泰安市泰山区东岳中学2024-2025年九年级第一学期上册数学第三章二次函数达标检测卷A和答案

这是一份泰安市泰山区东岳中学2024-2025年九年级第一学期上册数学第三章二次函数达标检测卷A和答案，共13页。试卷主要包含了下列函数中不属于二次函数的是等内容，欢迎下载使用。
1.下列函数中不属于二次函数的是( )
A．y＝5x2 B．y＝eq \f(1,2)(x＋1)2 C．y＝2(x＋2)2－2x2 D．y＝1－eq \r(3)x2
2.一个正方形边长为5 cm，若边长减少x cm，则面积减少y cm2．下列说法正确的是( )
A.边长是自变量，面积减少量是因变量 B.边长是自变量，面积是因变量
C.y与x之间的函数关系式为y＝(5－x)2 D.y与x之间的函数关系式为y＝52－(5－x)2
3.抛物线y＝－2(x－2)2－5的顶点坐标是( )
A．(－2，5) B．(2，5) C．(－2，－5) D．(2，－5)
4.若函数y＝ax2﹣x+1（a为常数）的图象与x轴只有一个交点，那么a满足( )
A．a＝ B．a≤ C．a＝0或a＝﹣D．a＝0或a＝
5.二次函数y＝x2－2x－3的图象如图所示，当y＜0时，自变量x的取值范围是( )
－1＜x＜3 B．x＜－1
C．x＞3 D．x＜－1或x＞3
6.点P1(－0．5，y1)，P2(2．5，y2)，P3(－5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x的图象上y1,y2，y3的大小关系是( )
A．y3＞y2＞y1 B．y3＞y1＝y2 C．y1＞y2＞y3 D．y1＝y2＞y3
7.已知某汽车刹车后行驶的距离y(单位：m)与行驶的时间t(单位：s)之间近似满足函数关系y＝－6t2＋15t，则该汽车刹车后到停下来所用的时间约为( )
A．1.25 s B．2.25 s C．0.25 s D．0.75 s
8.对于抛物线，下列结论中错误的结论为（ ）
①抛物线的开口向下； ②对称轴为直线；
③顶点坐标为； ④时，y随x的增大而减小．
A．4个B．3个C．2个D．1个
9.已知二次方程的两根为和5，则对于二次函数，下列叙述正确的是（ ）
A．当时，函数的最大值是9．B．当时，函数的最大值是9．
C．当时，函数的最小值是．D．当时，函数的最小值是．
10.已知抛物线的对称轴为直线，则关于x的方程的根是（ ）
A．0，4B．1，5C．1，－5D．－1，5
11.已知一次函数y＝eq \f(b,a)x＋c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2＋bx＋c在平面直角坐标系中的图象可能是( )
5题图
9题图
12.如图，抛物线y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若点P是线段BC上方的抛物线上一动点，当△BCP的面积取得最大值时，点P的坐标是( )
A．(2，3) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(25,8))) C．(1，3) D．(3，2)
二.填空题(每题4分，共24分)
13.在函数y＝eq \f(\r(x＋1),x－2)中，自变量x的取值范围是____________．
13题图
15题图
12题图
10题图
14.如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3)，则二次函数的图象的顶点坐标是________．


15.从地面竖直向上抛出一小球，小球距地面的高度h(m)与小球的运动时间t(s)之间的函数关系如图所示．当h＝30时，则t＝________．
16.若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋eq \f(1,2)m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为______．
16题图
17.如图，抛物线y＝－2x2＋2与x轴交于点A，B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B，D，C2的顶点为F，连接EF，则图中阴影部分的面积为________．
18.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A，B，顶点为C，对称轴为直线x＝1，给出下列结论：①abc＜0；②若点C的坐标为(1，2)，则△ABC的面积可以等于2；③M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上的两点(x1＜x2)，若x1＋x2＞2，则y1＜y2; ④若抛物线经过点(3，－1)，则方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为－1，3．其中正确结论的序号有________．
三.解答题(19，20，21 , 22，23题每题10分，24,25题14分，共78分)
19.已知二次函数的图象的顶点坐标为A(1，－4)，且经过点B(3，0)．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)判断点C(2，－3)是否在该函数的图象上，并说明理由．
18题图
20.如图，抛物线y＝x2＋2与直线y＝－x＋4相交于B，C两点，抛物线、直线分别与y轴交于A，D两点．
(1)求点A，D的坐标； (2)求△ABC的面积．
21.某产品每件的成本是120元，试销阶段，每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)的部分对应值如下表，已知产品的日销售量y(件)是每件产品的销售价x(元)的一次函数，设每日获得的利润为P元．
(1)求y与x之间的函数关系式．
(2)求P与x之间的函数关系式．
(3)当每件产品的销售价为多少元时，才能使每日获得的利润最大？最大利润为多少？
22.已知抛物线y＝(x－m)2－(x－m)，其中m是常数．
(1)求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；
(2)若该抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(5,2)．
①求该抛物线的表达式；
②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点？
23.在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
22题图
24.如图，有一条双向公路隧道，其截面由抛物线和矩形的三边组成，隧道的最高点距地面4.9 m，AB＝10 m，BC＝2.4 m．现把隧道的截面放在直角坐标系中，若有一辆高为4 m、宽为2 m的装有集装箱的汽车要通过隧道，如果不考虑其他因素，汽车的右侧离隧道的右壁至少超过多少米，汽车才不会碰到隧道顶部？(抛物线部分为隧道顶部，AO，BC为石壁)
25.如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x－6与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2＋bx＋c经过A，B两点．点P是位于直线AB下方抛物线上的一个动点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点P到AB的距离最大时，求出点P的坐标；
23题图
(3)在(2)的条件下，连接BP，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，P，M，N为顶点，以BP为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
第三章达标检测卷(A）答案
一、1．C 2．D 3．D 4．D 5．A 6．D 7．A 8．B 9．C 10.D
11．C 12.A 点拨：对于y＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2，令y＝0，则－eq \f(1,2)x2＋eq \f(3,2)x＋2＝0，解得x＝－1或x＝4，令x＝0，则y＝2，∴点A，B，C的坐标分别为(－1，0)，(4，0)，(0，2)，∴OB＝4．
如图，过点P作y轴的平行线交BC于点H，
设直线BC的表达式为y＝kx＋b，将B(4，0)，C(0，2)的坐标代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4k＋b＝0，,b＝2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(1,2)，,b＝2，))
∴直线BC的表达式为y＝－eq \f(1,2)x＋2，
由题意设点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(1,2)m2＋\f(3,2)m＋2))，则点H的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，－\f(1,2)m＋2))，
∴S△BCP＝S△PHB＋S△PHC＝eq \f(1,2)OB·
PH＝eq \f(1,2)×4×eq \b\lc\((\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)m2＋\f(3,2)m＋2＋))eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)m－2))＝－m2＋4m＝－(m－2)2＋4，易知0＜m＜4，
∴当m＝2时，△BCP的面积取得最大值，此时－eq \f(1,2)m2＋eq \f(3,2)m＋2＝3，∴点P的坐标为(2，3)．
二、13．x≥－1且x≠2; 14．(2，－1); 15．1.5或4.5 16．0或2或－2 17．4
18．①④ 点拨：①∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴－eq \f(b,2a)＞0，∴a，b异号，即ab＜0，∵抛物线与y轴的正半轴相交，
∴c＞0，∴abc＜0，故①正确；
②易知△ABC的面积＝eq \f(1,2)AB·yC，假设△ABC的面积为2，
∵C(1，2)，∴eq \f(1,2)AB×2＝2，解得AB＝2，设A(xA，0)，B(xB，0)，则AB＝xB－xA＝2．①
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，
∴xA＋xB＝2．②
由①②得，xA＝0，xB＝2，
∴A(0，0)，此时c＝0，与图象不符，故②错误；
③令x2＞x1＞1，此时x1＋x2＞2，
由图象知当x＞1时，y随x的增大而减小，∴y1＞y2，故③错误；
④抛物线y＝ax2＋bx＋c向上平移1个单位长度可得抛物线
y＝ax2＋bx＋c＋1．
∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(3，－1)，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c＋1经过点(3，0)，对称轴为直线x＝1，
∴抛物线y＝ax2＋bx＋c＋1也经过点(－1，0)，
∴方程ax2＋bx＋c＋1＝0的两根为－1，3，故④正确．故答案为①④．
三、19．解：(1)设的表达式为y＝a(x－h)2＋k，
∵图象的顶点坐标为A(1，－4)，∴y＝a(x－1)2－4．
∵图象经过点B(3，0)，
∴0＝a(3－1)2－4，解得a＝1，
∴该的表达式为y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3．
(2)点C(2，－3)在该函数的图象上．
理由：当x＝2时，y＝22－2×2－3＝－3，
∴点C在该函数的图象上．
20．解：(1)将x＝0代入y＝x2＋2，
得y＝2，∴点A的坐标为(0，2)．
将x＝0代入y＝－x＋4，得y＝4，∴点D的坐标为(0，4)．
(2)解eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x2＋2，,y＝－x＋4，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝6，))
∴点B的坐标为(1，3)，点C的坐标为(－2，6)，
由A(0，2)，D(0，4)，得AD＝2，
∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝eq \f(1,2)×2×1＋eq \f(1,2)×2×2＝3．
21．解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b．
将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50分别代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(130k＋b＝70，,150k＋b＝50，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－1，,b＝200.))∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋200．
(2)由题意知P＝(x－120)(－x＋200)＝－x2＋320x－24 000(120≤x≤200)．
(3)∵P＝－x2＋320x－24 000＝－(x－160)2＋1 600，120≤x≤200，
∴当x＝160时，P取最大值，为1 600．
∴当每件产品的销售价为160元时，才能使每日获得的利润最大，最大利润为1 600元．
22．(1)证明：∵y＝(x－m)2－(x－m)＝x2－(2m＋1)x＋m2＋m，
∴Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)＝1＞0，∴不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点．
(2)解：①由(1)知抛物线的对称轴为直线x＝－eq \f(－（2m＋1）,2)＝eq \f(5,2)，
∴m＝2，∴该抛物线的表达式为y＝x2－5x＋6．
②设把该抛物线沿y轴向上平移k个单位长度，则平移后抛物线的表达式为y＝x2－5x＋6＋k，
∵抛物线y＝x2－5x＋6＋k与x轴只有一个公共点，∴Δ＝(－5)2－4(6＋k)＝0，∴k＝eq \f(1,4)，
∴把该抛物线沿y轴向上平移eq \f(1,4)个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．
23.解：（1）∵二次函数y＝x2－2mx＋5m的图象经过点(1，－2)，
∴－2＝1－2m＋5m，
解得；
∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5．
（2）二次函数图象的对称轴为直线；
故二次函数的对称轴为：直线；
24．解：由题意得抛物线的顶点坐标为(5，2．5)，且过点C(10，0)，易求出抛物线的函数表达式为y＝－eq \f(1,10)x2＋x．如图，用矩形DEFG表示汽车的截面，设BD＝m，DG交x轴于M，延长DG交抛物线于H，则AD＝(10－m)m，∴HM＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)（10－m）2＋10－m))m．
∴HD＝eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,10)（10－m）2＋12.4－m))m．
由题意得－eq \f(1,10)(10－m)2＋12.4－m＞4，化简得(m－2)(m－8)＜0，∴2＜m＜8．
易知m≤3，
∴2＜m≤3．
答：汽车的右侧离隧道右壁至少超过2 m，汽车才不会碰到隧道顶部．
25．解：(1)对于y＝－2x－6，令x＝0，得y＝－6，令y＝0，得x＝－3，
∴A(－3，0)，B(0，－6)，
把A(－3，0)，B(0，－6)的坐标分别代入y＝x2＋bx＋c，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0＝9－3b＋c，,－6＝c，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝1，,c＝－6.))
∴抛物线的表达式为y＝x2＋x－6．
(2)如图，过点P作PH⊥AB于点H，PD⊥x轴于点D，交AB于点Q，则∠ADQ＝∠PHQ＝90°．
∴∠PQH＝∠AQD＝90°－∠DAQ，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝90°－∠DAQ，
∴∠PQH＝∠ABO．
又∵∠PHQ＝∠AOB＝90°，
∴△PHQ∽△AOB，
∴eq \f(PH,OA)＝eq \f(PQ,AB)，
∵A(－3，0)，B(0，－6)，
∴OA＝3，OB＝6，
∴AB＝eq \r(OA2＋OB2)＝3 eq \r(5)．
∴eq \f(PH,3)＝eq \f(PQ,3 \r(5))，
∴PH＝eq \f(\r(5),5)PQ，
∴当PQ最大时，PH最大．
设P(t，t2＋t－6)，则Q(t，－2t－6)，
∴PQ＝(－2t－6)－(t2＋t－6)＝－t2－3t＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(9,4)，
易知－3＜t＜0，
∴当t＝－eq \f(3,2)时，PQ取得最大值，此时PH最大．
当t＝－eq \f(3,2)时，t2＋t－6＝－eq \f(21,4)，
∴点P的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(21,4)))．
(3)存在，由题意知点M的纵坐标为0．设N(n，n2＋n－6)，由(1)(2)知B(0，－6)，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，－\f(21,4)))．
①若平行四边形的对角线为MB，NP，
则MB的中点也是NP的中点，
∴0－6＝n2＋n－6－eq \f(21,4)，
解得n＝eq \f(\r(22)－1,2)或n＝eq \f(－\r(22)－1,2)，
∴点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(22)－1,2)，－\f(3,4)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－\r(22)－1,2)，－\f(3,4))) ．
②若平行四边形的对角线为MP，NB，则MP的中点也是NB的中点，
∴0－eq \f(21,4)＝n2＋n－6－6，
解得n＝eq \f(－1＋2 \r(7),2)或n＝eq \f(－1－2 \r(7),2)，
∴点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1＋2 \r(7),2)，\f(3,4)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1－2 \r(7),2)，\f(3,4)))．
综上所述，点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(22)－1,2)，－\f(3,4)))或
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－\r(22)－1,2)，－\f(3,4)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1＋2 \r(7),2)，\f(3,4)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(－1－2 \r(7),2)，\f(3,4)))．x/元
130
150
165
y/件
70
50
35