时，y最小为：y=−2a2−2a−3=−5，
解得：a= 5−12．
存在实数a= 5−12 使得y的最小值为−5．
18.解：(1)由题预赛成绩在60，80)范围内的样本量为：0.0125×20×100=25，
预赛成绩在[80,100]范围内的样本量为：0.0075×20×100=15，
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为x，可能取值为0，1，2，
所以P(X≥1)=C11C251+C152C250C402=813，
又P(X=0)=C252C402=513，P(X=1)=c251C151C402=2552，P(X=2)=c152C402=752，
则X的分布列为：
故E(X)=0×513+1×2552+2×752=34；
(2)由题μ=x−=(10×0.005+30×0.01+50×0.015+70×0.0125+90×0.0075)×20=53，又δ2=362，
则δ≈19，Z～N(53,362)，
所以P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)=[1−P(μ−2a故全市参加预赛学生中，成绩不低于91分的有12000×0.02275=273人，
因为273<300，故小明有资格参加复赛．
19.解：(1)由1，2，3，4构成的逆序对有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，
若第一个数为4，则至少有3个逆序对；
若第二个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1,4,2,3}；
若第三个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{1,3,4,2}或{2,1,4,3}；
若第四个数为4，则恰好有2个逆序对的数列组合为{2,3,1,4}或{3,2,1,4}．
综上所述，符合条件的数列组合有：
{1,4,2,3}，{1,3,4,2}，{2,1,4,3}，{2,3,1,4}，{3,2,1,4}．
(2)(ⅰ)因为{an}为单调递减数列，
所以逆序数为99+98+⋅⋅⋅+1=(99+1)×992=4950．
(ⅱ)当n为奇数时，a1>a3>⋯>a2n−1>0，
当n为偶数时，
an−an−2=−nn+1+n−2n−1=−2n2−1=−2(n+1)(n−1)<0(n≥4)，
所以0>a2>a4>⋅⋅⋅>a2n，
当k为奇数时，逆序数为：
(k−1)+(k−3)+⋅⋅⋅+2+k−32+k−52+⋅⋅⋅+1=3k2−4k+18，
当k为偶数时，逆序数为：
(k−1)+(k−3)+⋅⋅⋅+1+k−22+k−42+⋅⋅⋅+1=3k2−2k8．
(3)在数列a1=2，a2，…，an中，若a1=2与后面n−1个数构成p1个逆序对，
则有(n−1)−p1不构成逆序对，
所以在数列an，an−1，…，a1=2中，逆序数为：
(n−1)−p1+(n−2)−p2+⋅⋅⋅+(n−n)−pn=n(n−1)2−a． X
0
1
2
P
513
2552
752

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