2024-2025学年陕西省汉中市高二上学期开学收心检测数学试卷(含答案)
展开1.设a∈R,i为虚数单位,若复数z=a+1+1−ai为纯虚数,则a的值为( )
A. 1B. −1C. 0D. −i
2.已知集合A=xx2<4,B=−2,−1,0,1,2,则A∩B=( )
A. 0B. 0,1C. −1,0,1D. −2,−1,0,1
3.中国古代科举制度始于隋而成于唐,兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷,按11:7:2的比例录取,若某年会试录取人数为200,则中卷录取人数为( )
A. 150B. 110C. 70D. 20
4.已知单位向量a,b满足|a−b|= 3,则a与b的夹角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
5.已知α,β是两个不同的平面,“存在直线l,l⊥α,l⊥β”是“α//β”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药,并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量ct(单位:mg/L)随着时间t(单位:ℎ)的变化用指数模型ct=c0e−kt描述,假定该药物的消除速率常数k=0.1(单位:ℎ−1),刚注射这种新药后的初始血药含量c0=3000mg/L,且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对支原体肺炎起疗效,现给某支原体肺炎患者注射了这种新药,则该新药对病人有疗效的时长大约为( )(参考数据:ln2≈0.693,ln3≈1.099)
A. 5.32ℎB. 6.23ℎC. 6.93ℎD. 10.99ℎ
7.如图,在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中,AB=4,A1B1=2,AA1= 343,则该正四棱台的体积为( )
A. 1129B. 1409C. 1123D. 1403
8.已知函数fx=cs2x,若关于x的方程fx=a在−π12,π4上有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )
A. 32,1B. 32,1C. 12,1D. 12,1
二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是( )
A. y=1xB. y=ex−e−xC. y=x3D. y=lg2x
10.若复数z=i71−i,则( )
A. z的共轭复数z=1+i2B. z= 22
C. 复数z的实部与虚部相等D. 复数z在复平面内对应的点在第四象限
11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点M,N,P分别是线段C1D1,线段C1C,线段A1B上的动点(包含端点),且MC1=NC1≠0.则下列说法正确的有( )
A. MN//平面ABB1A1
B. 异面直线MN与AP所成的最大角为60∘
C. 三棱锥P−CDM的体积为定值
D. 当四棱锥P−ABCD的体积最大时,该四棱锥外接球的表面积为12π
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边经过点P1,3,则2csπ−θcsθ−sinπ+θ= .
13.盒中有3个大小质地完全相同的球,其中2个白球、1个黑球,从中不放回地依次随机摸出2个球.则恰好摸出一个白球一个黑球的概率为 .
14.已知向量a=1,−2,b=x,−1,c=−4,x,若2a+b,a−c反向共线,则实数x的值为 .
四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知角α∈0,π,且csα=−45.
(1)求sinπ+α值;
(2)求csα−π4的值.
16.(本小题12分)
如图,在△ABC中,AD=13AB,点E是CD的中点,设AB=a,AC=b,
(1)用a,b表示CD,AE;
(2)如果a=3b,CD,AE有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.
17.(本小题12分)
已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π2仅满足下列四个条件中的三个:
①fx的最小正周期为π;②fx的最大值为2;③f0=−1;④f−π6=0.
(1)请找出函数fx满足的三个条件,并说明理由;
(2)求函数fx的解析式.
18.(本小题12分)
记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 3b−asinA=b+csinB−sinC.
(1)求角C;
(2)若▵ABC外接圆的半径为2,求▵ABC面积的最大值.
19.(本小题12分)
如图,在四棱锥P−ABCD中,∠ABC=∠ACD=90∘,∠BCA=∠CDA=30∘,PA⊥平面ABCD,E,F分别为PD,PC中点.
(1)求证:平面PAC⊥平面AEF;
(2)设PA=2AB=2x,求二面角E−AC−D的大小.
参考答案
1.B
2.C
3.D
4.C
5.C
6.D
7.A
8.B
9.BC
10.ABD
11.ACD
12.−12或−0.5
13.23
14.−7
15.(1)
∵α∈0,π,且csα=−45.
∴sinα= 1−cs2α=35,
∴sinπ+α=−sinα=−35.
(2)
因为csα=−45,sinα=35,
所以csα−π4= 22csα+ 22sinα= 22×−45+ 22×35=− 210.
16.解:(1)因为AD=13AB,
所以CD=AD−AC=13AB−AC=13a−b,
因为E是CD的中点,
AE=12(AD+AC)=12(13AB+AC)=16AB+12AC=16a+12b;
(2) CD⊥AE.
因为a=3b,
CD⋅AE
=(13a−b)⋅(16a+12b)
=118a2+16a·b−16a·b−12b2
=118|a|2−12|b|2
=118(3|b|)2−12|b|2
=0
所以CD⊥AE,所以CD⊥AE.
17.(1)
若函数fx满足条件③,则f0=Asinφ=−1,
这与A>0,0<φ<π2矛盾,故fx不能满足条件③,
∴函数fx只能满足条件①②④,
(2)
由条件①,得2πω=π,故ω=2,由条件②,得A=2,
由条件④,得f−π6=2sin−π3+φ=0,
又0<φ<π2,∴φ=π3,
∴函数fx的解析式为fx=2sin2x+π3.
18.(1)
由已知及正弦定理可得 3b−aa=b+cb−c,
整理得a2+b2−c2= 3ab,
∴csC=a2+b2−c22ab= 32,
∵C∈0,π,∴C=π6.
(2)
∵▵ABC外接圆的半径为2,
∴csinC=4,得c=2,∴a2+b2=4+ 3ab,
又a2+b2≥2ab,∴ab≤42+ 3,
当且仅当a=b= 6+ 2时,等号成立,
∴S▵ABC=12absinC≤12×42+ 3×12=2+ 3,
即▵ABC面积的最大值为2+ 3.
19.(1)
∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
∴PA⊥CD,
∵∠ACD=90∘,
∴AC⊥CD,
又PA∩AC=A,AC,PA⊂平面PAC,
∴CD⊥平面PAC,
∵E,F分别为PD,PC的中点,
∴EF//CD,
∴EF⊥平面PAC,
又EF⊂平面AEF,
∴平面PAC⊥平面AEF.
(2)
取AD的中点M,连接EM,取AC的中点H,连接EH,MH,
由EM//PA,PA⊥平面ABCD,可得EM⊥平面ABCD,
又AC,MH⊂平面ABCD,∴EM⊥AC,EM⊥MH,
又MH//CD,CD⊥AC,可得MH⊥AC,
又EM∩MH=M,EM,MH⊂平面EHM,
∴AC⊥平面EHM,又EH⊂平面EHM,故AC⊥EH,
∴∠EHM是二面角E−AC−D的平面角,
在▵ABC中,AB=x,∠ABC=90∘,∠BCA=30∘,可得AC=ABsin30∘=2x,
在▵ACD中,AC=2x,∠ACD=90∘,∠ADC=30∘,可得CD=2 3x,
在Rt▵EHM中,MH=12CD= 3x,EM=12PA=x,
可得tan∠EHM=EMMH= 33,故∠EHM=30∘,
则二面角E−AC−D的大小为30∘.
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