2024-2025学年江苏省苏州市高新一中八年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年江苏省苏州市高新一中八年级（上）第一次月考数学试卷（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次函数y=3x2−2 2x+5中.二次项系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 3、−2、5B. 3,2 2,5C. 3,−2 2，5D. 3、−2 2、−5
2.下列函数关系式中，二次函数的个数有( )
(1)y=3(x−1)2+1；(2)y=1x2−x；(3)S=3−2t2；(4)y=x4+2x2−1；(5)y=3x(2−x)+3x2；(6)y=mx2+8．
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.抛物线y=−x2+2的对称轴是( )
A. 直线x=−2B. 直线x=−1C. y轴D. 直线x=2
4.将抛物线y=(x+3)2平移得到抛物线y=x2，则这个平移过程正确的是( )
A. 向左平移3个单位B. 向右平移3个单位 C. 向上平移3个单位D. 向下平移3个单位
5.对于二次函数y=(x−2)2的图象，下列说法不正确的是( )
A. 开口向上B. 对称轴是直线x=2
C. 顶点坐标为(−2,0)D. 当x<2时，y随x的增大而减小
6.与抛物线y=2(x−4)2关于y轴成轴对称关系的抛物线是( )
A. y=2(x−4)2B. y=−2(x−4)2C. y=2(x+4)2D. y=−2(x+4)2
7.已知a>0，设函数y1=a(x−1)2，y2=a(x−2)2，y3=a(x−3)2.直线x=m的图象与函数y1，y2，y3的图象分别交于点A(m,c1)，B(m,c2)，C(m,c3)，下列说法正确的是( )
A. 若m<1，则c2C. 若23，则c38.如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y=−x2+4上，点D在y轴上.若A，C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，下列结论正确的是( )
A. m+n=1
B. m−n=1
C. m=1
D. mn=1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.抛物线y=1−3x2的顶点是______．
10.若y=(a+1)x|a+3|−x+3是关于x的二次函数，则a的值是______．
11.若抛物线y=ax2+c与抛物线y=−4x2+3关于x轴对称，则a= ______，c= ______．
12.若A(−4,y1)、B(−2,y2)、C(1,y3)为二次函数y=3(x+1)2的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是______(用“<”表示)．
13.抛物线y=49(x−3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为______．
14.二次函数y=ax2+c的图象与y=3x2的图象形状相同，开口方向相反，且经过点(1,1)，则该二次函数的解析式为______．
15.如图，将二次函数y=x2−4位于x的下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数
的图象(实线部分)．
(1)当x=−3时，新函数值为____，当x=1时，新函数值为____；当x= ____时，
新函数有最小值；
(2)当新函数中函数y随x的增大而增大时，自变量x的范围是______；
(3)直线y=a与新函数图象有两个公共点时，a的取值范围______．
16.平面坐标系中有线段AB，已知A(10,9)、B(20,1)，若抛物线y=(x−m)2与线段AB有交点，则m的取值范围是______．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x2−3x=0；
(2)x2−4x−2=0．
18.(本小题8分)
已知关于x的方程x2−2kx+k2−1=0．
(1)若方程有一根为5，求k的值；
(2)求证：不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．
19.(本小题8分)
(1)已知函数y=(m2−m)x2+(m−1)x+m+1，若这个函数是二次函数，求m的取值范围；
(2)已知函数y=(m2+m)xm2−2m−1是二次函数，求m的值．
20.(本小题8分)
已知抛物线y=a(x−ℎ)2，当x=2时，有最大值，且抛物线过点(1,−3)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当y随x的增大而增大时，求x的取值范围；
(3)求抛物线与y轴的交点坐标．
21.(本小题8分)
【探究】如图，已知抛物线y=−x2+4．
(1)在坐标系中画出此抛物线y的大致图象(不要求列表)；
(2)该抛物线y=−x2+4可由抛物线y=−x2向______平移______个单位得到；
(3)当−1≤x≤3时，函数值y取值范围是______．
【应用】已知二次函数y=−(x−ℎ)2(ℎ是常数)，且自变量取值范围是2≤x≤5．
(1)当ℎ=3时，求函数的最大值；
(2)若函数的最大值为−1，求ℎ的值．
22.(本小题8分)
如图，Rt△OAB中，∠OAB=90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA=AB=1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B1．
(1)求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；
(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D、C的坐标．
23.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2−1a与y轴交于点A，点A关于x轴的对称点为点B，
(1)抛物线的对称轴是______，顶点坐标______，B点坐标(用含a的式子表示) ______；
(2)已知点P(1,1a)，Q(3,0)，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图像，求a的取值范围．
24.(本小题8分)
已知抛物线y=14x2+1(如图所示)．
(1)填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是______；
(2)已知y轴上一点A(0,2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B.若△PAB是等边三角形，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，点M在直线AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形？若存在，直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.C
2.B
3.C
4.B
5.C
6.C
7.D
8.B
9.(0,1)
10.−5
11.4 −3
12.y213.6
14.y=−3x2+4
15.【答案(1)5；3；2或−2．
(2)−2≤x≤0或x≥2．
(3)a=0或a>4．
16.7≤m≤21
17.解：(1)x2−3x=0，
x(x−3)=0，
x=0或x−3=0，
所以x1=0，x2=3；
(2)x2−4x−2=0，
x2−4x=2，
x2−4x+4=2+4，
(x−2)2=6，
x−2=± 6，
所以x1=2+ 6，x2=2− 6．
18.(1)解：x=2k± 42×1=k±1，
解得x1=k+1，x2=k−1，
当k+1=5时，k=4；
当k−1=5时，k=6，
综上所述，k的值为4或6；
(2)证明：∵Δ=(−2k)2−4(k2−1)
=4>0，
∴不论k取何值，方程总有两个不相等的实数根．
19.解：(1)函数y=(m2−m)x2+(m−1)x+m+1是二次函数，
即m2−m≠0，
即m≠0且m≠1，
∴当m≠0且m≠1，这个函数是二次函数；
(2)由题意得：m2−2m−1=2，m2+m≠0，
解得：m1=3，m2=−1(不合题意舍去)，
所以m的值为3．
20.解：(1)∵抛物线y=a(x−ℎ)2，当x=2时，有最大值，
∴抛物线的解析式为：y=a(x−2)2，
∵抛物线过点(1,−3)，
∴−3=a(1−2)2，
∴解得a=−3，
∴此抛物线的解析式y=−3(x−2)2．
(2)因为抛物线的对称轴为直线x=2，抛物线开口向下，
所以当x<2时，y随x的增大而增大．
(3)当x=0时，y=−3(x−2)2=−12，
所以抛物线y=−3(x−2)2与y轴的交点坐标为(0,−12)．
21.解：探究(1)由题意，函数为y=−x2+4，
∴抛物线开口向下，对称轴是y轴，顶点为(0,4)．
作图如下．
(2)4．
(3)−5≤y≤4．
应用(1)由题意，∵ℎ=3，
∴二次函数为：y=−(x−3)2．
∴当x=3时，函数有最大值为0．
∵2≤x≤5，
∴当x=3时，函数有最大值为0，符合题意．
(2)∵二次函数y=−(x−ℎ)2(ℎ为常数)，当自变量x满足2≤x≤5时，其对应函数y的最大值为−1，
∴若5<ℎ，则当x=5时，y最大，即−(5−ℎ)2=−1，得ℎ1=4(舍去)，ℎ2=6；
若ℎ<2，则当x=2时，y最大，即−(2−ℎ)2=−1，得ℎ3=1，ℎ4=3(舍去)；
若2<ℎ<5，则最大值为0，与题意不符；
由上可得，ℎ的值是6或1．
22.解：(1)由题意可知，A(1,0)，A1(2,0)，B1(2,1)，
设以A为顶点的抛物线的解析式为y=a(x−1)2；
∵此抛物线过点B1(2,1)，
∴1=a(2−1)2，
∴a=1，
∴抛物线的解析式为y=(x−1)2；
(2)∵当x=0时，y=(0−1)2=1，
∴D点坐标为(0,1)，
由题意得OB在第一象限的角平分线上，
故可设C(m,m)，
代入y=(x−1)2；得m=(m−1)2；
解得m1=3− 52<1，m2=3+ 52>1(舍去)．
故C点坐标为(3− 52,3− 52).
23.(1)x=0；(0,−1a)；B(0,1a)；
(2)当a>0时，如图1：
抛物线经过点P时，a−1a=1a，
解得a= 2或a=− 2(舍去)；
抛物线经过点Q时，9a−1a=0，
解得a=13或a=−13(舍去)；
∴13≤a≤ 2时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
当a<0时，如图2：
抛物线经过点P时，a−1a=1a，
解得a=− 2或a= 2(舍去)；
抛物线经过点Q时，9a−1a=0，
解得a=−13或a=13(舍去)；
∴− 2≤a≤−13时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点；
综上所述：13≤a≤ 2或− 2≤a≤−13时，抛物线与线段PQ恰有一个公共点．
24.(1)0 1， x=0(或y轴) ；
(2)∵△PAB是等边三角形，
∴∠ABO=90°−60°=30°．
∴AB=2OA=4．
∴PB=4．
解法一：把y=4代入y=14x2+1，
得 x=±2 3．
∴P1(2 3,4)，P2(−2 3,4).
解法二：∴OB= AB2−OA2=2 3
∴P1(2 3,4).
根据抛物线的对称性，得P2(−2 3,4).
(3)∵点A的坐标为(0,2)，点P的坐标为(2 3,4)
∴设线段AP所在直线的解析式为y=kx+b
∴b=22 3k+b=4
解得：k= 33b=2
∴解析式为：y= 33x+2
设存在点N使得OAMN是菱形，
∵点M在直线AP上，
∴设点M的坐标为：(m, 33m+2)
如图，作MQ⊥y轴于点Q，则MQ=m，AQ=OQ−OA= 33m+2−2= 33m
∵四边形OAMN为菱形，
∴AM=AO=2，
∴在直角三角形AMQ中，AQ2+MQ2=AM2，
即：m2+( 33m)2=22
解得：m=± 3
代入直线AP的解析式求得y=3或1，
当P点在抛物线的右支上时，分为两种情况：
当N在右图1位置时，
∵OA=MN，
∴MN=2，
又∵M点坐标为( 3,3)，
∴N点坐标为( 3,1)，即N1坐标为( 3,1)．
当N在右图2位置时，
∵MN=OA=2，M点坐标为(− 3,1)，
∴N点坐标为(− 3,−1)，即N2坐标为(− 3,−1)．
当P点在抛物线的左支上时，分为两种情况：
第一种是当点M在线段PA上时(PA内部)我们求出N点坐标为(− 3,1)；
第二种是当M点在PA的延长线上时(在第一象限)我们求出N点坐标为( 3,−1)
∴存在N1( 3,1)，N2(− 3,−1)N3(− 3,1)，N4( 3,−1)使得四边形OAMN是菱形．