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    2024-2025学年陕西省汉中市高二上学期开学收心检测数学试卷(含答案)

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    这是一份2024-2025学年陕西省汉中市高二上学期开学收心检测数学试卷(含答案),共8页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.设a∈R,i为虚数单位,若复数z=a+1+1−ai为纯虚数,则a的值为( )
    A. 1B. −1C. 0D. −i
    2.已知集合A=xx2<4,B=−2,−1,0,1,2,则A∩B=( )
    A. 0B. 0,1C. −1,0,1D. −2,−1,0,1
    3.中国古代科举制度始于隋而成于唐,兴盛于明、清两朝.明代会试分南卷、北卷、中卷,按11:7:2的比例录取,若某年会试录取人数为200,则中卷录取人数为( )
    A. 150B. 110C. 70D. 20
    4.已知单位向量a,b满足|a−b|= 3,则a与b的夹角为( )
    A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
    5.已知α,β是两个不同的平面,“存在直线l,l⊥α,l⊥β”是“α//β”的( )
    A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
    C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
    6.我国某科研机构新研制了一种治疗支原体肺炎的注射性新药,并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量ct(单位:mg/L)随着时间t(单位:ℎ)的变化用指数模型ct=c0e−kt描述,假定该药物的消除速率常数k=0.1(单位:ℎ−1),刚注射这种新药后的初始血药含量c0=3000mg/L,且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L时才会对支原体肺炎起疗效,现给某支原体肺炎患者注射了这种新药,则该新药对病人有疗效的时长大约为( )(参考数据:ln2≈0.693,ln3≈1.099)
    A. 5.32ℎB. 6.23ℎC. 6.93ℎD. 10.99ℎ
    7.如图,在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中,AB=4,A1B1=2,AA1= 343,则该正四棱台的体积为( )
    A. 1129B. 1409C. 1123D. 1403
    8.已知函数fx=cs2x,若关于x的方程fx=a在−π12,π4上有两个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )
    A. 32,1B. 32,1C. 12,1D. 12,1
    二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.下列函数在其定义域上既是奇函数又是增函数的是( )
    A. y=1xB. y=ex−e−xC. y=x3D. y=lg2x
    10.若复数z=i71−i,则( )
    A. z的共轭复数z=1+i2B. z= 22
    C. 复数z的实部与虚部相等D. 复数z在复平面内对应的点在第四象限
    11.在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,点M,N,P分别是线段C1D1,线段C1C,线段A1B上的动点(包含端点),且MC1=NC1≠0.则下列说法正确的有( )
    A. MN//平面ABB1A1
    B. 异面直线MN与AP所成的最大角为60∘
    C. 三棱锥P−CDM的体积为定值
    D. 当四棱锥P−ABCD的体积最大时,该四棱锥外接球的表面积为12π
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.已知角θ的顶点在坐标原点,始边与x轴正半轴重合,终边经过点P1,3,则2csπ−θcsθ−sinπ+θ= .
    13.盒中有3个大小质地完全相同的球,其中2个白球、1个黑球,从中不放回地依次随机摸出2个球.则恰好摸出一个白球一个黑球的概率为 .
    14.已知向量a=1,−2,b=x,−1,c=−4,x,若2a+b,a−c反向共线,则实数x的值为 .
    四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题12分)
    已知角α∈0,π,且csα=−45.
    (1)求sinπ+α值;
    (2)求csα−π4的值.
    16.(本小题12分)
    如图,在△ABC中,AD=13AB,点E是CD的中点,设AB=a,AC=b,
    (1)用a,b表示CD,AE;
    (2)如果a=3b,CD,AE有什么位置关系?用向量方法证明你的结论.
    17.(本小题12分)
    已知函数fx=Asinωx+φA>0,ω>0,0<φ<π2仅满足下列四个条件中的三个:
    ①fx的最小正周期为π;②fx的最大值为2;③f0=−1;④f−π6=0.
    (1)请找出函数fx满足的三个条件,并说明理由;
    (2)求函数fx的解析式.
    18.(本小题12分)
    记▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 3b−asinA=b+csinB−sinC.
    (1)求角C;
    (2)若▵ABC外接圆的半径为2,求▵ABC面积的最大值.
    19.(本小题12分)
    如图,在四棱锥P−ABCD中,∠ABC=∠ACD=90∘,∠BCA=∠CDA=30∘,PA⊥平面ABCD,E,F分别为PD,PC中点.
    (1)求证:平面PAC⊥平面AEF;
    (2)设PA=2AB=2x,求二面角E−AC−D的大小.
    参考答案
    1.B
    2.C
    3.D
    4.C
    5.C
    6.D
    7.A
    8.B
    9.BC
    10.ABD
    11.ACD
    12.−12或−0.5
    13.23
    14.−7
    15.(1)
    ∵α∈0,π,且csα=−45.
    ∴sinα= 1−cs2α=35,
    ∴sinπ+α=−sinα=−35.
    (2)
    因为csα=−45,sinα=35,
    所以csα−π4= 22csα+ 22sinα= 22×−45+ 22×35=− 210.

    16.解:(1)因为AD=13AB,
    所以CD=AD−AC=13AB−AC=13a−b,
    因为E是CD的中点,
    AE=12(AD+AC)=12(13AB+AC)=16AB+12AC=16a+12b;
    (2) CD⊥AE.
    因为a=3b,
    CD⋅AE
    =(13a−b)⋅(16a+12b)
    =118a2+16a·b−16a·b−12b2
    =118|a|2−12|b|2
    =118(3|b|)2−12|b|2
    =0
    所以CD⊥AE,所以CD⊥AE.
    17.(1)
    若函数fx满足条件③,则f0=Asinφ=−1,
    这与A>0,0<φ<π2矛盾,故fx不能满足条件③,
    ∴函数fx只能满足条件①②④,
    (2)
    由条件①,得2πω=π,故ω=2,由条件②,得A=2,
    由条件④,得f−π6=2sin−π3+φ=0,
    又0<φ<π2,∴φ=π3,
    ∴函数fx的解析式为fx=2sin2x+π3.

    18.(1)
    由已知及正弦定理可得 3b−aa=b+cb−c,
    整理得a2+b2−c2= 3ab,
    ∴csC=a2+b2−c22ab= 32,
    ∵C∈0,π,∴C=π6.
    (2)
    ∵▵ABC外接圆的半径为2,
    ∴csinC=4,得c=2,∴a2+b2=4+ 3ab,
    又a2+b2≥2ab,∴ab≤42+ 3,
    当且仅当a=b= 6+ 2时,等号成立,
    ∴S▵ABC=12absinC≤12×42+ 3×12=2+ 3,
    即▵ABC面积的最大值为2+ 3.

    19.(1)
    ∵PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,
    ∴PA⊥CD,
    ∵∠ACD=90∘,
    ∴AC⊥CD,
    又PA∩AC=A,AC,PA⊂平面PAC,
    ∴CD⊥平面PAC,
    ∵E,F分别为PD,PC的中点,
    ∴EF//CD,
    ∴EF⊥平面PAC,
    又EF⊂平面AEF,
    ∴平面PAC⊥平面AEF.
    (2)
    取AD的中点M,连接EM,取AC的中点H,连接EH,MH,
    由EM//PA,PA⊥平面ABCD,可得EM⊥平面ABCD,
    又AC,MH⊂平面ABCD,∴EM⊥AC,EM⊥MH,
    又MH//CD,CD⊥AC,可得MH⊥AC,
    又EM∩MH=M,EM,MH⊂平面EHM,
    ∴AC⊥平面EHM,又EH⊂平面EHM,故AC⊥EH,
    ∴∠EHM是二面角E−AC−D的平面角,
    在▵ABC中,AB=x,∠ABC=90∘,∠BCA=30∘,可得AC=ABsin30∘=2x,
    在▵ACD中,AC=2x,∠ACD=90∘,∠ADC=30∘,可得CD=2 3x,
    在Rt▵EHM中,MH=12CD= 3x,EM=12PA=x,
    可得tan∠EHM=EMMH= 33,故∠EHM=30∘,
    则二面角E−AC−D的大小为30∘.
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