2024-2025学年江苏省南通市高三（上）调研数学试卷（9月份）（含答案）

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这是一份2024-2025学年江苏省南通市高三（上）调研数学试卷（9月份）（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A，B，若A={−1,1}，A∪B={−1,0,1}，则一定有( )
A. A⊆BB. B⊆AC. A∩B=⌀D. 0∈B
2.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1，命题q：∃x>0，x3=x，则( )
A. p和q都是真命题B. ￢p和q都是真命题
C. p和￢q都是真命题D. ￢p和￢q都是真命题
3.函数f(x)=(ex+e−x)sinx−2x在区间[−2,2]的大致图象为( )
A. B. C. D.
4.设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则( )
A. 若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥α B. 若l//m，m//n，l⊥α，则n⊥α
C. 若l//m，m⊥α，n⊥α，则l⊥n D. 若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l//m
5.在正三棱台ABC−A1B1C1中，AB=4，A1B1=2，A1A与平面ABC所成角为π4，则该三棱台的体积为( )
A. 523B. 283C. 143D. 73
6.设a=2 π，b=lg2π，c= π，则( )
A. cc>aC. a>c>bD. a>b>c
7.若函数f(x)=lg2(x+1),−13，在(−1,+∞)上单调递增，则a的取值范围是( )
A. [−3,9]B. [−3,+∞)C. [0,9]D. (−∞,9]
8.设函数f(x)=(x2+ax+b)lnx，若f(x)≥0，则a的最小值为( )
A. −2B. −1C. 2D. 1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中最小值为4的是( )
A. y=lnx+4lnxB. y=2x+22−x
C. y=4|sinx|+1|sinx|D. y=x2+5 x2+1
10.定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x+2)−f(x)=f(1)，则( )
A. f(1)=0B. f(1−x)+f(1+x)=0
C. f(1+2x)=f(1−2x)D. i=120f(i)=10
11.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则( )
A. MN//平面ADD1A1B. MN⊥AC1
C. 直线MN与平面AA1C1C所成角为π4D. 平面MND1经过棱A1B1的三等分点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若x，y为实数，则“xy>0”是“|x+y|=|x|+|y|”的______条件．(在“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分又不必要”中选一个填写)
13.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的侧面积为______．
14.已知3a=2+3b，则2a−b的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，D，E，F分别为AB，BC，B1B的中点．
(1)证明：A1C1//平面B1DE；
(2)若AB=1，AB⊥AC，B1D⊥A1F，求点E到平面A1FC1的距离．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=lg21−x1+x．
(1)判断并证明f(x)的奇偶性；
(2)若对任意x∈[−13,13]，t∈[−2,2]，不等式f(x)≥t2+at−6恒成立，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
如图，四边形ABCD为菱形，PB⊥平面ABCD．
(1)证明：平面PAC⊥平面PBD；
(2)若PA⊥PC，二面角A−BP−C的大小为120°，求PC与BD所成角的余弦值．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=aex+bx2+cx．
(1)若a=1，b=c=−1，求证：f(x)有零点；
(2)若a=0，b=−1，是否存在正整数m，n，使得不等式m≤f(x)−c≤n的解集为[m,n]，若存在，求m，n；若不存在，说明理由；
(3)若b≠0，非空集合{x∈R|f(x)=0}={x∈R|f(f(x))=0}，求a+c的取值范围．
19.(本小题17分)
已知有限集A={a1,a2,⋯,an}(n≥2，n∈N)，若a1+a2+⋯+an=a1a2⋯an，则称A为“完全集”．
(1)判断集合{−1,− 2, 2−1,2 2+2}是否为“完全集”，并说明理由；
(2)若集合{a,b}为“完全集”，且a，b均大于0，证明：a，b中至少有一个大于2；
(3)若A为“完全集”，且A⊆N∗，求A．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.B
5.C
6.C
7.A
8.B
9.BCD
10.AC
11.ABD
12.充分不必要
13. 3π
14.3lg32
15.(1)证明：因为ABC−A1B1C1为直三棱柱，所以A1C1//AC，
又D，E分别为AB，BC的中点，所以DE//AC，
所以DE//A1C1，又A1C1⊄平面B1DE，DE⊂平面B1DE，
所以A1C1//平面B1DE；
(2)解：因为ABC−A1B1C1为直三棱柱，且AB⊥AC，
则以A为坐标原点，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，

设AA1=a(a>0)，且AB=1，
则B1(1,0,a)，D(12,0,0)，A1(0,0,a)，F(1,0,a2)，
则B1D=(−12,0,−a)，A1F=(1,0,−a2)，
由B1D⊥A1F，可得B1D⋅A1F=0，
即−12+a22=0，且a>0，解得a=1，
设AC=b(b>0)，则C1(0,b,1)，
即A1F=(1,0,−12)，A1C1=(0,b,0)，
设平面A1FC1的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅A1F=x−12z=0n⋅A1C1=by=0，解得z=2xy=0，取x=1，则z=2，
所以平面A1FC1的一个法向量为n=(1,0,2)，
又E(12,b2,0)，即A1E=(12,b2,−1)，
所以点E到平面A1FC1的距离d=|A1E⋅n||n|=|12−2| 5=3 510．
16.解：(1)f(x)为奇函数，证明如下：
由解析式易知1−x1+x>0⇒(x−1)(x+1)<0⇒−1而f(−x)=lg21+x1−x=−lg21−x1+x=−f(x)，故f(x)为奇函数．
(2)由m=1−x1+x=21+x−1在x∈[−13,13]上为减函数，
而y=lg2m在定义域上为增函数，所以f(x)在x∈[−13,13]上为减函数，
故f(x)min=f(13)=−1，要使任意x∈[−13,13]，t∈[−2,2]，
只需t2+at−6≤−1在t∈[−2,2]上恒成立，
即t2+at−5≤0在t∈[−2,2]上恒成立，由y=t2+at−5开口向上，
则4−2a−5≤04+2a−5≤0⇒−12≤a≤12，
综上，a的范围为{a|−12≤a≤12}.
17.解：(1)证明：∵PB⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，
∴PB⊥AC，
在菱形ABCD中，BD⊥AC，且PB∩BD=B，PB，BD⊂平面PBD，
∴AC⊥平面PBD，又∵AC⊂平面PAC，
∴平面PAC⊥平面PBD．
(2)∵PB⊥平面ABCD且AB⊂平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
∴AB⊥BP，BC⊥BP，
即二面角A−BP−C的平面角是∠ABC，
∴∠ABC=120° 120°，
取AC与BD交点为O，设AB=BC=2，
则AC=2 3，
∴PA=PC= 6，∴PB= 2，
以O为坐标原点，OB，OC所在直线分别为x轴，为y轴，如图建立空间直角坐标系，

则B(1,0,0)，D(−1,0,0)，P(1,0, 2)，C(0, 3,0)，
DB=(2,0,0)，PC=(−1, 3,− 2)，
|cs|=|BD⋅PC||BD||PC|=22× 6= 66，
所以BD，PC所成角的余弦值为 66．
18.(1)证明：若a=1，b=c=−1，则f(x)=ex−x2−x，
因为f(1)=e−2>0，f(−2)=e−2−2<0，所以f(1)f(−2)<0．
又f(x)在R上的图象是连续不断的，所以f(x)有零点．
(2)解：若a=0，b=−1，则f(x)=−x2+cx，
因为不等式m≤f(x)−c≤n的解集为[m,n]，
所以其中一个充分条件为c24−c≤n①f(m)−c=m②f(n)−c=m③，
由②③得，m，n是方程f(x)−c=m的两个不等实根，
即m，n是方程x2−cx+m+c=0的两个不等实根，
所以m+n=c，mn=m+c，得m=2m+n，所以(m−1)(n−2)=2．
又因为m，n∈N∗，m所以m−1=1n−2=2，解得m=2n=4，此时c=6符合①．
所以m=2，n=4．
(3)解：设f(x0)=0，则f(f(x0))=f(0)=a，所以a=0．
所以f(x)=bx2+cx=x(bx+c)，
f(f(x))=x(bx+c)(b(bx2+cx)+c)．
设g(x)=b2x2+bcx+c(b≠0)，
因为非空集合{x∈R|f(x)=0}={x∈R|f(f(x))=0}，
所以g(x)=0无实根或g(x)=0的解是f(x)=0的解．
若g(x)=0无实根，则Δ=b2c2−4b2c<0，c2−4c<0，解得0若g(x)=0的解是f(x)=0的解，
令f(x)=0，得x=0或x=−cb，
当x=0时，g(0)=0，c=0，g(x)=b2x2，f(x)=bx2，符合题意；
当x=−cb时，g(−cb)=0，c=0，符合题意．
综上，0≤c<4，
所以a+c的取值范围是[0,4)．
19.解：(1)因为−1+(− 2)+( 2−1)+(2 2+2)=2 2，−1×(− 2)×( 2−1)×(2 2+2)=2 2，
所以−1+(− 2)+( 2−1)+(2 2+2)=−1×(− 2)×( 2−1)×(2 2+2)，
故集合{−1,− 2, 2−1,2 2+2}是“完全集”；
(2)证明：由题设，令a+b=ab=t>0，则a，b是x2−tx+t=0的两个不同的正实数根，
所以Δ=t2−4t>0⇒t>4或r<0(舍)，
即t=ab>4，又a>0，b>0，
若a，b都不大于2，则ab≤4，矛盾，
所以a，b至少有一个大于2；
(3)不妨令1≤a1则a1a2⋯an=a1+a2+⋯+an所以a1a2⋯an−1当n=2，即a1<2，故a1=1，显然1+a2=1×a2无解，不满足；
当n=3，即a1a2<3，只能有a1=1，a2=2，a3=3，
故存在一个“完美集”A={1,2,3}；
当n≥4，a1a2⋯an−1≥1×2×⋯×(n−1)，即n>1×2×…×(n−1)，
又n−(n−2)(n−1)=−n2+4n−2=−(n−2)2+2<0，且(n−2)(n−1)≤1×2×…×(n−1)，
此时n<1×2×…×(n−1)，显然有矛盾，
所以n≥4时不存在“完美集”，
综上，A={1,2,3}．