初中数学鲁教版（五四学制）（2024）九年级上册5 三角函数的应用学案

这是一份初中数学鲁教版（五四学制）（2024）九年级上册5 三角函数的应用学案，共3页。学案主要包含了学习目标，知识梳理，典型例题，巩固训练等内容，欢迎下载使用。

【学习目标】
能熟练地应用解直角三角形解有关方位角、坡角（坡度）问题.
【知识梳理】
1.方向角通常以 为主，分南偏东（西）和北偏东（西）,如北偏东300方向、南偏西450方向,且各个观测点 是互相平行的.
2.特殊的方向角，如东南方向、东北方向、西南方向、西北方向，夹角都为450
3.解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分解为直角三角形和矩形来解决.
4.坡面的 和 的比叫做坡度.记作：i=； 与 的夹角叫做坡角 ，记为：α.即：i==tanα,坡度等于锐角α的 .
【典型例题】
知识点一 用解直角三角形解方向角问题
1.如图1,一艘轮船从位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，这时轮船与小岛的距离是（ ）
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
知识点二 用解直角三角形解坡角（坡度）问题
2.如图2所示，某拦水坝的横截面为梯形， 迎水坡的坡角为，且， 背水坡的坡度为是指坡面的铅直高度与水平宽度的比，坝面宽，坝高则坝底宽__________．
图1 图2

【巩固训练】
1.如图3，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，则A，C两港之间的距离为_____km．
2.如图4，小明在C处看到西北方向上有一凉亭A，北偏东α°的方向上有一棵大树B，已知凉亭A在大树B的正西方向，若BC＝m米，则A、B两点相距 米．
3.小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°.若斜面AB的坡度为1:3,则斜坡AB的长是 __________米.
4.如图6，某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP
＝ 海里．
图3
图4
图5
图6
5.如图7，王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走 210米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为 30∘,若斜坡CF的坡比为 i=1:3(点E、C、B在同一水平线上).
(1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；
(2)求大树AB的高度(结果保留根号).

2.5 三角函数的应用(2)
【知识梳理】
1.南北方向线 ，南北方向线.
4.铅直高度，水平距离；坡面，水平面，
正切值 .
【典型例题】
1. D．2. 49米 ．
【巩固训练】
1.（30+10）；2. m（csα+sinα）；
3. 203； 4. 7；
5. 解： (1)如图,过点D作DH⊥CE于点H.
∵斜坡CF的坡比为 i=1:3,∴DHCH=13.
设DH=x米,x>0,则CH=3x米,由勾股定理,得 DH2+CH2=DC2,
即 x2+3x2=2102,∴x=2.∴DH=2米.
答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米
(2)如图,过点D作DG⊥AB于点G,设BC=a米.
∵∠DHB=∠DGB=∠ABC=90°,∴四边形DHBG为矩形.∴DH=BG=2米,DG=BH=(a+6)米.
∵∠ACB=45∘,∴BC=AB=a米.∴AG=(a-2)米.
∵∠ADG=30°,∴tan∠ADC=tan30°=AGDG=33,即 a−2a+6=33.
∴a=6+43.∴AB=(6+43)米.
答：大树AB的高度是(6+43)米.