2024-2025学年广东省河源市紫金县佑文中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广东省河源市紫金县佑文中学高二（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|−x2+2x+3>0}，全集为R，则∁RA=( )
A. (−∞,−1]∪[3,+∞)B. (−∞,−3]∪[1,+∞)
C. [−1,3]D. [−3,1]
2.已知复数z=1+3i1−i，i为虚数单位，则|z|为( )
A. 2B. 5C. 10D. 2 5
3.“|a|>|b|”是“lna>lnb”的( )
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
4.如图，已知AP=43AB,用OA,OB表示OP,则OP等于( )
A. 13OA−43OB
B. 13OA+43OB
C. −13OA+43OB
D. −13OA−43OB
5.设α，β是两个不重合平面，m，l是两条不重合直线，则( )
A. 若l//α，m⊂α，则m//lB. 若m//α，α⊥β，则m⊥β
C. 若m⊥α，l⊥β，m//l，则α//βD. 若α⊥β，m//α，l//β，则m⊥l
6.已知△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，a=bcsC，则△ABC形状一定是( )
A. 等腰直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 直角三角形
7.已知a，b>0且ab=2，则(a+1)(b+2)的最小值为( )
A. 4B. 6C. 2 2D. 8
8.已知f(x)是定义在实数集R上的函数，在(0,+∞)内单调递增，f(2)=0，且函数f(x+1)关于点(−1,0)对称，则不等式x⋅f(1−x)<0的解集是( )
A. (−∞,−2)∪(−1,0)∪(2,+∞)B. (−∞,−2)∪(2,+∞)
C. (−1,0)∪(1,3)D. (−∞,−1)∪(0,1)∪(3,+∞)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=8，b=15，c=17，则下列命题成立的是( )
A. sinA：sinB：sinC=8：15：17
B. csA：csB：csC=8：15：17
C. 最大内角是最小内角的2倍
D. △ABC为直角三角形
10.某社团开展“建党100周年主题活动——学党史知识竞赛”，甲、乙两人能得满分的概率分别为34，23，两人能否获得满分相互独立，则( )
A. 两人均获得满分的概率12B. 两人至少一人获得满分的概率712
C. 两人恰好只有甲获得满分的概率14D. 两人至多一人获得满分的概率12
11.如图，在底面为等边三角形的直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=2，BB1= 2，D，E分别为棱BC，BB1的中点，则( )
A. A1B//平面ADC1
B. AD⊥C1D
C. 异面直线AC与DE所成角的余弦值为 105
D. 平面ADC1与平面ABC的夹角的正切值为 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知tanα=2，则1sinαcsα= ______．
13.若命题“∃x∈(−1,3)，x2−2x−a≤0”为真命题，则实数a可取的最小整数值是______．
14.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m，则河流的宽度BC约等于______m.(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：sin67°≈0.92，cs67°≈0.39，sin37°≈0.60，cs37°≈0.80， 3≈1.73)
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题15分)
设△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA= 3acsB．
(1)求B；
(2)若a=1,b= 3，求△ABC的面积．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)求函数f(x)的单调区间．
17.(本小题15分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，侧面ABB1A1⊥底面ABC，CA=CB，D，E，F分别为AB，A1D，A1C的中点，点G在AA1上，且A1D⊥EG．
(1)求证：CD/​/平面EFG；
(2)求证：A1D⊥平面EFG．
18.(本小题15分)
文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六段：[40,50)，[50,60)，…，[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)求样本成绩的第75百分位数；
(3)已知落在[50,60)的平均成绩是54，方差是7，落在[60,70)的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩的总平均数z−和总方差s2．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=(m+1)x2−(m−1)x+m−1
(1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围；
(2)解关于x的不等式f(x)≥(m+1)x；
(3)若不等式f(x)≥0对一切x∈[−12,12]恒成立，求m的取值范围．
参考答案
1.A
2.B
3.C
4.C
5.C
6.D
7.D
8.D
9.AD
10.ACD
11.ABD
12.52
13.−1
14.60
15.解：(1)因为bsinA= 3acsB，由正弦定理可得sinBsinA= 3sinAcsB，
又A为三角形内角，sinA>0，
所以sinB= 3csB，即tanB= 3，
又B∈(0,π)，
所以B=π3；
(2)因为B=π3，a=1,b= 3，
由余弦定理b2=a2+c2−2accsB，可得3=1+c2−2×1×c×12，即c2−c−2=0，解得c=2或−1(舍去)，
所以△ABC的面积S=12acsinB=12×1×2× 32= 32．
16.解：(1)由函数f(x)的部分图象知，A=2，T=2×(2π3−π6)=π，所以ω=2πT=2，
又因为f(π6)=2sin(2×π6+φ)=2，所以π3+φ=π2+2kπ，k∈Z；
解得φ=π6+2kπ，k∈Z；
又因为|φ|<π2，所以φ=π6，
所以f(x)=2sin(2x+π6).
(2)令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z；
解得kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z；
所以函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．
令2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z；
解得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z；
所以函数f(x)的单调减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z．
17.证明：(1)∵E，F分别为A1D，A1C的中点，
∴EF/​/CD，
∵CD⊄平面EFG，EF⊂平面EFG，
∴CD/​/平面EFG；
(2)∵CA=CB，D为AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，
∴CD⊥侧面ABB1A1，
∴CD⊥A1D，
∵EF/​/CD，
∴A1D⊥EF，
∵A1D⊥EG，EF∩EG=E，
∴A1D⊥平面EFG．
18.解：(1)∵每组小矩形的面积之和为1，
∴(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1，
∴a=0.030．
(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65，
落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9，
设第75百分位数为m，
由0.65+(m−80)×0.025=0.75，得m=84，故第75百分位数为84；
(3)由图可知，成绩在[50,60)的市民人数为100×0.1=10，
成绩在[60,70)的市民人数为100×0.2=20，
故z−=10×54+66×2010+20=62．
所以两组市民成绩的总平均数是62，
s2=110+20[10×(54−62)2+10×7+20×(66−62)2+20×4]=37，
所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是37．
19.解：(1)①当m+1=0即m=−1时，f(x)=2x−3，不合题意； …(1分)
②当m+1≠0即m≠−1时，m+1<0Δ=(m−1)2−4(m+1)(m−2)<0，即m<−13m2−2m−9>0，…(3分)
∴m<−1m<1−2 73或m>1+2 73，
∴m<1−2 73…(5分)
(2)f(x)≥(m+1)x即(m+1)x2−2mx+m−1≥0
即[(m+1)x−(m−1)](x−1)≥0
①当m+1=0即m=−1时，解集为{x|x≥1}…(7分)
②当m+1>0即m>−1时，(x−m−1m+1)(x−1)≥0，
∵m−1m+1=1−2m+1<1，
∴解集为{x|x≤m−1m+1或x≥1}…(9分)
③当m+1<0即m<−1时，(x−m−1m+1)(x−1)≥0，
∵m−1m+1=1−2m+1>1，
∴解集为{x|1≤x≤m−1m+1}…(…(11分)
(3)(m+1)x2−(m−1)x+m−1≥0，即m(x2−x+1)≥−x2−x+1，
∵x2−x+1>0恒成立，
∴m≥−x2−x+1x2−x+1=−1+2(1−x)x2−x+1…(13分)
设1−x=t，则t∈[12,32]，x=1−t，
∴1−xx2−x+1=t(1−t)2−(1−t)+1=tt2−t+1=1t+1t−1，
∵t+1t≥2，当且仅当t=1时取等号，
∴1−xx2−x+1≤1，当且仅当x=0时取等号，
∴当x=0时，(−x2−x+1x2−x+1)max=1，
∴m≥1…(16分)