2024-2025学年广东省广州大学附中高二（上）开学数学试卷（含答案）

展开

这是一份2024-2025学年广东省广州大学附中高二（上）开学数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知A={x|1A. a≤1B. a≥1C. a≤2D. a≥2
2.已知z=1−i是方程z2+2az−b=0(a,b∈R)的根，则a+b=( )
A. −3B. −1C. 2D. 3
3.已知aea=π，blnb=π，c= π，则( )
A. a4.已知α,β∈(0,π4),cs2α−sin2α=17，且3sinβ=sin(2α+β)，则α+β的值为( )
A. π12B. π6C. π4D. π3
5.已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)，f(π6−x)=f(x)，则( )
A. f(0)=12
B. f(x)的图象向左平移π6个单位长度后关于y轴对称
C. f(x)在(π6,2π3)上单调递减
D. f(π3−x)+f(π3+x)=0
6.在某种药物实验中，规定100ml血液中药物含量低于20mg为“药物失效”.现测得实验动物血液中药物含量为0.8mg/ml，若血液中药物含量会以每小时20%的速度减少，那么至少经过( )个小时才会“药物失效”.(参考数据：lg2≈0.3010)
A. 4B. 5C. 6D. 7
7.已知圆台的体积为13 5π3，母线长为3，高为 5，则圆台的侧面积为( )
A. 36πB. 24πC. 18πD. 12π
8.已知O为△ABC的内心，角A为锐角，sinA= 158，若AO=μAB+λAC，则μ+λ的最大值为( )
A. 12B. 34C. 45D. 56
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列不等式成立的是( )
A. ab≥14B. 4a+9b≥25C. a+ b≤ 2D. a210.如图，已知棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，现给出下列结论：则正确的选项为( )
A. 直线AD1与直线DP所成角的大小不变
B. 平面PBD1⊥平面A1C1D
C. 点P到平面A1C1D的距离为定值2 33
D. 存在一点P，使得直线AP与平面BCC1B1所成角为π3
11.一个同学投掷10次骰子，记录出现的点数，根据统计结果，在下列情况中可能出现点数6的有( )
A. 平均数为3，中位数为4B. 中位数为4，众数为3
C. 平均数为2，方差为2.1D. 中位数为3，方差为0.85
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.从高三抽出50名学生参加数学竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这50名学生成绩的75%分位数为______分.
13.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AD是△ABC的中线.若AD=2，且b2+c2+bc=(bcsC+ccsB)2，则△ABC面积的最大值为______．
14.设函数f(x)的定义域关于原点对称且满足：
(ⅰ)f(x1−x2)=f(x1)⋅f(x2)+1f(x2)−f(x1)；
(ⅱ)存在正常数a使f(a)=1．
则函数f(x)的一个周期是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数f(x)= 3sin(ωx+φ)(0<ω<1,|φ|<π2)的图象过(−2π3,0)，(π3, 3)两点，将f(x)的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移π3个单位长度，得到函数g(x)的图象．
(1)求函数g(x)的解析式；
(2)若函数F(x)=g(x)− 32>0，求函数F(x)的单调区间．
16.(本小题15分)
已知斜三角形ABC．
(1)借助正切和角公式证明：tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC．
并充分利用你所证结论，在①②中选择一个求值：
①tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°，
②tan20°+tan40°+tan120°tan20∘tan40∘；
(2)若C=135°，求tanA+tanB的最小值．
17.(本小题15分)
如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BC，垂足为P.E为CD中点，
(1)若AP⋅AC=32，求AP的长；
(2)设|AB|= 2，|AC|= 5，cs∠BAC=− 1010，AP=xAE+yAC，求xy的值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠BAD=60°，PD=AD=1，PB=AB=2．
(1)证明：BD⊥平面PAD；
(2)当二面角D−PA−B的正切值为 6时，求直线BD与平面PBC所成角的大小．
19.(本小题17分)
已知有序数对X：{x1,x2,x3}，有序数对Y：{y1,y2,y3}，定义“Ω变换”：y1=|x1−x2|，y2=|x2−x3|，y3=|x3−x1|，可以将有序数对X转化为有序数对Y．
(1)对于有序数对X：{3,4,5}，不断进行“Ω变换”，能得到有序数对{0,0,0}吗？请说明理由．
(2)设有序数对X：{x1,x2,x3}经过一次“Ω变换”得到有序数对Y：{y,2,x}(x≥y)，且有序数对Y的三项之和为2024，求yx的值．
(3)在(2)的条件下，若有序数对Y经过n次“Ω变换”得到的有序数对的三项之和最小，求n的最小值．
参考答案
1.D
2.A
3.A
4.D
5.D
6.D
7.D
8.C
9.BCD
10.ABC
11.ABD

13.4 3
14.4a
15.解：(1)因为函数f(x)= 3sin(ωx+φ)(0<ω<1,|φ|<π2)的图象过(−2π3,0)，(π3, 3)两点，
所以T4+kT=π，k∈Z，即(14+k)×2πω=π，k∈Z，
解得ω=12+k,k∈Z，
因为0<ω<1，所以ω=12，
则f(π3)= 3sin(π3×12+φ)= 3，
所以π6+φ=π2+2kπ,k∈Z，即φ=π3+2kπ,k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ=π3，
所以f(x)= 3sin(x2+π3)，
将f(x)图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，得到函数y= 3sin(x+π3)的图象，
再将函数y= 3sin(x+π3)的图象向右平移π3个单位长度，得到g(x)= 3sin(x−π3+π3)的图象，
故g(x)= 3sinx．
(2)由题可知F(x)= 3sinx− 32>0，则sinx>12，
所以x∈(2kπ+π6,2kπ+5π6),k∈Z，
当x∈(2kπ+π6,2kπ+π2)，k∈Z时，F(x)单调递增，
当x∈(2kπ+π2,2kπ+5π6)，k∈Z时，F(x)单调递减，
所以F(x)的单调递增区间为(2kπ+π6,2kπ+π2)，k∈Z，
单调递减区间为(2kπ+π2,2kπ+5π6)，k∈Z．
16.解：(1)证明：∵C=π−(A+B)，
∴tanC=−tan(A+B)，
∴tanC=−tanA+tanB1−tanAtanB，
∴tanC(1−tanAtanB)=−(tanA+tanB)，
∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC；
①tan20°+tan40°+ 3tan20°tan40°=tan20°+tan40°+tan120°+ 3tan20°tan40°+ 3=− 3tan20°tan40°+ 3tan20°tan40°+ 3= 3；
②tan20°+tan40°+tan120°tan20∘tan40∘=tan20°tan40°tan120°tan20∘tan40∘=− 3；
(2)∵C=135°，且tanA>0，tanB>0，
∴tanA+tanB=−tan135°+tanAtanBtan135°=1−tanAtanB≥1−(tanA+tanB)24，
∴(tanA+tanB)2+4(tanA+tanB)−4≥0，解得tanA+tanB≥2 2−2，
∴tanA+tanB的最小值为2 2−2．
17.解：(1)∵AP⊥BC，AP是AC在AP方向上的投影向量，
∴AP⋅AC=AP2=|AP|2=32，即AP=4 2．
(2)在△ABC中，BC2=AB2+AC2−2AB⋅AC⋅cs∠BAC=2+5−2× 2× 5×(− 1010)=9，
∴BC=3，csB=BC2+AB2−AC22×AB×BC=2+9−52×3× 2= 22，
∵B∈(0,π)，所以B=π4，AP=ABsinB=1，BP=ABcsB=1，PC=BC−PB=2，
以P为坐标原点，PC，PA所在直线分别为x轴，y轴，建系如图：

易知P(0,0)，A(0,1)，C(2,0)，D(3,1)，因为E为CD中点，
∴E(52,12)，
AP=(0,−1)，AE=(52,−12)，AC=(2,−1)，
∵AP=xAE+yAC，∴(0,−1)=x(52,−12)+y(2,−1)=(52x+2y,−12x−y)，
∴52x+2y=0−12x−y=−1，解得x=−43y=53，所以xy=−209．
18.解：(1)在△ABD中，由余弦定理得BD2=AD2+AB2−2AD⋅ABcsA=1+4−2×1×2×12=3，
显然AD2+BD2=AB2，则∠ADB=π2，即AD⊥BD，
由AD=PD，AB=PB，BD=BD，
得△ABD≌△PBD，则∠PDB=π2，即PD⊥BD，
又AD∩PD=D，PD，ADC平面PAD，
所以BD⊥平面PAD；
(2)取PA中点E，连接BE，DE，
如图，

由AB=PB，AD=PD，则BE⊥PA，DE⊥PA，
即∠BED为二面角D−PA−B的平面角，
由(1)知，BD⊥平面PAD，DE⊂平面PAD，则BD⊥DE，BD= 3，
于是tan∠BED=BDDE= 6，DE= 22，
而PD=AD=1，
则AE= 22，PA= 2，PD2+AD2=PA2，
于是PD⊥AD，又BD⊥AD，PD∩BD=D，PD，BD⊂平面PBD，
因此AD⊥平面PBD，又BC//AD，
则BC⊥平面PBD，
过D作DF⊥PB于点F，DF⊂平面PBD，于是BC⊥DF，
而BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC，
则DF⊥平面PBC，
因此直线BD与平面PBC夹角即为∠PBD，
在Rt△PBD中，∠BDP=π2，sin∠PBD=PDPB=12，
且∠PBD∈(0,π)，则∠PBD=π6，
所以直线BD与平面PBC夹角为π6．
19.解：(1)对于有序数对X：{3,4,5}，不断进行“Ω变换”，
得到的有序数对分别为{1,1,2}，{0,1,1}，{1,0,1}，{1,1,0}，{0,1,1}，…，
以下重复出现，所以不能得到有序数对{0,0,0}．
(2)易知y=|x1−x2|，2=|x2−x3|，x=|x3−x1|，
因为有序数对Y的三项之和为2024，且x≥y，
所以x+y=2022，x≥1011≥y，
所以|x3−x1|≥1011≥|x1−x2|，故|x3−x1|最大，
即x1>x2>x3或x3>x2>x1．
当x1>x2>x3时，可得y=x1−x22=x2−x3x=x1−x3，
由x+y+2=2024，得2(x1−x3)=2024，即x=1012，所以y=1010，
故yx=10101012=505506．
当x3>x2>x1时，可得y=x2−x12=x3−x2x=x3−x1，
由x+y+2=2024，得2(x3−x1)=2024，即x=1012，所以y=1010，
故yx=10101012=505506．
综上，yx=505506．
(3)有序数对Y：{y,2,y+2}，将有序数对Y经过6次“Ω变换”得到的有序数对分别为：
{y−2,y,2}，{2,y−2,y−4}，{y−4,2,y−6}，{y−6,y−8,2}，{2,y−10,y−8}，{y−12,2,y−10}，
由此可见，经过6次“Ω变换”后得到的有序数对也是形如{y,2,y+2}的有序数对，
与有序数对Y“结构”完全相同，但最大项减小12，
因为1010=12×84+2，
所以将有序数对Y经过6×84=504次“Ω变换”后得到的有序数对为{2,2,4}．
接下来经过“Ω变换”后得到的有序数对分别为{0,2,2}，{2,0,2}，{2,2,0}，{0,2,2}，{2,0,2}，…，
从以上分析可知，以后数对循环出现，所以有序数对各项之和不会更小，
所以当n≥505时，经过n次“Ω变换”得到的有序数对的三项之和均最小，为4，
所以n的最小值为505．