2024-2025学年四川省泸州市龙马潭区两校联考九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省泸州市龙马潭区两校联考九年级（上）开学数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是( )
A. 4B. 5C. 8D. 12
2.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. (−3)2=−3C. 8=3 2D. 12÷ 3=2
3.甲、乙、丙、丁四位同学的五次数学测验成绩统计如表所示，如果要从这四位同学中，选出一位成绩好又稳定的同学参加数学竞赛，则应选的同学是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
4.如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于( )
A. 1 cmB. 2 cm
C. 3 cmD. 4 cm
5.如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是( )
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
6.已知点(−4,y1)，(2,y2)都在直线y=−12x+2上，则y1，y2大小关系是( )
A. y1>y2B. y1=y2C. y17.下列说法错误的是( )
A. 平行四边形的对角线互相平分B. 矩形的对角线相等
C. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半D. 对角线互相垂直的四边形是菱形
8.关于x的方程x2−x=56的解是( )
A. x=−7B. x=2C. x=8D. x=−7或x=8
9.△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：①∠A=∠B−∠C；②∠A：∠B：∠C=3：4：5；③a2=(b+c)(b−c)；④a：b：c=5：12：13，其中能判断△ABC是直角三角形的个数有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
10.若一次函数y=(3−k)x−k的图象经过第二、三、四象限，则k的取值范围是( )
A. k>3B. 011.如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在D′处，则重叠部分△AFC的面积是( )
A. 8B. 10C. 20D. 32
12.关于x的方程(m+1)x|m|+1−(m−1)x+1=0是一元二次方程，则m的值是( )
A. −1B. 1C. ±1D. 0
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.在函数y=1 x−2中，自变量x的取值范围是______．
14.已知直线y=kx+b和直线y=−3x平行，且过点(0,−2)，则此直线解析式为______．
15.已知直线y=x−3与y=2x+2的交点为(−5,−8)，则方程组x−y−3=02x−y+2=0的解是______．
16.在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的动点，则PE和PC的长度之和最小是______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算： 12−(12)−1+| 3−2|−(2020−π)0+3−8．
18.(本小题6分)
先化简，再求值，(x−3x2−1−2x+1)÷xx2−2x+1，其中x= 2+1．
19.(本小题6分)
如图，▱ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，且BE=DF.求证：AE//FC．
20.(本小题7分)
书籍是人类进步的阶梯．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生本学期阅读课外书的册数，并绘制出如图统计图．
(1)共抽查了多少名学生？
(2)请补全条形统计图，并写出被抽查学生本学期阅读课外书册数的众数、中位数；
(3)根据抽查结果，请估计该校1200名学生中本学期课外阅读5册书的学生人数．
21.(本小题7分)
已知雅美服装厂现有A种布料70米，B种布料52米，现计划用这两种布料生产M、N两种型号的时装共80套．已知做一套M型号的时装需用A种布料1.1米，B种布料0.4米，可获利50元；做一套N型号的时装需用A种布料0.6米，B种布料0.9米，可获利45元．设生产M型号的时装套数为x，用这批布料生产两种型号的时装所获得的总利润为y元．
(1)求y(元)与x(套)的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
(2)当M型号的时装为多少套时，能使该厂所获利润最大？最大利润是多？
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，直线L1：y=kx+b的图象经过点C(−2,7)，且与x轴交于点B，与直线L2：y=12x交于点A，点A的横坐标为6．
(1)求直线AB的解析式；
(2)直接写出关于x的不等式kx+b>12x的解集；
(3)若D是y轴上的点，且S△AOD=13S△AOB，求点D的坐标．
23.(本小题8分)
已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE=AF．
(1)求证：BE=DF；
(2)连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM=OA，连接EM，FM，判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．
24.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10，∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t(t>0)秒，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
(1)求证：四边形AEFD是平行四边形；
(2)当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；
(3)当t为何值时，△DEF为直角三角形？(请直接写出t的值)
25.(本小题12分)
如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=−12x+4分别与x轴、y轴交于点B、C，且与直线l2：y=13x交于点A．
(1)分别求出点A、B、C的坐标；
(2)若D是线段OA上的点，且△COD的面积为6，求直线CD的函数表达式；
(3)在(2)的条件下，设P是射线CD上的点，在平面内是否存在点Q，使以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.B
2.D
3.A
4.B
5.D
6.A
7.D
8.D
9.C
10.A
11.B
12.B
13.x>2
14.y=−3x−2
15.x=−5y=−8
16. 13
17.解：原式=2 3−2+2− 3−1−2
= 3−3．
18.解：原式=[x−3(x+1)(x−1)−2(x−1)(x+1)(x−1)]⋅(x−1)2x
=−x−1(x+1)(x−1)⋅(x−1)2x
=1−xx，
∵x= 2+1，
∴原式=1−( 2+1) 2+1
=− 2 2+1
=−2+ 2．
19.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD//BC，
∵BE=DF，
∴AD−AF=BC−BF，即AF=EC，
而AF//EC，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴AE//FC．
20.解：(1)12÷30%=40(名)，
∴共抽查了40名学生；
(2)40−8−12−6=14(人)，
补全条形统计图如图：
∵阅读册数最多的是5册，
∴阅读课外书册数的众数是5，
∵这40个数从小到大排列第20和21个数都是5，
∴阅读课外书册数的中位数是5；
(3)1200×1440=420(人)，
∴该校1200名学生中本学期课外阅读5册书的学生人数为420人．
21.解：(1)y=50x+45(80−x)=5x+3600，
由题意得，1.1x+0.6(80−x)≤70 ①0.4x+0.9(80−x)≤52 ②，
解不等式①得，x≤44，
解不等式②得，x≥40，
所以，不等式组的解集是40≤x≤44，
∵x为整数，
∴x=40，41，42，43，44，
∴y与x的函数关系式是y=5x+3600(x=40,41,42,43,44)；
(2)∵k=5>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x=44时，y最大=3820，
即，生产M型号的时装44套时，该厂所获利润最大，最大利润是3820元．
22.解：(1)∵点A在直线y=12x上，且点A的横坐标为6，
∴把x=6代入y=12x得：y=3，
∴点A的坐标是(6,3)，
∵直线L1过点C(−2,7)，点A(6,3)，
∴−2k+b=76k+b=3，
解得：k=−12，b=6，
∴直线AB的解析式是y=−12x+6；
(2)∵直线y=kx+b和直线y=12x的交点A的坐标是(6,3)，
∴关于x的不等式kx+b>12x的解集为：x<6；
(3)设D(0,y)，
∵点B为直线L1与x轴的交点，
∴−12x+6=0，解得：x=12，
即OB=12，
∵S△AOD=13S△AOB，
∴12×6×|y|=13×18=6，
解得：y=±2，
∴D(0,2)或(0,−2)．
23.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∵AB=ADAE=AF,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)
∴BE=DF；
(2)解：四边形AEMF是菱形，理由为：
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCA=∠DCA=45°(正方形的对角线平分一组对角)，
BC=DC(正方形四条边相等)，
∵BE=DF(已证)，
∴BC−BE=DC−DF(等式的性质)，
即CE=CF，
在△COE和△COF中，
CE=CF∠OCE=∠OCFOC=OC,
∴△COE≌△COF(SAS)，
∴OE=OF，又OM=OA，
∴四边形AEMF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，
∵AE=AF，
∴平行四边形AEMF是菱形．
24.(1)证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF，
∵AE//DF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
(2)∵四边形AEFD是平行四边形，
∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．
∵∠A=90°−∠C=60°，
∴AD=AE．
∵AE=t，AD=AC−CD=10−2t，
∴t=10−2t，
∴t=103，
∴当t为103时，△DEF是等边三角形．
(4)∵四边形AEFD是平行四边形，
∴当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形．
当∠AED=90°时，AD=2AE，即10−2t=2t，
解得：t=52；
当∠ADE=90°时，AE=2AD，即t=2(10−2t)，
解得：t=4．
综上所述：当t为52或4时，△DEF为直角三角形．
25.解：(1)∵y=−12x+4分别与x轴、y轴交于点B、C，
∴点C坐标为(0,4)，点B坐标为(8,0)，
∵直线l1：y=−12x+4与直线l2：y=13x交于点A．
∴−12x+4=13x，
∴x=245，
∴点A坐标为(245,85)；
(2)设点D坐标为(x,13x)，
∵△COD的面积为6，
∴12×4×|x|=6，
∴x=±3，
∵D是线段OA上的点，
∴x=3，
∴点D(3,1)，
设直线CD解析式为：y=kx+4，
∴1=3k+4，
∴k=−1，
∴直线CD解析式为：y=−x+4；
(3)若以OC为边，设点P(a,−a+4)(a≥0)，
如图，
当四边形OCPQ是菱形，
∴OC=CP=4，PQ/​/OC，PQ=OC=4，
∴CP=4= a2+(−a+4−4)2，
∴a1=2 2，a2=−2 2(舍去)，
∴点P(2 2,4−2 2)，
∴点Q(2 2,−2 2)；
当四边形OCQ′P′是菱形，
∴OC=OP′=4，P′Q′=OC=4，P′Q′//OC，
∴OP′=4= a2+(−a+4)2，
∴a1=0(舍去)，a2=4，
∴点P′(4,0)，
∴点Q′(4,4)；
若OC为对角线，
∵以O、C、P、Q为顶点的四边形是菱形，
∴CO与PQ互相垂直平分，
∴点P的纵坐标为2，
∴点P(2,2)，
∴点Q坐标为(−2,2)；
综上所述：点Q的坐标为(−2,2)或(4,4)或(2 2,−2 2).
甲
乙
丙
丁
平均分
90
85
90
85
方差
42
50
50
42