沪科版八年级数学上册精品专练13.8三角形中的边角关系、命题与证明章末九大题型总结(培优篇)(学生版+解析)

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专题13.8 三角形中的边角关系、命题与证明章末九大题型总结（培优篇）【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc32702" 【题型1 确定第三边的取值范围】  PAGEREF _Toc32702 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc24210" 【题型2 三角形的三边关系的应用】  PAGEREF _Toc24210 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc3211" 【题型3 利用三角形的中线求长度】  PAGEREF _Toc3211 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc756" 【题型4 三角形的高与面积有关的计算】  PAGEREF _Toc756 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc16301" 【题型5 三角形的稳定性】  PAGEREF _Toc16301 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc1746" 【题型6 三角形中的角平分线、中线、高有关的综合计算】  PAGEREF _Toc1746 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc25062" 【题型7 三角形的内角和与外角有关的计算】  PAGEREF _Toc25062 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc1491" 【题型8 多边形内角和、外角和有关的计算】  PAGEREF _Toc1491 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc26238" 【题型9 命题与证明】  PAGEREF _Toc26238 \h 9【题型1 确定第三边的取值范围】【例1】（2023春·江苏无锡·八年级统考期末）一个三角形的3边长分别是xcm、3x−3cm，x+2cm，它的周长不超过39cm．则x的取值范围是（    ）A．53l2且l1=l3【题型3 利用三角形的中线求长度】【例3】（2023春·云南·八年级云南师大附中校考期末）已知，已知ΔABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，AB=32AC．（1）如图，当AC=10cm时，求BD的长．（2）若AC=12cm，能否求出DC的长？为什么？【变式3-1】（2023秋·全国·八年级期中）在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为（　　）A．7 B．8 C．9 D．10【变式3-2】（2023秋·山东德州·八年级校考期中）如图，△ABC的周长为24 cm，AD，BE分别是BC，AC边上的中线，AD，BE相交于点O，CO的延长线交AB于点F，且BD＝4 cm，AE＝3.5 cm，求AF的长．【变式3-3】（2023秋·黑龙江大庆·八年级校考期中）如图，已知AD、AE分别是△ABC的高和中线AB=9cm,AC=12cm，BC=15cm，∠BAC=90°．试求：(1)△ABE的面积；(2)AD的长度；(3)△ACE与△ABE的周长的差．【题型4 三角形的高与面积有关的计算】【例4】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考期末）在△ABC中，AD是高，AD=6，CD=1，若△ABC的面积为12，则线段BD的长度为 ．【变式4-1】（2023春·江苏常州·八年级统考期中）如图，已知△ABC．(1)画出△ABC的三条高AD、BE、CF（不写画法）；(2)在（1）的条件下，若AB=6，BC=3，CF=2，则AD=______．【变式4-2】（2023春·上海宝山·八年级校考期中）如图，在△ABC中，按下列要求画图并填空：  (1)画△ABC边AB上的高CD；(2)E在CD上，连接BE，使得S△ABC=S△EBC，请画出点E；(3)已知BD=3，CD=4，DE=1，那么点C到直线AB的距离为_______，△ADC的面积为_______．【变式4-3】（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市萧红中学校考期中）如图是由边长都是1的小正方形组成的网格．图中各点均在格点上，请按以下要求画图．①所画顶点必须在格点上；②标清指定的字母；③不得出格．(1)在图甲中面出△ABC中BC边上的高AD；(2)在图乙中画出一个Rt△EBC，且△EBC的面积是图甲中△ABC面积的2倍；(3)在图丙中画出一个锐角三角形△MBC，且面积为15．【题型5 三角形的稳定性】【例5】（2023秋·北京·八年级校考期中）下列图形中不具备稳定性的是（   ）A． B．C． D．【变式5-1】（2023秋·四川泸州·八年级四川省泸县第四中学校考期末）如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是（　　）A．三角形的稳定性 B．两点之间，线段最短C．三角形两边之和大于第三边 D．四边形的不稳定性【变式5-2】（2023秋·广西南宁·八年级南宁市天桃实验学校校考期中）要使四边形木架不变形，至少要再钉几根木条（    ）A．4 B．2 C．1 D．3【变式5-3】（2023春·广东惠州·八年级统考期中）如图，是一个用六根竹条连接而成的凸六边形风筝骨架，考虑到骨架的稳固性、美观性、实用性等因素，需再加竹条与其顶点连接．要求：（1）在图（1）、（2）中分别加适当根竹条，设计出两种不同的连接方案．（2）通过上面的设计，可以看出至少需再加 根竹条，才能保证风筝骨架稳固、美观和实用．（3）在上面的方案设计过程中，你所应用的数学道理是．【题型6 三角形中的角平分线、中线、高有关的综合计算】【例6】（2023秋·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，BC＝10，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面结论：①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④AD＝2.4．其中结论正确的是（    ）A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④【变式6-2】（2023春·陕西商洛·八年级统考期末）如图，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四个结论：①AH⊥EF；②∠ABF=∠EFB；③AC∥BE；④∠E=∠ABE．其中正确的结论有（    ）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【变式6-3】（2023春·河南南阳·八年级统考期末）如图，在ΔABC中，CD是AB边上的高，CE是∠ACB的平分线.（1）若∠A=40∘，∠B=76∘，求∠DCE的度数；（2）若∠A=α，∠B=β，求∠DCE的度数（用含α，β的式子表示）（3）当线段CD沿DA方向平移时，平移后的线段与线段CE交于G点，与AB交于H点，若∠A=α，∠B=β，求∠HGE与α、β的数量关系.【题型7 三角形的内角和与外角有关的计算】【例7】（2023春·江苏南京·八年级统考期中）如图，在△ABC和△FBC中，∠A≤∠F．点F与A位于线段BC所在直线的两侧，分别延长AB、AC至点D、E．  【特殊化思考】若∠A=∠F时，请尝试探究：（1）当F在∠A内部时，请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为__________；（2）当F在∠A外部时，请直接写出∠ECF、∠DBF与∠A的数量关系为__________；（3）若CG平分∠ECF，BH平分∠FBD．无论点F在∠A内部（如图③）还是∠A外部（如图④）时，都有CG∥BH，请选择一幅图进行证明；  【一般化探究】若∠A<∠F时，请尝试探究：（4）若射线CG、BH分别是∠ECF，∠DBF的n等分线（n为大于2的正整数），且∠ECG=1n∠ECF，∠HBD=1n∠DBF．当CG∥BH时，直接写出∠A与∠F需满足的条件：__________．【变式7-1】（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）如图，已知，CD∥AB，点E在BD延长线上，且∠BEF=70°，点H在AB上，HF交BD于G点．  (1)求证：∠AHF>∠CDE；(2)若∠AHF−∠CDE=30°，求∠F的度数【变式7-2】（2023春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）已知，在△ABC中，∠ACB=∠CDB=m°0x+2x+(x+2)>3x−3(x+2)+(3x−3)>xx+(3x−3)+(x+2)≤39，∴538，故能围成三角形；若选取长度分别是4cm、5cm、9cm的小棒，4+5=9，故不能围成三角形；若选取长度分别是5cm、8cm、9cm的小棒，5+8>9，故能围成三角形；若选取长度分别是4cm、8cm、9cm的小棒，4+8>9，故能围成三角形．综上所述，可以围成3种不同形状的三角形．故选：D．【点睛】此题主要考查了构成三角形的条件，掌握三角形的三边关系是解决此题的关键．【变式1-3】（2023春·河南周口·八年级统考期末）三角形的三边长分别为2，2x−1，5，则x的取值范围是 ．【答案】23+4，6−2<7，5−3<7，三角形均成立，此时最大边长为7；综上所述，任两螺丝的距离之最大值为7． 故选：B．【点睛】此题实际考查的是三角形的三边关系定理，能够正确的判断出调整角度后三角形木框的组合方法是解答的关键．【变式2-1】（2023春·山东济南·八年级统考期末）小明家和小亮家到学校的直线距离分别是5km和3km，那么小明到小亮家的直线距离不可能是（　　）A．1km B．2km C．3km D．8km【答案】A【分析】根据小明家和小亮家与学校共线，小明家和小亮家与学校不共线，两种情况进行求解即可．【详解】解：由题意知，当小明家和小亮家与学校共线，小明家和小亮家的直线距离为 5−3=2（km）或5+3=8（km）；当小明家和小亮家与学校不共线，由三角形三边关系可知，小明家和小亮家的直线距离大于2 km，小于8km，综上，小明家和小亮家的直线距离不可能是1km，故选：A．【点睛】本题考查了有理数加减运算的应用，三角形三边关系．解题的关键在于对知识的熟练掌握．【变式2-2】（2023秋·新疆和田·八年级统考期末）已经有两根木条，长分别是2cm和6cm，现要用3根木条组成三角形，还要从下面4根木条中选一根，可以是（  ）A．4cm B．7cm C．8cm D．9cm【答案】B【分析】设第三根木条的长度为xcm，根据三角形三边之间的关系列不等式组求出x的范围，然后选出满足条件的选项即可.【详解】设第三根木条的长度为xcm，则6−2l2且l1=l3【答案】D【分析】根据三角形三边关系即可证明l1>l2，根据平移的性质，即可证明l1=l3．【详解】解：由题意可得：l1=OB+AB，l2=OC+CD+ADl2；将线段EF平移可得到线段BG，将线段FG平移可得到线段BE，∴BE=FG,EF=BG，∴l3=OE+EF+FG+AG=OE+BE+BG+AG=OB+BA=l1，∴l1=l3，故选：D．【点睛】本题考查了三角形三边关系，平移的性质，题目新颖，灵活运用所学知识是关键．【题型3 利用三角形的中线求长度】【例3】（2023春·云南·八年级云南师大附中校考期末）已知，已知ΔABC的周长为33cm，AD是BC边上的中线，AB=32AC．（1）如图，当AC=10cm时，求BD的长．（2）若AC=12cm，能否求出DC的长？为什么？【答案】（1）4cm；（2）不能，理由见解析【分析】（1）根据三角形中线的性质解答即可；（2）根据三角形周长和边的关系解答即可．【详解】（1）∵AB=32AC，AC=10cm，∴AB=15cm，又∵ΔABC的周长是33cm，∴BC=8cm，∵AD是BC边上的中线，∴BD=12BC=4cm；（2）不能，理由如下：∵AB=32AC，AC=12cm，∴AB=18cm，又∵ΔABC的周长是33cm，∴BC=3cm，∵AC+BC=15∠CDE；(2)若∠AHF−∠CDE=30°，求∠F的度数【答案】(1)见解析(2)80°【分析】（1）根据平行线的性质可得∠B=∠CDE，根据三角形的外角性质可得∠AHF>∠B，即可推得∠AHF>∠CDE；（2）根据平行线的性质可得∠B=∠CDE，结合题意可得∠AHF−∠B=30°，根据三角形的外角性质可得∠HGB=30°，根据对顶角的性质可得∠EGF=30°，根据三角形内角和定理可得∠F=80°．【详解】（1）证明： ∵CD∥AB，∴∠B=∠CDE，∵∠AHF是△BHG的一个外角， ∴∠AHF>∠B，∴∠AHF>∠CDE．（2）解：∵CD∥AB，∴∠B=∠CDE，∵∠AHF−∠CDE=30°，∴∠AHF−∠B=30°，∵∠AHF是△BHG的一个外角，∴∠AHF=∠B+∠HGB，∴∠HGB=∠AHF−∠B=30°，∵∠HGB=∠EGF，∴∠EGF=30°，∵∠BEF=70°，∠BEF+∠EGF+∠F=180°，∴∠F=180°−∠BEF−∠EGF=180°−70°−30°=80°．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，对顶角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．【变式7-2】（2023春·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）已知，在△ABC中，∠ACB=∠CDB=m°090时，∠CFE>∠CEF；当m<90时，∠CFE<∠CEF；理由见解析．【分析】（1）证明∠CAE=∠BAE，由∠ACB=∠CDB=90°，证明∠ACD=∠B，由三角形的外角的性质可得∠CFE=∠ACD+∠CAE，∠CEF=∠B+∠BAE，从而可得结论．（2）证明∠CFE−∠CEF=∠ACF−∠B，结合三角形的内角和定理可得∠CFE−∠CEF=m−∠BCD−180−m−∠BCD=2m−180，再分两种情况可得结论．【详解】（1）证明：∵AE是角平分线，∴∠CAE=∠BAE，∵∠ACB=∠CDB=m°090时，∠CFE−∠CEF=2m−180>0，∴∠CFE>∠CEF； 当m<90时，∠CFE−∠CEF=2m−180<0，∴∠CFE<∠CEF．【点睛】本题考查的是三角形的角平分线是含义，三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，不等式的性质，熟记三角形的外角的性质是解本题的关键．【变式7-3】（2023春·江苏无锡·八年级统考期中）在△ABC中，∠BAC=90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交射线BC于点F．  (1)如图1，当DE∥AC时，求证：AE⊥BC(2)若∠C=∠B+10°，∠BAD=x°（0