沪科版2024-2025学年八年级数学上册精品题型精练专题11.2平面直角坐标系中的面积问题【八大题型】(学生版+解析)

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专题11.2 平面直角坐标系中的面积问题【八大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc18083" 【题型1 与两坐标轴围成的图形面积】  PAGEREF _Toc18083 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc22459" 【题型2 一边在坐标轴上的图形面积】  PAGEREF _Toc22459 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc5324" 【题型3 平行于坐标轴的图形的面积】  PAGEREF _Toc5324 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc30520" 【题型4 各边都不在坐标轴上的图形的面积】  PAGEREF _Toc30520 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc774" 【题型5 由面积之间的关系求坐标】  PAGEREF _Toc774 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc1686" 【题型6 直线分面积求值】  PAGEREF _Toc1686 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc1644" 【题型7 新定义问题中的面积】  PAGEREF _Toc1644 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc10508" 【题型8 面积中的规律问题】  PAGEREF _Toc10508 \h 8【题型1 与两坐标轴围成的图形面积】【例1】（23-24八年级·吉林长春·期中）已知A（a，0）和B点（0，10）两点，且AB与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（　　）A．2 B．4 C．0或4 D．4或﹣4【变式1-1】（23-24八年级广东清远·八年级统考期末）已知A(0，4)，点B在x轴上，AB与坐标轴围成的三角形面积为2，则点B的坐标为(        )A．(1，0) B．(1，0)或(－1，0) C．(－1，0) D．(0，－1)或(0，1)【变式1-2】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）平面直角坐标系中，我们把点Px,y的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点Px,y的勾股值，记为：「P」，即「P」=x+y.（1）求点A−1,3的勾股值「A」；（2）若点B在第一象限且满足「B」=3，求满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积.【变式1-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）已知点Aa，0和点B0，5，且直线AB与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（   ）A．4 B．4或−4 C．−4 D．2【题型2 一边在坐标轴上的图形面积】【例2】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮ABCO，各顶点坐标分别为A−2,6，B−5,4，C−7,0，O0,0（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（    ）m2．A．25 B．250 C．2500 D．2200【变式2-1】（23-24八年级·安徽亳州·阶段练习）如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C(−4,4)．则三角形ABC的面积是（    ）A．4 B．6 C．8 D．12【变式2-2】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知：A4,3，B6,0，E5,2，求△AOE的面积（    ）A．3.5 B．2.5 C．6 D．7【变式2-3】（23-24八年级·安徽亳州·阶段练习）已知点A1,0，B0,2，点P在x轴上，且三角形PAB的面积是3，则点P的坐标是（   ）A．0，−4 B．−2，0 C．0，−4或0,8 D．4，0或−2，0【题型3 平行于坐标轴的图形的面积】【例3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形ABCD的面积是（   ）个平方单位．A．152 B．15 C．10 D．无法计算【变式3-1】（23-24八年级·北京顺义·阶段练习）由坐标平面内的三点A1,1,B3,1,C1,−3构成的△ABC的面积是 ．【变式3-2】（23-24八年级·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，由点Aa，2，Ba-2，2，Cb，-2组成的三角形ABC的面积是（      ）A．4 B．6 C．8 D．10【变式3-3】（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,n+2，Bk,n+2，C4,n+4，D2,n+k．则四边形ABCD的面积= （用含有k的式子表示）【题型4 各边都不在坐标轴上的图形的面积】【例4】（23-24八年级·上海静安·周测）如图，三角形ABC的面积等于（    ）A．12 B．1212 C．13 D．1312【变式4-1】（23-24八年级·重庆长寿·期末）已知点A2,2，B1,0，点C在坐标轴上，且三角形ABC的面积为2，请写出所有满足条件的点C的坐标 ．【变式4-2】（23-24八年级·湖北鄂州·期中）如图，直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为(1,1)．(1)写出点A，B的坐标A（______），B（______）；(2)将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到三角形A'B'C'，则点A'，B'，C'的坐标分别是A'（______），B'（______），C'（______）；(3)计算三角形ABC的面积．【变式4-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点A2,3，点B−3,−2，点C4,−3，则三角形ABC的面积是（    ）A．19 B．20 C．21 D．21.5【题型5 由面积之间的关系求坐标】【例5】（23-24八年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知三角形的三个顶点坐标分别是A0,1，B1,0， C1,2，点P在y轴上，设三角形ABP和三角形ABC的面积相等，那么点P坐标是 ．【变式5-1】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知点A3,0，B0,4，点C在x轴上，且△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，那么点C的坐标可以为 ．【变式5-2】（23-24八年级·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为m−2,n，m−2,n+2023，5,t+2022，若△ABO的面积为△ABC面积的2倍，则m的值为 【变式5-3】（23-24八年级·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA=2，OB=1，点C是第一象限内一点且AC∥x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段CD，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD，S△ACD=6，点P为y轴上一动点，当S△PAB=14S△AOD时，点P的坐标为 ．（注：S△ACD表示△ACD的面积）  【题型6 直线分面积求值】【例6】（23-24八年级·湖北十堰·期中）如图，A−2,0、B0,3、C2,4、D3,0，点P在x轴上，直线CP将四边形ABCD的面积分成1:2两部分，则OP的长为 ．【变式6-1】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形组成的，B3,3，Aa,0是x轴上的动点，当AB将图案分成面积相等的两部分时，a等于（    ）A．1 B．43 C．32 D．53【变式6-2】（23-24八年级·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，CB∥OA，且OA=12，OC=BC=4．(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分时，求点P的运动时间；(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点Q，连接PQ，使△CPQ的面积与四边形OABC的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式6-3】（23-24八年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知三角形的三个顶点坐标分别是A0,1，B1,0， C1,2，点P在y轴上，设三角形ABP和三角形ABC的面积相等，那么点P坐标是 ．【题型7 新定义问题中的面积】【例7】（23-24八年级·广东河源·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”ℎ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=aℎ．例如：三点坐标分别为A(1，2)，B(−3，1)，C(2，−2)，则“水平底”a=5，“铅垂高”ℎ=4，“矩面积”S=aℎ=20．若D(1，2)、E(−2，1)、F(0，t)三点的“矩面积”为18，则t的值为(　　)A．−3或7 B．−4或6 C．−4或7 D．−3或6【变式7-1】（23-24八年级·北京·期中）中国结是一种手工编织工艺品，因为其外观对称精致，可以代表汉族悠久的历史，符合中国传统装饰的习俗和审美观念，故命名为中国结，中国结有着复杂曼妙的曲线，却可以还原成最单纯的二维线条，其中的八字结对应着数学曲线中的双扭线在平面直角坐标系中如图所示，则下列结论中正确的有（    ）①双扭线围成的面积小于6；②双扭线内部（包含边界）包含11个整数点（横坐标、纵坐标都是整数的点）；③双扭线上任意一点到原点的距离不超过3；④假设点P为双扭线上的一个点，A，B为双扭线与x轴的交点，则满足三角形PAB的面积等于3的P点有4个．A．①②③ B．②③ C．②③④ D．①②③④【变式7-2】（23-24八年级·福建厦门·期末）在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉祥点”；②第三象限内不存在“吉祥点”；③已知点A(−2,1)，B(−2,−3)，若点P是“吉祥点”且在坐标轴上，则点P到直线AB的距离为8；④已知点C(−1,−1)，D(3,−1)，若点Q是第一象限内的“吉祥点”三角形QCD的面积记为S，则20,y>0，故所有点B组成的图形与坐标轴交点坐标分别为：3,0，0,3，故其面积为：12×3×3=92.【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，正确理解勾股值的定义是解题的关键．【变式1-3】（23-24八年级·江苏南通·阶段练习）已知点Aa，0和点B0，5，且直线AB与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（   ）A．4 B．4或−4 C．−4 D．2【答案】B【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个．根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意a取正负数都符合题意．【详解】解：直线AB与坐标轴围成的三角形的面积等于10，Aa，0，B0，5那么5×|OA|÷2=10，解得：OA=4，所以a=4或a=−4．故选：B．【题型2 一边在坐标轴上的图形面积】【例2】（23-24八年级·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮ABCO，各顶点坐标分别为A−2,6，B−5,4，C−7,0，O0,0（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（    ）m2．A．25 B．250 C．2500 D．2200【答案】C【分析】根据S四边形ABCO=S△BCD+S梯形ABDE+S△AEO，即可求解．【详解】解：如图所示，A−2,6，B−5,4，C−7,0，O0,0S四边形ABCO=S△BCD+S梯形ABDE+S△AEO=12×2×4+124+6×3+12×6×2=4+15+6=25∵图上一个单位长度表示10米，∴25×10×10=2500m2，故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．【变式2-1】（23-24八年级·安徽亳州·阶段练习）如图，已知三角形ABC如图所示放置在平面直角坐标系中，其中C(−4,4)．则三角形ABC的面积是（    ）A．4 B．6 C．8 D．12【答案】C【分析】底AB=4，高是点C到x轴的距离，根据三角形面积公式求得即可．【详解】解：由图象可知，A（0，0），B（4，0），∴AB＝4∵C（﹣4，4），点C到x轴的距离是4，△ABC的高就是4，∴S△ABC＝12×4×4＝8，故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．【变式2-2】（23-24八年级·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知：A4,3，B6,0，E5,2，求△AOE的面积（    ）A．3.5 B．2.5 C．6 D．7【答案】A【分析】根据点的坐标，求得OC,AC,OD,DE,CD，根据S△AOE=S△AOC+S梯形ACDE−S△DOE进行计算即可求解．【详解】解：∵ A4,3，B6,0，E5,2，∴OC=4，AC=3,OD=5,DE=2，∴CD=1则S△AOE=S△AOC+S梯形ACDE−S△DOE=12×4×3 +122+3×1 −12×5×2=3.5故选A【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键．【变式2-3】（23-24八年级·安徽亳州·阶段练习）已知点A1,0，B0,2，点P在x轴上，且三角形PAB的面积是3，则点P的坐标是（   ）A．0，−4 B．−2，0 C．0，−4或0,8 D．4，0或−2，0【答案】D【分析】根据三角形的面积求出AP的长，再分点P在点A的左边与右边两种情况讨论求解．【详解】解：∵点B(0,2)，∴S△PAB=12AP×2=3，解得AP=3，若点P在点A的左边，则OP=AP−OA=3−1=2，此时，点P的坐标为(−2,0)，若点P在点A的右边，则OP=AP+OA=3+1=4，此时，点P的坐标为(4,0)，综上所述，点P的坐标为(4,0)或(−2,0)，故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．【题型3 平行于坐标轴的图形的面积】【例3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，平行四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形ABCD的面积是（   ）个平方单位．A．152 B．15 C．10 D．无法计算【答案】B【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到AD∥x轴，AD=4−−1=5，高为1−−2=3，利用面积公式直接计算可得．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，A−1,2,B0,1,C5,1,D4,−2，∴AD∥x轴，AD=4−−1=5，高为1−−2=3，∴平行四边形ABCD的面积=5×3=15，故选：B．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键．【变式3-1】（23-24八年级·北京顺义·阶段练习）由坐标平面内的三点A1,1,B3,1,C1,−3构成的△ABC的面积是 ．【答案】4【分析】根据A1,1,B3,1,C1,−3得AB=2,AB∥x轴，AC=4,AC∥y轴，继而得到直角三角形CAB，计算面积即可，本题考查了点的坐标特征与坐标轴的关系，熟练掌握判定坐标与坐标轴的关系是解题的关键．【详解】∵A1,1,B3,1,C1,−3∴AB=2,AB∥x轴，AC=4,AC∥y轴，∴△CAB是直角三角形，∴12AB·AC=12×2×4=4，故答案为：4．  【变式3-2】（23-24八年级·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，由点Aa，2，Ba-2，2，Cb，-2组成的三角形ABC的面积是（      ）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】A【分析】根据A和B两点的纵坐标相等，可得线段AB的长，再根据点C的纵坐标，可得以AB为底的△ABC的高，从而△ABC的面积可求．【详解】解析：由点Aa，2，Ba-2，2，得AB=2，点C在直线y=−2上，AB与直线y=−2平行，且平行线间的距离为4，∴S=12×2×4=4．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及如何求相应线段的长，是解题的关键．【变式3-3】（23-24八年级·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A2,n+2，Bk,n+2，C4,n+4，D2,n+k．则四边形ABCD的面积= （用含有k的式子表示）【答案】2k−4/−4+2k【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长BA交y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，延长AD交CF于点H，过点C作CG⊥AG于点G，根据A2,n+2，Bk,n+2，C4,n+4，D2,n+k，得出CH=4−2=2，AH=n+4−n+2=2，DH=n+4−n+k=4−k，BG=4−k，利用割补法求出四边形的面积即可．【详解】解：延长BA交y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，延长AD交CF于点H，过点C作CG⊥AG于点G，∵A2,n+2，Bk,n+2，C4,n+4，D2,n+k，∴AD∥y轴，AB∥x轴，∴AH∥CG，CH∥EG，∴CH=4−2=2，AH=n+4−n+2=2，DH=n+4−n+k=4−k，BG=4−k，∴四边形ABCD的面积为：2×2−12×2×4−k−12×2×4−k=4−4+k−4+k=2k−4．故答案为：2k−4．【题型4 各边都不在坐标轴上的图形的面积】【例4】（23-24八年级·上海静安·周测）如图，三角形ABC的面积等于（    ）A．12 B．1212 C．13 D．1312【答案】D【分析】过点A作AD⊥x轴于D，利用SΔABC=S梯形BODA−SΔBOC−SΔACD，求出S梯形BODA，SΔBOC和SΔACD进而进行求解即可．【详解】过点A作AD⊥x轴于D，如图所示：由题意可得，BO=3，OC=3，AD=6，CD=3，∴OD=6，∴SΔABC=S梯形BODA−SΔBOC−SΔACD，=12(BO+AD)⋅OD−12⋅BO⋅OC−12⋅CD⋅AD=12(3+6)×6−12×3×3−12×3×6=542−92−182=272，即SΔABC=272，故选：D．【点睛】本题主要考查了利用和差法转化求三角形的面积，正确读懂题意是解题的关键．【变式4-1】（23-24八年级·重庆长寿·期末）已知点A2,2，B1,0，点C在坐标轴上，且三角形ABC的面积为2，请写出所有满足条件的点C的坐标 ．【答案】−1,0或3,0或0,2或0,−6【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点C位于不同的数轴分类讨论是解题的关键．分点C在x轴上和点C在y轴正半轴上和点C在y轴负半轴上上三种情况，利用三角形的面积公式求出BC或OC的长度，即可求解．【详解】解：若点C在x轴上，则S△ABC=12×BC×2=2，解得BC=2，所以，点C的坐标为1+2,0或1−2,0，即3,0或−1,0，若点C在y轴正半轴上，则S△CAB=12×OC+2×2−12×OC×1−12×2−1×2=2，解得OC=2，所以，点C的坐标为0,2，若点C在y轴负半轴上，则S△CAB=12×OC+2+OC×1+12×OC×1−12×2+OC×2=2，解得OC=6，所以，点C的坐标为0,−6，综上所述，点C的坐标为−1,0或3,0或0,2或0,−6，故答案为：−1,0或3,0或0,2或0,−6．【变式4-2】（23-24八年级·湖北鄂州·期中）如图，直角坐标系中，三角形ABC的顶点都在网格点上，其中点C的坐标为(1,1)．(1)写出点A，B的坐标A（______），B（______）；(2)将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到三角形A'B'C'，则点A'，B'，C'的坐标分别是A'（______），B'（______），C'（______）；(3)计算三角形ABC的面积．【答案】(1)2,−2，4,2(2)0,−3，2,1，−1,0(3)5【分析】本题考查了坐标与图形、平移等知识点，掌握相关结论即可．（1）根据直角坐标系中A,B,C三点的位置即可求解；（2）根据平移方向和距离即可求解；（3）利用“割补法”即可求解；【详解】（1）解：根据直角坐标系中A,B,C三点的位置可得：A2,−2，B4,2，故答案为：2,−2，4,2；（2）解：∵将三角形ABC先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，∴A'2−2,−2−1，B'4−2,2−1，C'1−2,1−1，即：A'0,−3，B'2,1，C'−1,0，故答案为：0,−3，2,1，−1,0；（3）解：三角形ABC的面积=3×4−12×1×3−12×1×3−12×2×4=5．【变式4-3】（23-24八年级·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点A2,3，点B−3,−2，点C4,−3，则三角形ABC的面积是（    ）A．19 B．20 C．21 D．21.5【答案】B【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作DE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点C作CD∥y轴，过点C作CF∥x轴，根据题意可得AD=2,CD=6,AE=5,BE=5,BF=1,CF=7，即可求解．【详解】解：如图，过点A作DE∥x轴，过点B作EF∥y轴，过点C作CD∥y轴，过点C作CF∥x轴，∵点A2,3，点B−3,−2，点C4,−3，∴AD=2,CD=6,AE=5,BE=5,BF=1,CF=7，∴三角形ABC的面积是：6×7−12×2×6−12×5×5−12×17=42−6−252−72=20．故选：B【题型5 由面积之间的关系求坐标】【例5】（23-24八年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知三角形的三个顶点坐标分别是A0,1，B1,0， C1,2，点P在y轴上，设三角形ABP和三角形ABC的面积相等，那么点P坐标是 ．【答案】0,−1或0,3【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键．设点P坐标是0,a，先分别求出三角形ABP和三角形ABC的面积，再根据三角形ABP和三角形ABC的面积相等建立方程，解方程即可得答案．【详解】解：如图，由题意，设点P坐标是0,a，∵A0,1，B1,0， C1,2，∴BC=2，AP=a−1，三角形ABC的BC边上的高为1，∴三角形ABC的面积为12×2×1=1，三角形ABP的面积为12×1⋅a−1=a−12，∵三角形ABP和三角形ABC的面积相等，∴a−12=1，解得a=−1或a=3，则点P坐标是0,−1或0,3，故答案为：0,−1或0,3．【变式5-1】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知点A3,0，B0,4，点C在x轴上，且△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，那么点C的坐标可以为 ．【答案】92,0或94,0【分析】本题主要考查图形与坐标，解题的关键是理解题意；设点Cx,0，则有AC=x−3，OB=4，然后根据△BOC与△ABC的面积关系可进行求解．【详解】解：设点Cx,0，则有AC=x−3，OB=4，OC=x∵△BOC的面积是△ABC的面积的3倍，∴12×4×x=3×12×4×x−3解得：x=92或94，∴点C92,0或94,0；故答案为92,0或94,0．【变式5-2】（23-24八年级·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A、B、C的坐标分别为m−2,n，m−2,n+2023，5,t+2022，若△ABO的面积为△ABC面积的2倍，则m的值为 【答案】12或163【分析】由A,B点的横坐标相等，得出AB∥y轴，AB=2023，点C到AB的距离为m−7，根据△ABO的面积为△ABC面积的2倍，建立方程，解方程即可求解．【详解】解：∵A、B、C的坐标分别为(m−2,n),(m−2,n+2023),(5,t+2022)，∴AB∥y轴，AB=n+2023−n=2023，点C到AB的距离为m−2−5=m−7∵若△ABO的面积为△ABC面积的2倍，∴12×2023×m−2=2×12×2023×m−7即m−2=2×m−7解得m=12或m=163故答案为：m=12或m=163．【点睛】本题考查了坐标与图形，两点之间的距离，点到直线的距离，正确建立方程是解题的关键．【变式5-3】（23-24八年级·四川达州·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴正半轴上，OA=2，OB=1，点C是第一象限内一点且AC∥x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段CD，点A的对应点为点D，点B的对应点为点C，连接AD，S△ACD=6，点P为y轴上一动点，当S△PAB=14S△AOD时，点P的坐标为 ．（注：S△ACD表示△ACD的面积）  【答案】0,−12或0,92．【分析】根据三角形的面积求出AC=6，然后利用平移的性质可求点D坐标，由三角形的面积公式可求解．【详解】解：如图，过点D作DE⊥AC于点E，在y轴取点P，连接PB，   ∵AC∥x轴，将线段AB经过一定的平移得到线段CD，OA=2， ∴DE=OA=2， ∵S△ACD=6， ∴ 12AC·DE=6， ∴AC=6， ∴点C6,2， ∵将线段AB进行适当的平移得到线段CD，OB=1， ∴CE=OB=1， ∴点D5,4， ∵S△PAB=14S△AOD， ∴12AP×1=14×12×2×5， ∴AP=52， ∵点A0,2， ∴P0,−12或P0,92． 故答案为：0,−12或0,92．【点睛】本题考查了作图-平移变换，平面直角坐标系，三角形面积公式，坐标的平移等知识，掌握平移的性质是解题的关键．【题型6 直线分面积求值】【例6】（23-24八年级·湖北十堰·期中）如图，A−2,0、B0,3、C2,4、D3,0，点P在x轴上，直线CP将四边形ABCD的面积分成1:2两部分，则OP的长为 ．【答案】1【分析】本题考查了坐标与图形，三角形的面积，作CE⊥x轴，CP与x轴交于点P，用分割法求出四边形的面积，分类讨论求出△PDC的面积，再求出PD的值，进而可得OP的值，根据坐标与图形的性质，用分割法求出不规则图形的面积，再进行计算是解本题的关键．【详解】解：如图，作CE⊥x轴，CP与x轴交于点P，由题意可得，S△ABO=12OA·OB=12×2×3=3S梯形OECB=12OB+CE·OE=12×3+4×2=7，S△EDC=12ED·CE=12×1×4=2，∴S四边形ABCD=S△ABO+S梯形OECB+S△EDC=3+7+2=12，∵S△PCD=12PD·CE=12PD×4=2PD，∴S△PCD∶S四边形ABCD=2PD∶12=PD∶6，①当S△PCD∶S四边形ABCD=1∶3时，即PD∶6=1∶3，解得PD=2，∴点P的坐标为1,0，∴OP=1； ②当S△PCD∶S四边形ABCD=2∶3时，即PD∶6=2∶3，解得PD=4，∴点P的坐标为−1,0，∴OP=1；综上所述，OP=1，故答案为：1．【变式6-1】（23-24八年级·辽宁葫芦岛·期中）如图，平面直角坐标系中的图案是由六个边长为1的正方形组成的，B3,3，Aa,0是x轴上的动点，当AB将图案分成面积相等的两部分时，a等于（    ）A．1 B．43 C．32 D．53【答案】A【分析】根据三角形面积公式，结合题意列出方程S△ABC=12AC⋅BC=12(3−a)×3=12×6×12并求解即可．【详解】解：如下图，当AB将图案分成面积相等的两部分时，则有S△ABC=12AC⋅BC=12×6×12，即12(3−a)×3=3，解得a=1．故选：A．【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质，根据题意列出方程是解题关键．【变式6-2】（23-24八年级·四川凉山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点C在y轴上，CB∥OA，且OA=12，OC=BC=4．(1)直接写出点A，B，C的坐标；(2)若动点P从原点O出发沿x轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，当直线PC把四边形OABC分成面积相等的两部分时，求点P的运动时间；(3)在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点Q，连接PQ，使△CPQ的面积与四边形OABC的面积相等？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)A12，0，B4，4，C0，4；(2)4(3)Q10，20，Q20,−12【分析】此题是三角形综合题，主要考查了线段长的求法，点的坐标的确定，三角形四边形面积的计算，解本题的关键是△OPC面积的计算．（1）根据线段的长和线段的特点确定出点的坐标；（2）先求出S四边形OABC=32，从而得到12 OP×4=16，求出OP，即可得到答案；（3）根据四边形OABC的面积求出△CPQ的面积是32，最后求出点Q的坐标．【详解】（1）解：∵点A、C在x轴上，OA=12．∴A12，0，∵C在y轴上，OC=4，∴C0，4，∵CB∥OA，CB=4，∴B4，4；（2）解：∵S四边形OABC=(4+12)×42=32，设运动时间t秒，∴OP=2t，       ∴12×2t×4=32×12，∴t=4；（3）解：设Q0,y， ∵SΔCPQ=S四边形OABC，∴12y−4×4=12×(4+12)×4=32  ∴y1 =20，y2 =−12，      ∴Q10，20，Q20,−12．【变式6-3】（23-24八年级·北京西城·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知三角形的三个顶点坐标分别是A0,1，B1,0， C1,2，点P在y轴上，设三角形ABP和三角形ABC的面积相等，那么点P坐标是 ．【答案】0,−1或0,3【分析】本题考查了坐标与图形，熟练掌握点坐标的性质是解题关键．设点P坐标是0,a，先分别求出三角形ABP和三角形ABC的面积，再根据三角形ABP和三角形ABC的面积相等建立方程，解方程即可得答案．【详解】解：如图，由题意，设点P坐标是0,a，∵A0,1，B1,0， C1,2，∴BC=2，AP=a−1，三角形ABC的BC边上的高为1，∴三角形ABC的面积为12×2×1=1，三角形ABP的面积为12×1⋅a−1=a−12，∵三角形ABP和三角形ABC的面积相等，∴a−12=1，解得a=−1或a=3，则点P坐标是0,−1或0,3，故答案为：0,−1或0,3．【题型7 新定义问题中的面积】【例7】（23-24八年级·广东河源·开学考试）在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”ℎ：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=aℎ．例如：三点坐标分别为A(1，2)，B(−3，1)，C(2，−2)，则“水平底”a=5，“铅垂高”ℎ=4，“矩面积”S=aℎ=20．若D(1，2)、E(−2，1)、F(0，t)三点的“矩面积”为18，则t的值为(　　)A．−3或7 B．−4或6 C．−4或7 D．−3或6【答案】C【分析】根据题意可以求得a的值，然后再对t进行讨论，即可求得t的值．【详解】由题意可得，“水平底”a=1−(−2)=3，当t>2时，ℎ=t−1，则3(t−1)=18，解得，t=7，故点F的坐标为(0，7)；当1≤t≤2时，ℎ=2−1=1≠6，故此种情况不符合题意；当t4S△OPB即可判断；②由图即可判断；③A,B两点与原点距离最大，即可判断；④设△PAB的高为ℎ，可得ℎ=1即可判断；【详解】解：如图所示：S△OPB=12×3×1=32，由对称性可知：双扭线围成的面积>4S△OPB=6，故①错误；由图可知：双扭线内部包含4个整数点，边界上有7个整数点，共11个，故②正确；由图可知：A,B两点与原点距离最大，为3，故③正确；设△PAB的高为ℎ，∵S△PAB=3,AB=6∴ℎ=1由图可知：点Q,P,M,N均满足题意，故④正确；故选：C【变式7-2】（23-24八年级·福建厦门·期末）在平面直角标系中，将横、纵坐标之和为6的点称为“吉祥点”，现有以下结论：①第一象限内有无数个“吉祥点”；②第三象限内不存在“吉祥点”；③已知点A(−2,1)，B(−2,−3)，若点P是“吉祥点”且在坐标轴上，则点P到直线AB的距离为8；④已知点C(−1,−1)，D(3,−1)，若点Q是第一象限内的“吉祥点”三角形QCD的面积记为S，则2