2024-2025学年山东省潍坊市部分学校高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年山东省潍坊市部分学校高二上学期第一次月考数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若直线l经过两点A2,m、B−m,2m−1且l的倾斜角为45∘，则m的值为( )
A. 12B. 2C. 1D. −12
2.已知直线l1:ax+y−2=0,l2:2x+a+1y+2=0，若l1//l2，则a=( )
A. −1或2B. 1C. 1或−2D. −2
3.已知点A(2,0)与B(0,4)关于直线ax+y+b=0对称，则a，b的值分别为( )
A. 1，3B. −12,−32C. −2，0D. 12，−52
4.点P−2,−1到直线l:1+3λx+1+λy−2−4λ=0λ∈R的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为( )
A. 13;2x−3y+1=0B. 11;3x+y−4=0
C. 13;3x+2y−5=0D. 11;2x−3y+1=0
5.若圆x2+8x+y2−6y+m=0与x轴，y轴均有公共点，则实数m的取值范围是( )
A. −∞,9B. −∞,16C. 9,25D. 16,25
6.一束光线从点M1,2出发经x轴反射后经过点N−2,4，半径为 5的圆C恰好与入射光线和反射光线都相切，则圆C的标准方程是( )
A. x−52+y2=5B. x+52+y2=5
C. x2+y−52=5D. x2+y+52=5
7.已知点A−1,0，B0,3，点P是圆x−32+y2=1上任意一点，则▵PAB面积的最小值为( )
A. 6B. 112C. 92D. 6− 102
8.定义：若抛物线的顶点，抛物线与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”.如图，直线l:y=13x+b经过点M0,14，一组抛物线的顶点B11,y1,B22,y2,B33,y3，…Bnn,yn(n为正整数)，依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1x1,0,A2x2,0，A3x3,0,…An+1xn+1,0(n为正整数).若x1=d(0A. 512或712B. 512或1112
C. 712或1112D. 712
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线l:kx−y+k=0，圆C:x2+y2−6x+5=0,Px0,y0为圆C上任意一点，则下列说法正确的是( )
A. x02+y02的最大值为5B. y0x0的最大值为2 55
C. 直线l与圆C相切时，k=± 33D. 圆心C到直线l的距离最大为4
10.“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼⋅闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)的曼哈顿距离d(A,B)=x1−x2+y1−y2，则下列结论正确的是( )
A. 若点P(2,4)，Q(−2,1)，则d(P,Q)=7
B. 若点M(−1,0)，N(1,0)，则在x轴上存在点P，使得d(P,M)+d(P,N)=1
C. 若点M(2,1)，点P在直线x−2y+6=0上，则d(P,M)的最小值是3
D. 若点M在圆x2+y2=4上，点N在直线2x−y+8=0上，则d(M,N)的值可能是4
11.下列说法正确的是( )
A. 直线xsinα+y+2=0的倾斜角θ的取值范围是0,π4∪3π4,π
B. “a=−1”是“直线a2x−y+1=0与直线x−ay−2=0互相垂直”的充要条件
C. 过点P1,2且在x轴，y轴截距相等的直线方程为x+y−3=0
D. 经过平面内任意相异两点x1,y1,x2,y2的直线都可以用方程x2−x1y−y1=y2−y1x−x1表示．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的重心、垂心和外心共线，这条线称之为三角形的欧拉线．已知A(0,2)，B(4,2)，C(a,−1)，且△ABC为圆x2+y2+Ex+Fy=0内接三角形，则△ABC的欧拉线方程为 ．
13.在直线x−2y+1=0上求一点，使它到直线l:x+3y−2=0的距离等于原点到l的距离，则此点的坐标为 ．
14.梵高《星月夜》用夸张的手法描绘了充满运动和变化的星空.假设月亮可看作半径为1的圆O的一段圆弧E，且弧E所对的圆心角为4π5.设圆C的圆心C在点O与弧E中点的连线所在直线上.若存在圆C满足：弧E上存在四点满足过这四点作圆O的切线，这四条切线与圆C也相切，则弧E上的点与圆C上的点的最短距离的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知点P1,3，_______，从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知条件补充在横线处，并作答．
(1)求直线l1的方程；
(2)求直线l2：2x+y−5=0关于直线l1的对称直线的方程．
条件①：点P关于直线l1的对称点P1的坐标为−1,1；
条件②：点M的坐标为6,−2，直线l1过点−2,4且与直线PM平行；
条件③：点N的坐标为−3,−1，直线l1过点−2,4且与直线PN垂直．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
16.(本小题12分)
已知圆C的圆心为−2,1，且圆C______.在下列所给的三个条件中任选一个，填在直线上，并完成解答(注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)
①与直线3x+4y+17=0相切；
②与圆M：x−22+y−42=4相外切；
③经过直线3x+y+2=0与直线x−3y+14=0的交点．
(1)求圆C的方程；
(2)圆N：x−m2+y2=m2m>0，是否存在实数m，使得圆N与圆C公共弦的长度为2，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．
17.(本小题12分)
已知圆C经过点A(1,3)、B(2,2)，并且直线m：3x−2y=0平分圆C．
(1)求圆C的方程；
(2)过点D(0,1)，且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M,N，且OM⋅ON=12，求k的值．
18.(本小题12分)
已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的 左右顶点分别为A1,A2，右焦点为F，已知A1F=3,A2F=1．
(1)求椭圆的方程和离心率；
(2)点P在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形A2PF面积的二倍，求直线A2P的方程．
19.(本小题12分)
已知点P和非零实数λ，若两条不同的直线l1,l2均过点P，且斜率之积为λ，则称直线l1,l2是一组“Pλ共轭线对”，如直线l1:y=2x,l2:y=−12x是一组“O−1共轭线对”，其中O是坐标原点.规定相交直线所成的锐角或直角为两条相交直线的夹角．
(1)已知l1,l2是一组“O−3共轭线对”，求l1,l2的夹角的最小值；
(2)已知点Q−1,− 2，直线l1,l2是“Q−2共轭线对”，当l1的斜率变化时，求原点O到直线l1,l2的距离之积的取值范围．
参考答案
1.D
2.B
3.B
4.C
5.A
6.C
7.D
8.B
9.BC
10.ACD
11.AD
12.y=1
13.1,1或−35,15
14.0, 5
15.解：(1)选择条件①：因为点 P 关于直线 l1 的对称点 P1 的坐标为 −1,1 ，
所以 l1 是线段 PP1 的垂直平分线，
又 kPP1=3−11−−1=1 ，所以直线 l1 的斜率为 −1 ．
又线段 PP1 的中点坐标为 0,2 ，所以直线 l1 的方程为 y−2=−x−0 ，即 x+y−2=0 ．
选择条件②：因为 kPM=−2−36−1=−1 ，直线 l1 与直线 PM 平行，所以直线 l1 的斜率为 −1 ，
又直线 l1 过点 −2,4 ，所以直线 l1 的方程为 y−4=−x+2 ，即 x+y−2=0 ．
选择条件③：因为 kPN=3−−11−−3=1 ，直线 l1 与直线 PN 垂直，所以直线 l1 的斜率为 −1 ，
又直线 l1 过点 −2,4 ，所以直线 l1 的方程为 y−4=−x+2 ，即 x+y−2=0 ．
(2)由 x+y−2=02x+y−5=0 解得 x=3,y=−1, 故 l1 ， l2 的交点坐标为 3,−1 ，
因为 A0,5 在直线 l2 ： 2x+y−5=0 上，设 A0,5 关于 l1 对称的点为 A1m,n ，
则 n−5m=1,m2+n+52−2=0, 解得 m=−3,n=2,
所以直线 l2 关于直线 l1 对称的直线经过点 3,−1 ， −3,2 ，
代入两点式方程得 y+12+1=x−3−3−3 ，即 x+2y−1=0 ，
所以直线 l2 ： 2x+y−5=0 关于直线 l1 的对称直线的方程为 x+2y−1=0 ．

16.(1)
设圆C的半径为r，
若选条件①，圆C与直线3x+4y+17=0相切，
所以圆心C到直线3x+4y+17=0的距离是圆C的半径，
即r=−6+4+175=3，
所以圆C的方程为x+22+y−12=9．
若选条件②，与圆M：x−22+y−42=4相外切，圆M的圆心为2,4，半径为2，
所以r+2= 2+22+4−12=5，所以r=3，
所以圆C的方程为x+22+y−12=9．
若选条件③，经过直线3x+y+2=0与直线x−3y+14=0的交点，
由3x+y+2=0x−3y+14=0，得x=−2y=4，所以r=4−1=3，
所以圆C的方程为x+22+y−12=9．
(2)
圆N：x−m2+y2=m2m>0的圆心为m,0，半径为m，
两个圆有公共弦，则m−3即m−3< m+22+125，
由x+22+y−12=9x−m2+y2=m2得两圆公共弦所在直线方程m+2x−y−2=0
又两圆的公共弦长为2，则圆心C到公共弦所在直线的距离为
d=−2m−4−1−2 m+22+1=2m+7 m2+4m+5，且2 9−d2=2，
解得m= 10−12或m=− 10−12，
又m>25，所以m= 10−12.经检验符合题意．
故存在实数m= 10−12，使得圆N与圆C公共弦的长度为2．

17.(1)
设圆C的标准方程为x−a2+y−b2=r2，
因为直线m：3x−2y=0平分圆C的面积，
所以直线过圆心a,b，即3a−2b=0，
则3a−2b=01−a2+3−b2=r22−a2+2−b2=r2，解得a=2b=3r2=1,
圆的方程为x−22+y−32=1；
(2)
由题意直线l的方程为y=kx+1，
联立y=kx+1x−22+y−32=1，消去y得1+k2x2−41+kx+7=0，
设Mx1,y1,Nx2,y2，
则Δ=161+k2−281+k2=0=−43k2−8k+3>0，得4− 73故x1+x2=41+k1+k2,x1x2=71+k2，
而y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1，
所以OM⋅ON=x1x2+y1y2=(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1
=(k2+1)71+k2+k4(1+k)1+k2+1=4k(1+k)1+k2+8，
故有4k(1+k)1+k2+8=12，解得k=1，满足Δ>0，
所以k=1．

18.(1)
如图，

由题意得a+c=3a−c=1，解得a=2,c=1，所以b= 22−12= 3，
所以椭圆的方程为x24+y23=1，离心率为e=ca=12．
(2)
由题意得，直线A2P斜率存在，由椭圆的方程为x24+y23=1可得A22,0，
设直线A2P的方程为y=kx−2，
联立方程组x24+y23=1y=kx−2，消去y整理得：3+4k2x2−16k2x+16k2−12=0，
由韦达定理得xA2⋅xP=16k2−123+4k2，所以xP=8k2−63+4k2，
所以P8k2−63+4k2,−12k3+4k2，Q0,−2k．
所以S▵A2QA1=12×4×yQ，S▵A2PF=12×1×yP，S▵A1A2P=12×4×yP，
所以S▵A2QA1=S▵A1PQ+S▵A1A2P=2S▵A2PF+S▵A1A2P，
所以2yQ=3yP，即2−2k=3−12k3+4k2，
解得k=± 62，所以直线A2P的方程为y=± 62x−2．

19.(1)
设l1的斜率为k，则l2的斜率为−3k，两直线的夹角为α，
则tanα=k−−3k1+−3=12k+3k≥ 3，
∵α∈(0,π2] ，
∴π3≤α<π2 ，
等号成立的条件是k=± 3，所以直线l1,l2的夹角最小值为π3．
(2)
设l1:y+ 2=kx+1，l2:y+ 2=−2kx+1，其中k≠0，
故d1d2=k− 2 1+k2×−2k− 2 1+4k2= 2×k2−2 k2+1 k2+4
= 2× k4−4k2+4k4+5k2+4= 2× 1−9k2k4+5k2+4= 2× 1−9k2+4k2+5
由于k2+4k2+5≥2 k2×4k2+5=9(等号成立的条件是k2=2)，
故1−9k2+4k2+5∈0,1,
所以d1d2∈0, 2,
即原点O到直线l1,l2的距离之积的取值范围为d1d2∈0, 2．