2024-2025学年四川省内江市第一中学高二上学期开学考试数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年四川省内江市第一中学高二上学期开学考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.样本数据24，13，14，18，12，14，20，16的75%分位数为( )
A. 17B. 18C. 19D. 20
2.设复数z=1−i(i是虚数单位)，则1+iz−z=( )
A. −1B. 1−2iC. 1+2iD. −1+2i
3.某射击运动员射击5次的成绩如下表：
下列结论正确的是( )
A. 该射击运动员5次射击的平均环数为9.2B. 该射击运动员5次射击的平均环数为9.5
C. 该射击运动员5次射击的环数的方差为1D. 该射击运动员5次射击的环数的方差为25
4.已知向量a，b满足|a|=2 3，|b|=3，且a，b的夹角为π3，则向量b在向量a方向上的投影向量的模为( )
A. 3B. 32C. 3D. 3 32
5.柜子里有3双不同的鞋，分别用a1，a2，b1，b2，c1，c2表示6只鞋，如果从中随机地取出2只，则取出的鞋一只左脚一只右脚的概率为( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
6.如图，△ABC中，D为BC边的中点，E为AD的中点，则BE=( )
A. −34AB+14ACB. 14AB−34ACC. 34AB+14ACD. 14AB+34AC
7.当x∈[0,2π]时，曲线y=sinx与y=2sin(3x−π6)的交点个数为( )．
A. 3B. 4C. 6D. 8
8.某数学兴趣小组为测量一古建筑物的高度，设计了测算方案.如图，在该建筑物旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点M的仰角分别为30∘，60∘，45∘，且AB=BC=50m，则该古建筑的高度为( )
A. 15 10mB. 20 5mC. 10 15mD. 50m
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量a=(1,2)，b=(−2,x)，a与b的夹角为θ，则( )
A. 若a//b，则x=−1B. 若x=2，则a+b= 17
C. 若a⊥b，则x=1D. 若csθ= 1010，则x=2
10.函数f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A> 0,ω>0,|φ|<π2,k∈R)的部分图象如图所示，则下列结论正确的有( )
A. A=1，k=12B. φ=−π6
C. f(x)在区间[5π12,11π12]上单调递减D. f(x−5π12)为偶函数
11.我们知道正.余弦定理推导的向量法，是在▵ABC中的向量关系AB+BC=AC的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系.如图，直线l与▵ABC的边AB，AC分别相交于点D，E，设AB=c，BC=a，CA=b，∠ADE=θ，则下列结论正确的有( )
A. a2+b2+c2=2abcsC+2bccsA+2cacsB
B. ccsA+acsC=b
C. asin(B−θ)+bsin(A+θ)=csinθ
D. acs(B−θ)+bcs(A+θ)=ccsθ
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知csα=45，α∈−π2,0，则csα+π4的值为 ．
13.为估计某草场内兔子的数量，使用以下方法：先随机从草场中捕捉兔子100只，在每只兔子的尾巴上作上记号后放回草场.再随机从草场中捕捉60只，若尾巴上有记号的兔子共有10只，估计此草场内约有兔子 只.
14.某高校的入学面试中有3道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是23，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
在▵ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b−ccsA=2acsBcsC，C≠π2，
(1)求角B；
(2)以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3，若S1−S2+S3= 32，求▵ABC的面积．
16.(本小题12分)
2023年，某地为了帮助中小微企业渡过难关，给予企业一定的专项贷款资金支持．如图是该地120家中小微企业的专项贷款金额(万元)的频率分布直方图：
(1)确定a的值，并估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数(结果保留整数)；
(2)按专项贷款金额进行分层抽样，从这120家中小微企业中随机抽取20家．记专项贷款金额在[200,300]内应抽取的中小微企业数为m．
①求m的值；
②从这m家中小微企业中随机抽取3家，求这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的概率．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin2x+2 3sinxcsx−cs2x+m的最大值为3，
(1)若f(x)的定义域为[0,π]，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x02)=115，x0∈0,π2，求cs2x0+π6的值．
18.(本小题12分)
如图，在斜坐标系xOy中，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，且e1，e2的夹角为60∘，定义向量OP=xe1+ye2在该斜坐标系xOy中的坐标为有序数对(x,y)，记为OP=xe1+ye2=(x,y).在斜坐标系xOy中，完成如下问题：
(1)若u=(1,2)，v=(−3,1)，求u+2v的坐标；
(2)若a=(2,4)，b=(5,m)，且a⊥b，求实数m的值；
(3)若m=(4,−5)，n=(−2,3)，求向量m,n的夹角θ的余弦值．
19.(本小题12分)
我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知为田几何？”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式.若▵ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S= 14a2c2−a2+c2−b222，
(1)若a= 2，b= 7，c= 3，求▵ABC面积；
(2)用“三斜求积”公式推导以下公式中的一个：①S=12acsinB；②S= p(p−a)(p−b)(p−c)，其中p=12(a+b+c)；
(3)若b=2，且 3ccsB+2 3csC=c，求▵ABC面积的最大值．
参考答案
1.C
2.D
3.D
4.B
5.C
6.A
7.C
8.C
9.BCD
10.AC
11.ABD
12.7 210
13.600
14.2627
15.解：(1)由b−ccsA=2acsBcsC，
可得：sinB−sinCcsA=2sinAcsBcsC
sinA+C−sinCcsA=2sinAcsBcsC
sinAcsC=2sinAcsBcsC，
又C≠π2，sinA≠0
所以csB=12，即B=π3
(2)由题意得S1=12⋅a2⋅ 32= 34a2，S2= 34b2，S3= 34c2，
则S1−S2+S3= 34a2− 34b2+ 34c2= 32，即a2+c2−b2=2，
由余弦定理得csB=a2+c2−b22ac=12，所以ac=2，
由csB=12，得sinB= 32，则S▵ABC=12acsinB= 32；

16.解：(1)由频率分布直方图，得(0.002+0.003+2a+0.006+0.001)×50=1，解得a=0.004．
设中位数为t，专项贷款金额在[0,150)内的频率为0.45，在[150,200)内的频率为0.3，
所以中位数t在[150,200)内，所以(t−150)×0.006=0.05，解得t≈158，
所以估计这120家中小微企业的专项贷款金额的中位数为158万元．
(2) ①由题意，得抽取比例为20120=16，
专项贷款金额在[200,300]内的中小微企业有120×50×(0.004+0.001)=30家，
所以应抽取30×16=5家，所以m=5．
②在抽取的5家中小微企业中，专项贷款金额在[200,250)内的有5×45=4家，记为A，B，C，D，专项贷款金额在[250,300]内的有5×15=1家，记为E．
从这5家中小微企业中随机抽取3家的可能情况为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE，共10种，
其中这3家中小微企业的专项贷款金额都在[200,250)内的情况为ABC，ABD，ACD，BCD，共4种，所以所求概率P=410=25．
17.解：(1)将fx化简可得fx= 3sin2x−cs2x+m=2sin2x−π6+m，
因为fxmax=2+m=3，所以m=1．
此时fx=2sin2x−π6+1，
当x∈0,π时，2x−π6∈−π6,11π6
令−π6≤2x−π6≤π2.得0≤x≤π3；
令3π2≤2x−π6≤11π6，得5π6≤x≤π，
所以fx的单调递增区间为0,π3和5π6,π．
(2)由(1)知fx=2sin2x−π6+1．
由fx02=115，得2sinx0−π6+1=115，
所以sinx0−π6=35.又因为x0∈0,π2.所以x0−π6∈−π6,π3，
所以csx0−π6= 1−sin2x0−π6=45．
所以sin2x0−π6=2sinx0−π6csx0−π6=2425，
所以cs2x0+π6=cs2x0−π6+π2=−sin2x0−π6=−2425．

18.解：(1)若u=(1,2)，v=(−3,1)，则u=e1+2e2,v=−3e1+e2，
则u+2v=e1+2e2+2−3e1+e2=−5e1+4e2
故u+2v的坐标为−5,4．
(2)若a=(2,4)，b=(5,m)，且a⊥b，
则a=2e1+4e2，b=5e1+me2，
由已知得e1=e2=1，e1⋅e2=e1e2cs60∘=12．
所以a⋅b=2e1+4e2⋅5e1+me2=10e12+20+2me1⋅e2+4me22
=10+10+m+4m=20+5m=0，解得m=−4．
(3)若m=(4,−5)，n=(−2,3)，
则m2=m2=4e1−5e22=16e12−40e1⋅e2+25e22=41−20=21，
n2=n2=−2e1+3e22=4e12−12e1⋅e2+9e22=13−6=7，
所以m= 21,n= 7，
又m⋅n=4e1−5e2⋅−2e1+3e2=−8e12+22e1⋅e2−15e22=−23+11=−12，
向量m，n的夹角θ的余弦值为m⋅nmn=−12 21× 7=−47 3．

19.解：(1)因为a= 2，b= 7，c= 3，
所以S= 14[2×3−(2+3−72)2]= 52．
(2)选①：S= 14[a2c2−(a2+c2−b22)2]= 14[a2c2−(2accsB2)2]
=12ac 1−cs2B=12acsinB．
选②：S= 14[a2c2−(a2+c2−b22)2]= 14ac−a2+c2−b22ac+a2+c2−b22
= 14×b2−a−c22×a+c2−b22
= b−a+c2×b+a−c2×a+c−b2×a+c+b2
= b+a+c2−ab+a+c2−ca+c+b2−b×a+c+b2，
记p=12(a+b+c)，则S= p(p−a)(p−b)(p−c)．
(2)因为b=2，所以 3ccsB+ 3bcsC=c，
由正弦定理边化角得 3sinCcsB+ 3sinBcsC=sinC，
所以 3sinB+C= 3sinA=sinC，即c= 3a，
由 3a+a>2 3a+2>aa+2> 3a解得 3−1因为S= 14a2×3a2−a2+3a2−422=12 −a4+8a2−4
=12 −a2−42+12，
所以当a2=4时，S取得最大值Smax= 3．
第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
9环
9环
10环
8环
9环