沪科版（2024）九年级上册21.5 反比例函数课时练习

这是一份沪科版（2024）九年级上册21.5 反比例函数课时练习，共65页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11746" 【题型1 由反比例函数的k的几何意义求三角形的面积】 PAGEREF _Tc11746 \h 1
\l "_Tc27320" 【题型2 由反比例函数的k的几何意义求四边形的面积】 PAGEREF _Tc27320 \h 3
\l "_Tc8999" 【题型3 由反比例函数的k的几何意义判断面积的大小关系】 PAGEREF _Tc8999 \h 4
\l "_Tc4535" 【题型4 由反比例函数的k的几何意义求阴影部分图形的面积】 PAGEREF _Tc4535 \h 6
\l "_Tc4194" 【题型5 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】 PAGEREF _Tc4194 \h 7
\l "_Tc16250" 【题型6 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】 PAGEREF _Tc16250 \h 8
\l "_Tc21079" 【题型7 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】 PAGEREF _Tc21079 \h 9
\l "_Tc5383" 【题型8 由面积之间的关系求反比例函数的比例系数】 PAGEREF _Tc5383 \h 11
\l "_Tc2067" 【题型9 由反比例函数k的几何意义求坐标】 PAGEREF _Tc2067 \h 13
\l "_Tc14025" 【题型10 由直线分面积求参数的值】 PAGEREF _Tc14025 \h 14
知识点：反比例函数的k的几何意义
由y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|.
如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq \f(1,2)|xy|＝eq \f(1,2)|k|.

【题型1 由反比例函数的k的几何意义求三角形的面积】
【例1】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段OA与反比例函数y=6x(x>0)相交于点A，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到线段OB，点B恰好落在双曲线y=6x(x>0)上，则△ABO的面积为（ ）
A．3B．32C．62D．6
【变式1-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，已知点 A ，B分别在反比例函数y=−1x(x0的图象上，且OA⊥OB．若AB=6，则△AOB的面积为 ．
【变式1-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图， △OAC 和 △BAD 都是等腰直角三角形， ∠ACO=∠ADB=90∘ ，反比例函数 y=4x 在第一象限的图象经过点 B ，则 △OAC 与 △BAD 的面积之差为 ．
【变式1-3】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示：已知直线y=12x 与双曲线y=kx(k>0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4．
(1)求k的值；
(2)若双曲线y=kx(k>0)上的一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积？
(3)在坐标轴上是否存在一点M使得MA+MC的值最小，若存在，请求出M点坐标．不存在，请说明理由．
【题型2 由反比例函数的k的几何意义求四边形的面积】
【例2】（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，点A在函数y=2x(x>0)的图像上，点B在函数y=3x(x>0)的图像上，且AB∥x轴，BC∥y轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【变式2-1】（23-24九年级·北京·开学考试）如图，点A、B是函数y=x与y=1x的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．S>2B．S>1C．S0)的图象经过矩形OABC对角线OB的中点P，与AB、BC交于E、F两点，则四边形OEBF的面积是 ．

【题型3 由反比例函数的k的几何意义判断面积的大小关系】
【例3】（2024九年级·河南·专题练习）小明在研究矩形面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下表数据：
结果发现一个数据被墨水涂黑了．
（1）被墨水涂黑的数据为 ．
（2）y与x之间的函数关系式为 （其中x＞0），且y随x的增大而 ．
（3）如图是小明画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为S1，矩形ODEF的面积记为S2，请判断S1和S2的大小关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y＝2x的图象经过点G交AB于点H，连接OG、OH，则四边形OGBH的面积为 ．
【变式3-1】（23-24九年级·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数y=kx图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1S2D．S1=2S2
【变式3-2】（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象上有三点A，B，C，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，连接OA，OB，OC，记△OAD，△OBE，△OCF的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2和S3的大小关系为（ ）
A．S1>S2>S3B．S1S2
【变式3-3】（2024·吉林长春·二模）已知点A在反比例函数y=5x(x>0)的图象上，点B、C在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点P、Q为x、y轴上任意一点，则△PAC和△QAB面积的大小关系为（ ）．
A．S△PAC>S△QABB．S△PAC0的图象经过点A和点D，若菱形OABC的面积为6，则k为（ ）
A．2B．1C．3D．6
【变式6-1】（23-24九年级·江苏常州·期末）如图，直线y=2x与反比例函数y=kxk≠0交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，点C是该平行线上的一点，连接AC，使得AC=AB，过点C作x轴的垂线交y=kxk≠0于点D，以BC、CD为边作矩形BCDE，若S矩形BCDE=32，则k= ．
【变式6-2】（23-24九年级·河南南阳·阶段练习）如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点上，点B在y轴上，点A在反比例函数y=kxx0的图象上．若平行四边形OABC的面积为10，则k= ．
【变式6-3】（2024·江苏淮安·模拟预测）平面直角坐标系xy中，已知点Aa，−4a、B2a，−2b、C−a，4a、D−2a，2b是函数y=kxk≠0图象上的四点．若四边形ABCD 的面积为4，则k的值为 ．
【题型7 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】
【例7】（2024·广东东莞·模拟预测）如图，点A、B在x轴上，分别以OA，AB为边，在x轴上方作正方形OACD，ABEF．反比例函数y=kxk>0的图象分别交边CD，BE于点P，Q．作PM⊥x轴于点M，QN⊥y轴于点N．若OA=2AB，Q为BE的中点，且阴影部分面积等于6，则k的值为（ ）
A．6B．12C．24D．48
【变式7-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，点A，B在反比例函数y=kxx0，k为常数，k≠0）的图像恰好经过点M、P，若阴影部分面积为8，则k的值为 ．
【变式7-3】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A在x轴上，顶点C在y轴上，矩形DEFG的边DE在BC上，AB=EF．反比例函数y=kxk≠0的图象经过点B，若阴影部分面积为6，则k的值为（ ）
A．2B．3C．6D．12
【题型8 由面积之间的关系求反比例函数的比例系数】
【例8】（2024·吉林长春·一模）如图，平行四边形ABCD中A点的坐标为(0,−2)，B在x轴的负半轴上，C、D两点落在反比例函数y=kx−1上，且D点的横坐标为3，四边形AECD的面积是△ABE面积的3倍，则k的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【变式8-1】（23-24九年级·浙江杭州·期末）如图，过y=kxk≠0,x>0的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=−2x的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若S2+S3+S4=112，则k的值为（ ）
A．52B．53C．4D．83
【变式8-2】（23-24九年级·浙江金华·期中）如图，四边形OABC、BDEF是面积分别为S1、S2的正方形，点A在x轴上，点F在BC上，点E在反比例函数y=kxx>0的图象上，若S1−S2=4，则k值为 ．
【变式8-3】（2024·山东济宁·一模）如图，点A3,6，B6,a是反比例函数y=mx的图象上的两点，连接OA、OB．
(1)求a的值；
(2)求△AOB的面积；
(3)若点C的坐标为9,0，点P是反比例函数图象上的点，若△POC的面积等于△AOB面积的3倍，求点P的坐标．
【题型9 由反比例函数k的几何意义求坐标】
【例9】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数y=mx(x>0)的图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD=2，S△AOC=5，则点C的坐标是 ．
【变式9-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，A、B两点的坐标分别为(−2,0)，(0,3)，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y=kx的图象经过点C．

(1)直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；
(2)点P在反比例函数y=kx的图象上，当△PCD的面积为9时，求点P的坐标．
【变式9-2】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，点A在反比例函数y=6x的图象上，点B在反比例函数y=kx的图象上，连接AB，且AB∥x．点P(23,0)是x轴上一点，连接PA，PB，若PA=PB，S△PAB=4，则PB与y轴交点C的坐标为 ．

【变式9-3】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D2,1在对角线OB上，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是6，则点B的坐标为（ ）
A．4,83B．4,2C．5,2.5D．245,125
【题型10 由直线分面积求参数的值】
【例10】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=kx的图像交于A，B两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数y=k−16x的图像上，AC∥y轴，BD∥x轴，OD将四边形ABDC的面积分成7：5的两部分，则△OCD的面积为 ，k的值为 ．
【变式10-1】（23-24九年级·江苏苏州·期中）如图，直线y=12x+m与反比例函数y=kxx>0交于点A2,4，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y=12x+m于点E．若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，则点C坐标为 ．
【变式10-2】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，平面直角坐标系中有一个由12个边长为1的正方形所组成的图形，反比例函数y=kxk≠0,x>0的图象与图形外侧两个交点记为A点，B点，若线段AB把该图形分成面积为5:7的两部分，则k的值为 ．
【变式10-3】（2024·山东聊城·中考真题）如图，直线y=px+3p≠0与反比例函数y=kxk>0在第一象限内的图象交于点A2,q，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y=px+3于点E，且S△AOB:S△COD=3:4．

(1)求k，p的值；
(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．x
0.5
1
1.5
2
3
4
6
12
y
12
6
4
3
2
1
0.5
专题21.12 反比例函数k的几何意义与面积之间的关系【十大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc11746" 【题型1 由反比例函数的k的几何意义求三角形的面积】 PAGEREF _Tc11746 \h 1
\l "_Tc27320" 【题型2 由反比例函数的k的几何意义求四边形的面积】 PAGEREF _Tc27320 \h 8
\l "_Tc8999" 【题型3 由反比例函数的k的几何意义判断面积的大小关系】 PAGEREF _Tc8999 \h 11
\l "_Tc4535" 【题型4 由反比例函数的k的几何意义求阴影部分图形的面积】 PAGEREF _Tc4535 \h 15
\l "_Tc4194" 【题型5 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】 PAGEREF _Tc4194 \h 20
\l "_Tc16250" 【题型6 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】 PAGEREF _Tc16250 \h 24
\l "_Tc21079" 【题型7 由阴影部分图形的面积求反比例函数的比例系数】 PAGEREF _Tc21079 \h 29
\l "_Tc5383" 【题型8 由面积之间的关系求反比例函数的比例系数】 PAGEREF _Tc5383 \h 34
\l "_Tc2067" 【题型9 由反比例函数k的几何意义求坐标】 PAGEREF _Tc2067 \h 39
\l "_Tc14025" 【题型10 由直线分面积求参数的值】 PAGEREF _Tc14025 \h 45
知识点：反比例函数的k的几何意义
由y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象上任意一点向两坐标轴作垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积为|k|.
如图①和②，S矩形PAOB＝PA·PB＝|y|·|x|＝|xy|＝|k|；
同理可得S△OPA＝S△OPB＝eq \f(1,2)|xy|＝eq \f(1,2)|k|.

【题型1 由反比例函数的k的几何意义求三角形的面积】
【例1】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，线段OA与反比例函数y=6x(x>0)相交于点A，将线段OA绕点O逆时针旋转45°得到线段OB，点B恰好落在双曲线y=6x(x>0)上，则△ABO的面积为（ ）
A．3B．32C．62D．6
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，全等三角形的判定和性质．
过点A作AC⊥x轴于点C，过带你B作BD⊥y轴于点D，过点O作OE⊥AB于点E，推出OE为反比例函数y=6x(x>0)图象的对称轴，通过证明△AOC≌△AOE，得出△BOD≌△BOE，△ABO的面积=S△AOE+S△BOE=S△AOC+S△BOD=k2+k2，即可解答．
【详解】解：过点A作AC⊥x轴于点C，过带你B作BD⊥y轴于点D，过点O作OE⊥AB于点E，
由旋转可知OA=OB,∠AOB=45°，
∵OE⊥AB，
∴点A和点B关于OE对称，∠AOE=∠BOE=22.5°，
∴OE为反比例函数y=6x(x>0)图象的对称轴，
∴∠COE=∠DOE=45°，
∴∠AOC=∠COE−∠AOE=22.5°，
∵∠ACO=∠AEO=90°,OA=OA,∠AOC=∠AOE=22.5°，
∴△AOC≌△AOE，
同理可得：△BOD≌△BOE，
∴△ABO的面积=S△AOE+S△BOE=S△AOC+S△BOD=k2+k2=6，
故选：D．
【变式1-1】（2024·浙江·模拟预测）如图，已知点 A ，B分别在反比例函数y=−1x(x0的图象上，且OA⊥OB．若AB=6，则△AOB的面积为 ．
【答案】932
【分析】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，反比例函数k的几何意义，勾股定理，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解本题的关键．过点A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似得到三角形ACO与三角形ODB相似，由A、B分别在反比例函数y=−1x(x0的图象上，利用反比例函数k的几何意义求出三角形ACO与三角形ODB面积，进而得到面积之比，利用面积比等于相似比的平方确定出相似比，即为OA与OB之比，设出OA=x，OB=3x，在直角三角形AOB中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出OA与OB的长，即可求出三角形AOB的面积．
【详解】解：过点A作AC⊥x轴，过B作BD⊥x轴，
又∵OA⊥OB，
∴∠AOC+∠BOD=90°,∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠BOD=∠CAO，
又∵∠ACO=∠BDO=90°，
∴△ACO∽△ODB，
∵点A，B分别在反比例函数y=−1x(x0图象上，
∴S△AOC=12×−1=12，S△BOD=12×3=32，即S△AOC:S△BOD=1:3，
∴OA:OB=1:3，
在Rt△AOB中，设OA=x，则OB=3x，
∵ AB=6，
根据勾股定理得：AB2=OA2+OB2，即36=x2+3x2，
解得：x=3（负值舍去），
∴OA=3,OB=33，
则S△AOB=12OA⋅OB=932．
故答案为：932．
【变式1-2】（23-24九年级·浙江宁波·期末）如图， △OAC 和 △BAD 都是等腰直角三角形， ∠ACO=∠ADB=90∘ ，反比例函数 y=4x 在第一象限的图象经过点 B ，则 △OAC 与 △BAD 的面积之差为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形的性质，面积公式，平方差公式，根据△OAC和△BAD都是等腰直角三角形可得出OC=AC、AD=BD，设OC=a，BD=b，则点B的坐标为a+b,a−b，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a2−b2=4，再根据三角形的面积即可得出△OAC与△BAD的面积之差，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，
∴OC=AC，AD=BD，
设OC=a，BD=b，
则点B的坐标为a+b,a−b，
∵反比例函数y=4x在第一象限的图象经过点B，
∴a+ba−b=a2−b2=4，
∴S△OAC−S△BAD=12a2−12b2=12×4=2，
故答案为：2．
【变式1-3】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图所示：已知直线y=12x 与双曲线y=kx(k>0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4．
(1)求k的值；
(2)若双曲线y=kx(k>0)上的一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积？
(3)在坐标轴上是否存在一点M使得MA+MC的值最小，若存在，请求出M点坐标．不存在，请说明理由．
【答案】(1)k=8
(2)S△OAC=15
(3)存在，M点坐标为0,345，理由见解析
【分析】（1）利用一次函数求出A点坐标，再将其代入双曲线y=kx(k>0)中求解，即可解题；
（2）利用反比例函数求出点C，过点C作CE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，FA，EC的延长线相加于点D，连接OC，AC，结合k的几何意义根据S△OAC=S矩形OEDF−S△OAF−S△OCE−S△ACD求解，即可解题；
（3）根据点M在坐标轴上使得MA+MC的值最小分以下两种情况讨论，①当M点在x轴上时，②当M点在y轴上时，根据以上两种情况结合轴对称性质，两点之间线段最短，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数与坐标轴交点情况分析求解，即可解题．
【详解】（1）解：∵直线y=12x 与双曲线y=kx(k>0)交于A、B两点，且点A的横坐标为4，
将点A的横坐标代入y=12x得y=12×4=2，
∴点A的坐标为4,2，
将点A的坐标代入y=kx(k>0)得：2=k4，
解得：k=8，
故k的值为8；
（2）解：由（1）可知：双曲线解析式为y=8x，
∵点C在双曲线y=8x上，点C的纵坐标为8，
将点C的纵坐标代入y=8x得：8=8x，
解得：x=1，点C的坐标为1,8，
如图，过点C作CE⊥y轴于点E，过点A作AF⊥x轴于点F，FA，EC的延长线相加于点D，连接OC，AC，
∴S△OAC=S矩形OEDF−S△OAF−S△OCE−S△ACD
=4×8−82−82−12×4−1×2−8
=32−4−4−9
=15；
（3）解：存在，理由如下：
①当M点在x轴上时，
如图，作C点关于x轴的对称点C'，连接AC'，交x轴于点M，连接CM，

根据轴对称性质可知，CM=C'M，
∴ MA+MC=MA+MC'=AC'，
根据两点之间线段最短可知AC'即为MA+MC的最小值，与x轴的交点即为M点，
∵点C的坐标为1,8，
∴点C'的坐标为1,−8，
设直线AC'的解析式为y=k1x+b，
将A、C'坐标代入得：−8=k1+b2=4k1+b，解得：k1=103b=−343，
∴直线AC'的解析式为y=103x−343，
令y=0，代入y=103x−343得：0=103x−343，
解得：x=175，
∴M点坐标为175,0．
此时最小值为=4−12+2+82=109.
②当M点在y轴上时，
如图，作C点关于y轴的对称点C″，连接AC″，交y轴于点M，连接CM，

根据轴对称性质可知，CM=C″M，
∴ MA+MC=MA+MC″=AC″，
根据两点之间线段最短可知AC″即为MA+MC的最小值，与y轴的交点即为M点，
∵点C的坐标为1,8，
∴点C″的坐标为−1,8，
设直线AC″的解析式为y=mx+n，
将A、C″坐标代入得：8=−m+n2=4m+n，解得：m=−65n=345，
∴直线AC″的解析式为y=−65x+345，
令x=0，代入y=−65x+345得：y=345，
∴M点坐标为0,345，
此时最小值为4+12+8−22=61，且610)的图像上，点B在函数y=3x(x>0)的图像上，且AB∥x轴，BC∥y轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中k的几何意义，是解题的关键．
延长BA交y轴于点D，根据反比例函数k值的几何意义得到S△ADO=12×2=1，S矩形OCBD=3，根据四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD−S△ADO，即可得解．
【详解】解：延长BA交y轴于点D，

∵AB∥x轴，
∴DA⊥y轴，
∵点A在函数y=2x(x>0)的图象上，
∴S△ADO=12×2=1，
∵BC⊥x轴于点C，DB⊥y轴，点B在函数y=3x(x>0)的图象上，
∴S矩形OCBD=3，
∴四边形ABCO的面积等于S矩形OCBD−S△ADO=3−1=2；
故选：B．
【变式2-1】（23-24九年级·北京·开学考试）如图，点A、B是函数y=x与y=1x的图象的两个交点，作AC⊥x轴于C，作BD⊥x轴于D，则四边形ACBD的面积为（ ）
A．S>2B．S>1C．S0)的图象经过矩形OABC对角线OB的中点P，与AB、BC交于E、F两点，则四边形OEBF的面积是 ．

【答案】6
【分析】设P点的坐标为m，n，根据矩形性质求得A，B的坐标，根据反比例函数k的几何意义可得S△OCF=S△OAE=1，根据S四边形OEBF=S矩形OABC−S△OCE−S△OAD，即可求解．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴BC⊥y轴，BA⊥x轴，
∵E,F在反比例函数图象上，
∴S△OCF=S△OAE=22=1，
设P点的坐标为m，n，而点P在反比例函数图像上，则mn=2，
又∵矩形OABC对角线OB的中点为P，
∴ B2m，2n，A2m，0，C0，2n，
∵S矩形OABC=AB⋅OA=2n⋅2m=4mn=8，
∴ S四边形OEBF=S矩形OABC−S△OCF−S△OAE=8−1−1=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，矩形的性质，中点坐标公式，设点的坐标求解是解题的关键．
【题型3 由反比例函数的k的几何意义判断面积的大小关系】
【例3】（2024九年级·河南·专题练习）小明在研究矩形面积S与矩形的边长x，y之间的关系时，得到下表数据：
结果发现一个数据被墨水涂黑了．
（1）被墨水涂黑的数据为 ．
（2）y与x之间的函数关系式为 （其中x＞0），且y随x的增大而 ．
（3）如图是小明画出的y关于x的函数图象，点B、E均在该函数的图象上，其中矩形OABC的面积记为S1，矩形ODEF的面积记为S2，请判断S1和S2的大小关系，并说明理由．
（4）在（3）的条件下，DE交BC于点G，反比例函数y＝2x的图象经过点G交AB于点H，连接OG、OH，则四边形OGBH的面积为 ．
【答案】（1）1.5；（2）y＝6x；减少；（3）S1＝S2，理由详见解析；（4）4
【分析】（1）由表格直接可得；
（2）在表格中发现xy=6，故得到y=6x；
（3）由反比例函数k的几何意义可知S1=OA•OC=k=6，S2=OD•OF=k=6；
（4）根据反比例函数k的几何意义，得到S四边形OCBA=6，S△OCG=1，S△OAH=1；
【详解】（1）从表格可以看出s=6，
∴墨水盖住的数据是6÷4=1.5；
故答案为1.5；
（2）由xy=6，得到y＝6x，
∴y是x的反比例函数，k=6＞0，当x>0时，y随x的增大而减少；
故答案为y=6x；减少；
（3）S1＝S2．
S1＝OA•OC＝k＝6，S2＝OD•OF＝k＝6，
∴S1＝S2；
（4）∵点B在y＝6x上，
∴S四边形OCBA= 6，
∵点G、H在y＝2x上，
S△OCG=1，S△OAH=1，
∴S四边形OGBH=S四边形OCBA-S△OCG-S△OAH=6-1-1=4；
故答案为4．
【点睛】本题考查反比例函数的性质，k的几何意义；理解反比例函数|k|与面积的关系是解题的关键．
【变式3-1】（23-24九年级·湖南株洲·期中）如图：点P、Q是反比例函数y=kx图象上的两点，PA⊥y轴于点A，QN⊥x轴于点N，作PM⊥x轴于点M，QB⊥y轴于点B，连接PB、QM，△ABP的面积记为S1，△QMN的面积记为S2，则S1与S2的大小关系是（ ）
A．S1S2D．S1=2S2
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
设P(a,b)，Q(m,n)，根据三角形的面积公式和k的几何意义，即可求出结果．
【详解】解：设P(a,b)，Q(m,n)，
则S1=S△ABP=12AP⋅AB=12a(b−n)=12ab−12an，
S2=S△QMN=12MN⋅QN=12(m−a)n=12mn−12an，
∵点P，Q在反比例函数的图象上，
∴ab=mn=k，
∴S1=S2．
故选：B．
【变式3-2】（2024·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y=kx的图象上有三点A，B，C，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，连接OA，OB，OC，记△OAD，△OBE，△OCF的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2和S3的大小关系为（ ）
A．S1>S2>S3B．S1S2
【答案】C
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义求解．
【详解】解：由函数系数k的几何意义可得，S1，S2，S3均为|k|2，
∴S1=S2=S3，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题关键是熟练掌握反比例函数的性质和系数k的几何意义．
【变式3-3】（2024·吉林长春·二模）已知点A在反比例函数y=5x(x>0)的图象上，点B、C在反比例函数y=1x(x>0)的图象上，点P、Q为x、y轴上任意一点，则△PAC和△QAB面积的大小关系为（ ）．
A．S△PAC>S△QABB．S△PAC0)上取点C1、C2，点P不变，发现△ACP的面积是在变化的，同理分析可得△ABQ的面积也是变化的，从而得出选项．
【详解】如下图，在反比例函数y=1x(x>0)上取点C1、C2，点P不变
则由图形可知：S△APC1＞S△APC＞S△APC2
∵点C、P可任意选取，则△APC的面积可任意变化
同理，△ABQ的面积可任意变化
故选：D
【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题关键是判断出三角形的面积是始终变化的．
【题型4 由反比例函数的k的几何意义求阴影部分图形的面积】
【例4】（23-24九年级·江苏南京·期末）如图，点P，Q，R为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点C，B，A，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为S1，S2，S3，其中OA:AB:BC=1:2:3，若S2=2，则S1+S3=（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．
由OA:AB:BC=1:2:3，得S1=k6，S4=26k=13k，S1+S4=12k，所以S2=S4=2，S5=S1=k6，根据13k=2，解得k=6，即得S5=1，进而即可求得S1+S3=k−S5=6−1=5．
【详解】解：如图所示，
∵OA:AB:BC=1:2:3，S2=2，
∴S1=k6，S4=26k=13k，
∴S1+S4=12k，
∴S2+S5=12k，
∴MN平分矩形OBQE，
∴S2=S4=2，S5=S1=k6，
∴ 13k=2，
∴k=6，
∴S5=S1=1，
∵S1+S5+S3=k，
∴S1+S3=k−S5=6−1=5．
故选：B．
【变式4-1】（2024·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A、B、C在双曲线y=8x上，BD⊥x轴于点D，CE⊥y轴于点E，点F在x轴上，且AO=AF，则图中阴影部分的面积之和为 ．

【答案】16
【分析】过A作AG垂直于x轴，交x轴于点G，由AO=AF，利用三线合一得到G为OF的中点，根据等底同高得到三角形AOG的面积等于三角形AFG的面积，再由A，B及C三点都在反比例函数图象上，根据反比例的性质得到△BOD，△COE及△AOG的面积都相等，都为k2，由反比例解析式中的k值代入，求出三个三角形的面积，问题随之得解．
【详解】解：过A作AG⊥x轴，交x轴于点G，如图所示：

∵AO=AF，AG⊥OF，
∴G为OF的中点，即OG=FG，
∴S△OAG=S△FAG，
又∵A，B及C点都在反比例函数y=8x上，BD⊥x轴，CE⊥y轴，
∴S△OAG=S△BOD=S△COE=k2=4，
∴S△OAG=S△BOD=S△COE=S△FAG=4，
则S阴影=S△OAG+S△BOD+S△COE+S△FAG=16，
故答案为：16．
【点睛】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的性质，运用反比例函数的性质来解答本题关键．
【变式4-2】（2024九年级·全国·竞赛）如图，点A、B在第一象限，且为反比例函数y=4x图象上的两点，点A、B关于原点对称的对应点分别为点C、D，若点B的横坐标是点A横坐标的4倍，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】15
【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，设点A的横坐标为a，则点B的横坐标为4a，根据S△AOB=S△AOE+S四边形AEFB−S△OBF求出S△AOB=152，再根据点A、B关于原点对称的对应点分别为点C、D，得到S△COD=S△AOB=152，即可得到图中阴影部分的面积．
【详解】解：过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
设点A的横坐标为a，则点B的横坐标为4a，
∵点A、B在第一象限，且为反比例函数y=4x图象上的两点，
∴点A的坐标为a,4a，点B的坐标为4a,1a，
∴AE=4a,BF=1a，
∴S△AOB=S△AOE+S四边形AEFB−S△OBF
=12×4+124a+1a×4a−a−12×4
=152
∵点A、B关于原点对称的对应点分别为点C、D，
∴S△COD=S△AOB=152，
∴图中阴影部分的面积为S△COD+S△AOB=152+152=15，
故答案为：15．
【变式4-3】（2024·山东济宁·二模）如图，在反比例函数y=1x的图象上有P1,P2,P3,…，P2024等点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2024，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1,S2,S3…,S2023，则S1+S2+S3+...+S2023的值为（ ）
A．1B．2024C．12024D．20232024
【答案】D
【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象性质是解题的关键．
将面积为S2,S3…,S2023的矩形向左平移到面积为S1的矩形的下方，然后再利用S矩形ABP1D=S矩形OCP1D−S矩形OABC求解即可．
【详解】解：∵P1,P2,P3,…，P2024的横坐标依次为1，2，3，…，2024，，
∴阴影矩形的一边长都为1，
如图：记P1D⊥y轴于点D，P1C⊥x轴于点C，P2024A⊥x轴于点A，且交P1C于点B，
将面积为S2,S3…,S2023的矩形向左平移到面积为S1的矩形的下方，则S1+S2+S3+…+S2024=S矩形ABP1D，
把x=2024代入y=1x得：y=12024，即OA=12024，
∴S矩形OABC=OA⋅OC=12024，
根据反比例函数中的几何意义，可得：S矩形OCP1D=1，S矩形ABP1D=S矩形OCP1D−S矩形OABC=1−12024=20232024．
故选D．
【题型5 由三角形的面积求反比例函数的比例系数】
【例5】（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，反比例函数y=kx的图象与正比例函数y=x的图象交于A，B两点，点C在反比例函数第一象限的图象上且坐标为(m,4m)，若△BOC的面积为12，则k的值为 ．
【答案】16
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，连接AC, 作AE⊥x轴于E, CD⊥x轴于F,则S△COD=S△AOE=12|k|，根据题意求得A(2m,2m),由S△AOC=S△COD+S梯形AEDC−S△AOE=S梯形AEDC，即可得出 124m+2m2m−m=12，解方程求得m的值，从而求得 k=16．
【详解】连接AC, 作AE⊥x轴于E, CD⊥x轴于F,则S△COD=S△AOE=12|k|，
∴S△AOC=S△COD+S梯形AEDC−S△AOE=S梯形AEDC，
∵反比例函数y=kx的图象与正比例函数y=x的图象交于A,B两点,
∴A、B关于原点对称，
∴OA=OB，
∴S△AOC=S△BOC=12，
设A(a,a),
∴k=4m⋅m=a⋅a，
∴a=2m，
∴A(2m,2m)，
∴S梯形AEDC=12CD+AE⋅DE=12，即 124m+2m2m−m=12，
解得m=2，m=−2（舍去）
∴k=4m⋅m=16，
故答案为:16．
【变式5-1】（23-24九年级·江苏镇江·期末）如图，点A、B分别是x轴、y轴上的点，过点A、B分别作x轴、y轴的垂线交于点C，反比例函数y=kxk0)上，
∴2a=−6，
∴a=−3，
∴A(2,−3)
设直线AD的解析式为y=mx+n，
则：2m+n=−3−2m+n=0，
∴m=−34n=−32，
∴y=−34x−32，
设Bn,−34n−32，
∵S△ACB=12AC⋅xB−xA=1，
∴12×3×n−2=1，
∴n=83，
∴−34n−32=−72，
∴B83,−72，
∴k=−72×83=−283．
故答案为：−283．
【题型6 由四边形的面积求反比例函数的比例系数】
【例6】（23-24九年级·江苏扬州·期末）如图，点O为坐标原点，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，对角线AC、OB交于点D，反比例函数y=kxx>0的图象经过点A和点D，若菱形OABC的面积为6，则k为（ ）
A．2B．1C．3D．6
【答案】A
【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用，设Am,km，Cn,0，中点坐标公式求出Dm+n2,k2m，根据点D在反比例函数图象上，以及菱形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：设Am,km，Cn,0，
∵菱形OABC，
∴AD=CD，S△AOC=12S菱形OABC=3，
∴Dm+n2,k2m，
∵点D在反比例函数图象上，
∴m+n2⋅k2m=k，
∴n=3m，
∴C3m,0，
∴S△AOC=12⋅3m⋅km=3，
∴k=2；
故选：A．
【变式6-1】（23-24九年级·江苏常州·期末）如图，直线y=2x与反比例函数y=kxk≠0交于A、B两点，过点B作x轴的平行线，点C是该平行线上的一点，连接AC，使得AC=AB，过点C作x轴的垂线交y=kxk≠0于点D，以BC、CD为边作矩形BCDE，若S矩形BCDE=32，则k= ．
【答案】6
【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了等腰三角形三线合一的性质，反比例函数系数k的几何意义，求得S矩形QOKD=6是解题的关键．
作AM⊥BC于M，交ED于点N，利用等腰三角形三线合一的性质得出BM=CM，即可求得S矩形BENM=16，由反比例函数的对称性得出OA=OB， BJ=JM，求得S矩形EBJQ=8,EQ=QN，进而求得k=S矩形QOKD=6．
【详解】解：作AM⊥BC于M，交ED于点N，
∵AB=AC，
∴BM=CM，
∵S矩形BCDE=32，
∴S矩形BENM=16，
∵直线y=2x与反比例函数y=kx(k≠0)交于A、B两点，AM∥y轴，
∴OA=OB，BJ=JM，
∴S矩形EBJQ=8,EQ=QN，
∴EQ=14ED，
∵S矩形BPOJ=S矩形OKDQ=k，
∴S矩形EPOQ=2，
∴S矩形QOKD=6，
∴k=S矩形QOKD=6，
故答案为：6．
【变式6-2】（23-24九年级·河南南阳·阶段练习）如图，平行四边形OABC的顶点O在坐标原点上，点B在y轴上，点A在反比例函数y=kxx0的图象上．若平行四边形OABC的面积为10，则k= ．
【答案】−2
【分析】过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，根据平行四边形的性质及全等三角形的判定和性质得出△ABE与△COD的面积相等，△AOE与△CBD的面积相等，再由反比例函数k的几何意义得出S△ABE=S△COD=82=4，确定S△AOE=S△CBD=5−4=1，再次利用反比例函数k的几何意义即可得出结果．
【详解】解：过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，
∴∠AEB=∠CDO=90°，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ABE=∠COD，AB=CO，
∴△ABE≌△COD(AAS)，
∴△ABE与△COD的面积相等，
同理可得△AOE与△CBD的面积相等，
∵若▱OABC的面积为10，
∴S△ABE+S△AOE=S△CBD+S△COD=12×10=5，
∵点C在反比例函数y=8x(x>0)的图象上，
∴S△ABE=S△COD=82=4，
∴S△AOE=S△CBD=5−4=1，
∵点A在反比例函数y=kx(x0的图象上，
∴k=6a×a=6a2，
∵四边形OACD是正方形，
∴C4a,4a，
∵P在CD上，
∴P点纵坐标为4a，
∵P点在反比例函数y=kxk>0的图象上，
∴P点横坐标为x=k4a，
∴Pk4a,4a，
设PM、NQ交于点H，
∵∠HMO=∠HNO=∠NOM=90°，
∴四边形OMHN是矩形，
∴NH=k4a，MH=a，
∴S▭OMHN=NH×MH=k4a×a=6，
∴k=24，
故选：C．
【点睛】本题考查反比例函数图象的性质及正方形的性质及矩形得判定及其面积公式，读懂题意，灵活运用所学知识是解题的关键．
【变式7-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，点A，B在反比例函数y=kxx0的图象上点A，分别作x轴，y轴的平行线交y=−2x的图象于B，D两点，以AB，AD为邻边的矩形ABCD被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为S1，S2，S3，S4，若S2+S3+S4=112，则k的值为（ ）
A．52B．53C．4D．83
【答案】D
【分析】本题考查了反比例函数的性质，设Aa,b，则B−2b,b，Da,−2a，C−2b,−2a，根据坐标求得S1=ab=k，S2=S4=1，推得S3=−2b×−2a=32，即可求得．
【详解】解：依题意，设Aa,b，则B−2b,b，Da,−2a，C−2b,−2a
∵点A在y=kx(x>0)的图象上
则S1=ab=k，
同理∵B，D两点在y=−2x的图象上，
则S2=S4=2
∵S2+S3+S4=112
∴S3=112−2−2=32，
又∵S3=−2b×−2a=32，
故ab=83，
∴k=83，
故选：D．
【变式8-2】（23-24九年级·浙江金华·期中）如图，四边形OABC、BDEF是面积分别为S1、S2的正方形，点A在x轴上，点F在BC上，点E在反比例函数y=kxx>0的图象上，若S1−S2=4，则k值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查的知识点是反比例函数系数k的几何意义，根据已知条件得出点D、E、F的坐标是解此题的关键．设正方形OABC、BDEF的边长分别为a，b，则可表示出D(a,a+b)，F(a−b,a)，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出Ea−b,ka−b，利用点E与点D的纵坐标相同，求解即可．
【详解】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a，b，
则Da,a+b，Fa−b,a，Ea−b,ka−b，
∵点E与点D的纵坐标相同，
∴ka−b=a+b，
∴a2−b2=k，
∵S1−S2=4，
∴k=4．
故答案为：4．
【变式8-3】（2024·山东济宁·一模）如图，点A3,6，B6,a是反比例函数y=mx的图象上的两点，连接OA、OB．
(1)求a的值；
(2)求△AOB的面积；
(3)若点C的坐标为9,0，点P是反比例函数图象上的点，若△POC的面积等于△AOB面积的3倍，求点P的坐标．
【答案】(1)a=3
(2)△AOB的面积为272
(3)点P的坐标为2,9或−2,−9
【分析】（1）将点A3,6，代入y=mx，求出m，将点B6,a代入y=18x，即可求解，
（2）由反比例函数的几何意义得S△AOD=S△BOE，由S四边形AOEB−S△BOE=S四边形AOEB−S△AOD，可得S△AOB=S梯形ADEB，即可求解，
（3）设点P坐标为p,18p，作PE⊥x轴，用含p的代数式表示出PE的长度，代入S△POC=12×OC×PE=3S△AOB=3×272，即可求解，
本题考查了求反比函数解析式，反比例函数的几何意义，求特殊图形的面积，解题的关键是：熟练应用数形结合的思想．
【详解】（1）解：∵点A3,6，B6,a是反比例函数y=mx的图象上的两点，
∴6=m3，解得：m=18，
∴反比例函数解析式为：y=18x，
∴a=186，解得：a=3，
故答案为：a=3，
（2）解：过点A，B，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为D，E，
由（1）可知，点A3,6，B6,3是反比例函数y=18x的图象上的两点，
∴AC=6，OD=3，BD=3,OE=6，S△AOD=S△BOE，
∵S四边形AOEB−S△BOE=S四边形AOEB−S△AOD，
∴S△AOB=S梯形ADEB=12AD+BE⋅DE=12AD+BE⋅OE−OD=126+36−3=272，
故答案为：△AOB的面积为272，
（3）解：设点P坐标为p,18p，过点P，作PE⊥x轴，垂足为E，
∴PE=18p−0=18p，OC=9，
∴S△POC=12×OC×PE=3S△AOB=3×272，
即：12×9×18p=3×272，解得：p=2或p=−2，
∴P2,9或P−2,−9，
故答案为：点P的坐标为2,9或−2,−9．
【题型9 由反比例函数k的几何意义求坐标】
【例9】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，平行于y轴的直尺（部分）与反比例函数y=mx(x>0)的图像交于A，C两点与x轴交于B，D两点，连接AC，点A，B对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽度BD=2，S△AOC=5，则点C的坐标是 ．
【答案】(6，2)
【分析】首先根据点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，AB=3．BD=2，即可求得A的坐标(m3，3)，C的坐标(m3+2，3mm+6)，关键是根据面积列出关于m的方程，求出m，即可求得C的坐标．
【详解】解：∵直尺平行于y轴，A、B对应直尺的刻度为5、2，且AB=3，
则B的坐标为(m3，0)，则D的坐标为(m3+2，0)
∴C(m3+2，3mm+6)，
∵SΔAOC=SΔAOB+S梯形ABDC−SΔOCD=5，
又∵SΔAOB=SΔOCD，
∴S梯形ABDC=5，
∴(3+3mm+6)×2×12=5，
∴m=12，
∴C的坐标为(6,2)
故答案为：(6,2)．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题，解题的关键是掌握反比例函数图像上点的坐标特征、比例系数的几何意义；熟练运用几何图形的面积的和差计算不规则的图形的面积．
【变式9-1】（23-24九年级·河南南阳·期末）如图，A、B两点的坐标分别为(−2,0)，(0,3)，将线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC，过点C作CD⊥OB，垂足为D，反比例函数y=kx的图象经过点C．

(1)直接写出点C的坐标，并求反比例函数的解析式；
(2)点P在反比例函数y=kx的图象上，当△PCD的面积为9时，求点P的坐标．
【答案】(1)C(3,1)，y=3x；
(2)(7,37)或(−5,−35)．
【分析】（1）根据图形旋转的性质可证明△ABO≅△BCD(ASA)，进而可推算出点C的坐标，再根据待定系数法即可求出反比例函数解析式；
（2）设点P的坐标为(m,3m)，利用S△PCD=12×CD×m−1=9，建立关于m的方程解出m值即可．
【详解】（1）解：根据线段AB绕点B逆时针旋转90°得到线段BC可知：AB=BC，∠ABO+∠CBD=∠ABC=90°，
又∵∠OAB+∠ABO=90°，
∴ ∠ABO=∠OBC
又∵CD⊥OB
∴∠CDB=∠AOB=90°
∴ △ABO≅△BCD(ASA)，
∴CD=OB=3，BD=AO=2，
∴OD=OB−BD=1，
∴C(3,1)．
∵C(3,1)在y=kx上，k=3，
∴反比例函数解析式为：y=3x．
（2）设点P的坐标为(m,3m)，
∵S△PCD=12×CD×m−1=9，
∴ 32×m−1=9，即：m−1=6，
m1=7，m2=−5，
∴这样的P点坐标为(7,37)或(−5,−35)．
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，利用面积求符合条件的点的坐标．
【变式9-2】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，点A在反比例函数y=6x的图象上，点B在反比例函数y=kx的图象上，连接AB，且AB∥x．点P(23,0)是x轴上一点，连接PA，PB，若PA=PB，S△PAB=4，则PB与y轴交点C的坐标为 ．

【答案】0,32
【分析】
本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键．
设点A的坐标为t,6t，由AB∥x轴，得点Bkt6，6t，根据S△PAB=4，得12×6t−kt6×6t=4，由此解出k=−2，进而表示点B的坐标，再根据PA=PB得t−232+6t2=−t3−232+6t2由此解出t=2，进而得点−2，3，然后利用待定系数法求出直线PB的表达式，据此可得点C的坐标，
【详解】∵点A在反比例函数y=6x的图象上，
∴设点A的坐标为t,6t，
∵ AB∥x轴，
∴点B的纵坐标为6t，
∵点B在反比例函数y=kx的图象上，
∴ 6t=kt，
解得：x=kt6，
∴点B的坐标为kt6，6t，
∴AB=t−kt6=6t−kt6，
∵ S△PAB=4，
∴ 12×6t−kt6×6t=4，
解得：k=−2，
∴点B的坐标为−t3，6t，
∵点P(23,0)，
∴PA2=t−232+6t2，
PB2=−t3−232+6t2，
∵ PA=PB，
∴t−232+6t2=−t3−232+6t2，
整理得：t−232=t3+232，
∴t−23=±t3+23，
由−23=t3+23，解得t=2，
由−23=t3+23，解得t=0，不合题意，舍去
当t=2时，点A的坐标为2,3，点B的坐标为−2，3，
设直线PB的解析式为y=ax+b，
将B−23,0，P23,0代入得，
23a+b=0−23a+b=3，
解得：a=−94b=32，
∴直线PB的表达式为：y=−94+32，
当x=0时，y=32
∴点C的坐标为0,32
故答案为：0,32
【变式9-3】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D2,1在对角线OB上，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是6，则点B的坐标为（ ）
A．4,83B．4,2C．5,2.5D．245,125
【答案】B
【分析】利用点D坐标求出反比例函数和正比例函数解析式，再设出点C坐标，利用平行四边形的性质和正比例函数解析式表示出点B的坐标，从而可得BC，再用BC与点C的纵坐标表示出平行四边形的面积，求解即可．
【详解】解：∵点D（2，1）在反比例函数y=kxk>0,x>0上，
∴k=2×1=2，
∴反比例函数解析式为：y=2x，
设直线OB的函数解析式为y=mx，
∵点D（2，1）在对角线OB上，
∴2m=1，即m=12，
∴OB的解析式为：y=12x,
∵点C在反比例函数图象上，
∴设点C坐标为（a，2a），
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC∥OA，
∴点B的纵坐标为2a，
将y=2a代入y=12x，
解得：x=4a，
∴点B坐标为（4a，2a），
∴BC=4a−a，
∵平行四边形OABC的面积是6，
∴（4a−a）×2a=6，
解得：a=1或a=-1（舍去），
∴4a=4，2a=2，
∴点B坐标为：4,2，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数图象与性质，平行四边形的性质，一次函数图象等知识点，解题的关键是利用反比例函数和一次函数将点C，点B的坐标统一表示出来．
【题型10 由直线分面积求参数的值】
【例10】（23-24九年级·浙江宁波·期中）如图，经过原点O的直线与反比例函数y=kx的图像交于A，B两点（点A在第一象限），点C，D在反比例函数y=k−16x的图像上，AC∥y轴，BD∥x轴，OD将四边形ABDC的面积分成7：5的两部分，则△OCD的面积为 ，k的值为 ．
【答案】 165 265
【分析】首先根据题意设出Aa,ka，B−a,−ka，Ca,k−16a，D−a+16ak,−ka，然后表示出AC=16a，BD=16ak，然后利用OD将四边形ABDC的面积分成7：5的两部分列方程求出S△OCD=165，延长BD，AC交于点E，根据S▭OFEG−S△OFD−S△OGC−S△CDE=S△ODC代入可求出k的值．
【详解】∵经过原点O的直线与反比例函数y=kx的图像交于A，B两点，
∴设Aa,ka，B−a,−ka，
∵点C，D在反比例函数y=k−16x的图像上，AC∥y轴，BD∥x轴，
∴Ca,k−16a，D−a+16ak,−ka，
∴AC=ka−k−16a=16a，BD=−a+16ak−−a=16ak，
∴S△AOC=12×AC×xA=12×16a×a=8，
∴S△BOD=12×BD×yB=12×16ak×ka=8，
∵OD将四边形ABDC的面积分成7：5的两部分，
∴S△AOC+S△OCDS△BOD=75，即8+S△OCD8=75，
∴解得S△OCD=165，
如图所示，延长BD，AC交于点E，
∴S▭OFEG−S△OFD−S△OGC−S△CDE=S△ODC，
∴a×−ka−12×−a×−ka−12×a×k−16a−12×2k−16a×2a=165，
∴解得k=265．
故答案为：165，265．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，三角形的面积，解题的关键在于添加常用辅助线，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
【变式10-1】（23-24九年级·江苏苏州·期中）如图，直线y=12x+m与反比例函数y=kxx>0交于点A2,4，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y=12x+m于点E．若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，则点C坐标为 ．
【答案】4,2
【分析】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质．先求得直线y=12x+3，反比例函数解析式y=8x，设Cn,8n，根据OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，得到CE=OB=3，据此列出关于n的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵反比例函数y=kxx>0经过点A2,4，直线y=12x+m经过点A2,4，
∴k=2×4=8，4=12×2+m，
∴m=3
∴y=12x+3，y=8x，
令x=0，则y=3，
即OB=3．
设Cn,8n，且n>0，
∴En,12n+3．
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴S△BOE=S△COE，
∴CE=OB=3，
∴12n+3−8n=3，
解得n=4或n=−4（不符合题意，舍去），
经检验n=4是原方程的解，
∴点C的坐标为4,2．
故答案为：4,2．
【变式10-2】（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，平面直角坐标系中有一个由12个边长为1的正方形所组成的图形，反比例函数y=kxk≠0,x>0的图象与图形外侧两个交点记为A点，B点，若线段AB把该图形分成面积为5:7的两部分，则k的值为 ．
【答案】3或92
【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，根据图形面积求比例系数，解一元一次方程等．根据题意可得线段AB把该图形分成面积为5和7的两部分，得出点A的纵坐标为1，点B的纵坐标为3，代入反比例解析式求出点A和点B的坐标，得出BC=k3−1，AD=k−1，CD=2，求出梯形ABCD的面积，再加上3个小正方形的面积，可得出线段AB的左侧部分图形的面积，据此列出关于k的方程，解方程即可．
【详解】解：如图：
∵线段AB把该图形分成面积为5:7的两部分，且图形的总面积是12，
∴线段AB把该图形分成面积为5和7的两部分，
根据题意可得点A的纵坐标为1，点B的纵坐标为3，
∵反比例函数y=kxk≠0,x>0的图象与图形外侧两个交点记为A点，B点，
故Ak,1，Bk3,3，
则BC=k3−1，AD=k−1，CD=2，
故梯形ABCD的面积为：12×k3−1+k−1×2=43k−2，
即43k−2+3=5或43k−2+3=7，
解得：k=3或k=92．
故答案为：3或92．
【变式10-3】（2024·山东聊城·中考真题）如图，直线y=px+3p≠0与反比例函数y=kxk>0在第一象限内的图象交于点A2,q，与y轴交于点B，过双曲线上的一点C作x轴的垂线，垂足为点D，交直线y=px+3于点E，且S△AOB:S△COD=3:4．

(1)求k，p的值；
(2)若OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，求点C的坐标．
【答案】(1)k=8，p=12
(2)点C的坐标为(4，2)
【分析】（1）先求出点B的坐标，得到OB=3，结合点A的横坐标为2，求出△AOB的面积，再利用S△AOB:S△COD=3:4求出S△COD=4，设Cm,km，代入面积中求出k，得到反比例函数解析式，再将点A横坐标代入出点A纵坐标，最后将点A坐标代入直线y=px+3p≠0即可求解；
（2）根据（1）中点C的坐标得到点E的坐标，结合OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，列出关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵直线y=px+3与y轴交点为B，
∴B0,3，
即OB=3．
∵点A的横坐标为2，
∴S△AOB=12×3×2=3．
∵S△AOB:S△COD=3:4，
∴S△COD=4，
设Cm,km，
∴12m⋅km=4，
解得k=8．
∵点A2,q在双曲线y=8x上，
∴q=4，
把点A2,4代入y=px+3，得p=12，
∴k=8，p=12；
（2）解：由（1）得Cm,km，
∴Em,12m+3．
∵OE将四边形BOCE分成两个面积相等的三角形，
∴S△BOE=S△COE，
∵S△BOE=32m，S△COE=m212m+3−4，
∴32m=m212m+3−4，
解得m=4或m=−4（不符合题意，舍去），
∴点C的坐标为（4，2）．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图形和性质，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数和反比例函数的图象和性质及待定系数法求函数解析式是解题的关键．x
0.5
1
1.5
2
3
4
6
12
y
12
6
4
3
2
1
0.5