初中数学沪科版（2024）九年级上册22.1 比例线段巩固练习

这是一份初中数学沪科版（2024）九年级上册22.1 比例线段巩固练习，共36页。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc7316" 【题型1 由成比例线段直接求值】 PAGEREF _Tc7316 \h 1
\l "_Tc13128" 【题型2 比例尺】 PAGEREF _Tc13128 \h 2
\l "_Tc28454" 【题型3 由比例的性质判断结论正误】 PAGEREF _Tc28454 \h 3
\l "_Tc13413" 【题型4 由比例的性质求参数的值】 PAGEREF _Tc13413 \h 4
\l "_Tc13504" 【题型5 由比例的性质求代数的值】 PAGEREF _Tc13504 \h 4
\l "_Tc3035" 【题型6 由比例的性质进行证明】 PAGEREF _Tc3035 \h 5
\l "_Tc25788" 【题型7 由比例的性质比较大小】 PAGEREF _Tc25788 \h 5
\l "_Tc19314" 【题型8 比例的应用】 PAGEREF _Tc19314 \h 6
\l "_Tc24436" 【题型9 由黄金分割求值】 PAGEREF _Tc24436 \h 7
\l "_Tc13938" 【题型10 黄金分割的应用】 PAGEREF _Tc13938 \h 8
知识点1：成比例线段
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 由成比例线段直接求值】
【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，6cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．1cm，2cm，3cm，4cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
【变式1-1】（23-24九年级·广东梅州·期中）根据4a=5b，可以组成的比例有（ ）
A．a:b=5:4 B．a:b=4:5C．a:4=b:5D．a:5=4:b
【变式1-2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期中）已知a:b=1:2，且a+2b=10．
(1)求a、b的值；
(2)若c是a、b的比例中项，，求c的值．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，试猜想线段AC，AB，CD，BC是否成比例．如果成比例，请写出这个比例式，并进行验证；如果不成比例，请说明理由.
【题型2 比例尺】
【例2】（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为2.2km，当地图上比例尺由1∶1000变为1∶500时，则地图上两个校区的路程增加了 cm．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）在某市建设规划图上，城区南北长为120cm，该市城区南北实际长为36km，则该规划图的比例尺是 ．
【变式2-2】（23-24九年级·上海奉贤·期中）如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3千米的两地在地图上的图距是（ ）
A．6厘米B．15厘米C．60厘米D．150厘米
【变式2-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）西安市大雁塔广场占地面积约为667000m2，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（ ）
A．一个篮球场的面积B．一张乒乓球台台面的面积
C．《华商报》的一个版面的面积D．《数学》课本封面的面积
知识点2：比例的性质
【题型3 由比例的性质判断结论正误】
【例3】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）若xy=34，则下列各式中不正确的是（ ）
A．x+yy=74B．x−yy=14C．4x=3yD．x+2yx=113
【变式3-1】（23-24九年级·河南平顶山·期中）下列结论中，错误的是（ ）
A．若a4=c5，则ac=45
B．若a−bb=16，则ab=76
C．若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23
D．若ab=34，则a＝3，b＝4
【变式3-2】（23-24九年级·山东泰安·期中）若ab=cd（a、b、c、d、m均为正数），则下列结论错误的是（ ）
A．ad=bcB．a2b2=c2d2
C．adb2=c2adD．a+mb+m=cd
【变式3-3】（2024·甘肃陇南·一模）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）
A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变
【题型4 由比例的性质求参数的值】
【例4】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知2ab+c=2ba+c=2ca+b=k，则k=（ ）
A．1B．±1C．1或−2D．2
【变式4-1】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知a，b，c满足a+43=b+32=c+84且a+b+c=12，试求a，b，c的值．
【变式4-2】（2024春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b4=c5．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=xb），求线段x的长．
【变式4-3】（23-24九年级·山东烟台·期中）如果ab=cd=ef=kb+d+f≠0，且a+c+e=3b+d+f，那么k的值是（ ）
A．2B．3C．13D．12
【题型5 由比例的性质求代数的值】
【例5】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）如果x+32=y−13=z−24，且x+y+z=18，则2x−y−z的值为 ．
【变式5-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）已知ab=cd=25b+2d≠0，则a+2cb+2d的值为 ．
【变式5-2】（23-24九年级·陕西西安·期中）已知5a=3b=2c．
(1)求a+bc的值；
(2)若a+b−2c=9，求2a−b+c的值．
【变式5-3】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知a、b、c满足a−12=b+13=c−24，试求a2+b2−c2的最大值 ．
【题型6 由比例的性质进行证明】
【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数．
(1)如果ab=3，求a+bb与a−ba+b的值；
(2)如果ab=cda≠b,c≠d，求证ab−a=cd−c；
(3)如果a+cb+d=ab，求证ab=cd．
【变式6-1】（2024九年级·全国·专题练习）已知ax=by=cz，且1x+1y+1z=1.求证：a3x2+b3y2+c3z2=a+b+c3.
【变式6-2】（23-24九年级·全国·单元测试）已知a:b=c:d，且b≠nd，求证：ab=a−ncb−nd．
【变式6-3】（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x，y，z满足y+zx=z+xy=x+yz=k，求2x−y−z的值”时，采用了引入参数法k，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出x，y，z之间的关系，从而解决问题.过程如下：
解；设y+zx=z+xy=x+yz=k，则有：
y+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，
将以上三个等式相加，得2x+k+z=kx+y+z.
∵ x，y，z都为正数，
∴ k=2，即y+zx=2，.
∴ 2x−y−z=0.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
（1）若正数x，y，z满足x2y+z=y2z+x=z2x+y=k，求k的值；
（2）已知a+ba−b=b+c2b−c=c+a3c−a，a，b，c互不相等，求证：8a+9b+5c=0.
【题型7 由比例的性质比较大小】
【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若x2=y7=z5，设A=yx+y+z，B=x+zy，C=x+y−zx，则A、B、C的大小顺序为（ ）
A．A>B>CB．ABD．ABP），若线段AB的长为10cm，则BP的长为 cm．（结果保留根号）
比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.

舞蹈社
溜冰社
魔术社
上学期
3
4
5
下学期
4
3
2
专题22.1 比例线段【十大题型】
【沪科版】
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc7316" 【题型1 由成比例线段直接求值】 PAGEREF _Tc7316 \h 1
\l "_Tc13128" 【题型2 比例尺】 PAGEREF _Tc13128 \h 3
\l "_Tc28454" 【题型3 由比例的性质判断结论正误】 PAGEREF _Tc28454 \h 5
\l "_Tc13413" 【题型4 由比例的性质求参数的值】 PAGEREF _Tc13413 \h 7
\l "_Tc13504" 【题型5 由比例的性质求代数的值】 PAGEREF _Tc13504 \h 10
\l "_Tc3035" 【题型6 由比例的性质进行证明】 PAGEREF _Tc3035 \h 12
\l "_Tc25788" 【题型7 由比例的性质比较大小】 PAGEREF _Tc25788 \h 15
\l "_Tc19314" 【题型8 比例的应用】 PAGEREF _Tc19314 \h 17
\l "_Tc24436" 【题型9 由黄金分割求值】 PAGEREF _Tc24436 \h 19
\l "_Tc13938" 【题型10 黄金分割的应用】 PAGEREF _Tc13938 \h 24
知识点1：成比例线段
1．比例的项：
在比例式（即）中，a，d称为比例外项，b，c称为比例内项．特别地，在比例式（即）中，b称为a，c的比例中项，满足．
2．成比例线段：
四条线段a，b，c，d中，如果a和b的比等于c和d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
【题型1 由成比例线段直接求值】
【例1】（23-24九年级·上海宝山·期中）下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．2cm，3cm，4cm，6cmB．2cm，3cm，4cm，5cm
C．1cm，2cm，3cm，4cmD．3cm，4cm，6cm，9cm
【答案】A
【分析】根据比例线段的概念逐项判断即可解答
【详解】解：A．∵2×6=3×4，∴四条线段成比例，符合题意；
B．∵2×5≠3×4，∴四条线段不成比例，不符合题意；
C．∵1×4≠2×3，∴四条线段不成比例，不符合题意；
D．∵3×9≠4×6，∴四条线段成比例，不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
【变式1-1】（23-24九年级·广东梅州·期中）根据4a=5b，可以组成的比例有（ ）
A．a:b=5:4 B．a:b=4:5C．a:4=b:5D．a:5=4:b
【答案】A
【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质，进行计算即可解答．
【详解】解：∵ 4a=5b，
∴ a:b=5:4，
故选：A．
【变式1-2】（23-24九年级·浙江嘉兴·期中）已知a:b=1:2，且a+2b=10．
(1)求a、b的值；
(2)若c是a、b的比例中项，，求c的值．
【答案】(1)a=2，b=4；
(2)c=±22．
【分析】本题考查了比例及比例中项，解题的关键是正确理解其概念．
（1）利用a:b=1:2，可设a=k，b=2k，则k+4k=10，然后解出k的值即可得到a、b的值；
（2）根据比例中项的定义得到c2=ab，即c2=8，然后根据平方根的定义求解；
【详解】（1）解：∵a:b=1:2，
∴设a=k，b=2k，
∵a+2b=10，
∴k+4k=10，
∴k=2，
∴a=2，b=4；
（2）∵c是a、b的比例中项，
∴c2=ab=8，
∴c=±22．
【变式1-3】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，试猜想线段AC，AB，CD，BC是否成比例．如果成比例，请写出这个比例式，并进行验证；如果不成比例，请说明理由.
【答案】线段AC，AB，CD，BC成比例，且ABAC=BCCD，理由见解析
【分析】根据直角三角形的面积公式，得12AB⋅CD=12AC⋅BC，整理变形即得答案.
【详解】解：线段AC，AB，CD，BC成比例，且ABAC=BCCD（或ABBC=ACCD）.
验证如下：
根据三角形的面积公式，得12AB⋅CD=12AC⋅BC，所以AB⋅CD=AC⋅BC，即ABAC=BCCD.
【点睛】本题以直角三角形为依托，主要考查成比例线段的性质，即若ab=cd，则ad=bc，反之也成立，即若ad=bc，则ab=cd.解题的关键是由直角三角形的面积得出AB⋅CD=AC⋅BC.
【题型2 比例尺】
【例2】（2024·江苏泰州·三模）为了将优质教育资源更好的惠及广大人民群众，某校设有凤凰路校区与春晖路校区，杨老师欲从凤凰路校区骑行去春晖路校区，用手机上的地图软件搜索时，显示两个校区间骑行的实际路程为2.2km，当地图上比例尺由1∶1000变为1∶500时，则地图上两个校区的路程增加了 cm．
【答案】220
【分析】本题考查了比例尺的运用，掌握比例尺的计算方法是解题的关键．
根据比例尺=图上距离实际距离进行计算即可求解，计算时注意单位的换算，单位要统一．
【详解】解：实际路程为2.2km=220000cm，
当比例尺为1:1000时，图示距离为2200001000=220cm，
当比例尺为1:500时，图上距离为220000500=440cm，
∴440−220=220cm，
故答案为：220 ．
【变式2-1】（23-24九年级·江苏无锡·期末）在某市建设规划图上，城区南北长为120cm，该市城区南北实际长为36km，则该规划图的比例尺是 ．
【答案】1:30000
【分析】本题主要考查了比例尺．根据比例尺=图上距离:实际距离，列比例式求得这两地的实际距离．
【详解】解：根据题意得：该规划图的比例尺是120cm:36km=120:3600000=1:30000．
故答案为：1:30000．
【变式2-2】（23-24九年级·上海奉贤·期中）如果一幅地图的比例尺为1:50000，那么实际距离是3千米的两地在地图上的图距是（ ）
A．6厘米B．15厘米C．60厘米D．150厘米
【答案】A
【分析】根据比例尺的定义：图上距离与实际距离的比直接计算即可得到答案；
【详解】解：∵比例尺为1:50000，实际距离是3千米，
∴图上距离=300000×(1:50000)=6cm，
故选：A．
【变式2-3】（23-24九年级·陕西西安·期末）西安市大雁塔广场占地面积约为667000m2，若按比例尺1∶2000缩小后，其面积大约相当于（ ）
A．一个篮球场的面积B．一张乒乓球台台面的面积
C．《华商报》的一个版面的面积D．《数学》课本封面的面积
【答案】C
【分析】利用相似多边形的面积比等于相似比的平方，列比例式进行求解，再根据现实生活中的物体的面积，即可得出答案．
【详解】设其缩小后的面积为xm2 ，
则x:667000=(1:2000) 2，
x=0.16675m2，
其面积相当于报纸的一个版面的面积.
故选C.
【点睛】此题考查相似多边形的性质，正确估计图形的面积，和生活中的物体联系起来是本题的关键.
知识点2：比例的性质
【题型3 由比例的性质判断结论正误】
【例3】（23-24九年级·江苏淮安·阶段练习）若xy=34，则下列各式中不正确的是（ ）
A．x+yy=74B．x−yy=14C．4x=3yD．x+2yx=113
【答案】B
【分析】设x=3k，y=4k．代入选项计算结果，即可得到答案．
【详解】解：设x=3k，y=4k，
A．x+yy=3k+4k4k=74，正确，故A选项不符合题意；
B．x−yy=3k−4k4k=−14，原式错误，故B选项符合题意；
C．4x=4⋅3k=12k=3⋅4k=3y，正确，故C选项不符合题意；
D．x+2yx=3k+2⋅4k3k=113，正确，故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查比例的基本性质，解题的关键是利用换元法进行约分消元求值．
【变式3-1】（23-24九年级·河南平顶山·期中）下列结论中，错误的是（ ）
A．若a4=c5，则ac=45
B．若a−bb=16，则ab=76
C．若ab=cd=23（b﹣d≠0），则a−cb−d=23
D．若ab=34，则a＝3，b＝4
【答案】D
【分析】根据比例性质，化为乘积变形可判断A正确，利用先化积，再化比例可判定B，利用换元计算可判断C，设比值，取k=1与k≠1，可判断D．
【详解】解：A、若a4=c5，则5a=4c，而ac=45，5a=4c正确，不合题意；
B、若a−bb=16，则6（a﹣b）＝b，故6a＝7b，则ab=76，正确，不合题意；
C、若ab=cd=23（b﹣d≠0）a=23b，c=23d，则a−cb−d=23b−23db−d=23b−db−d=23，正确，不合题意；
D、若ab=34，设a=3k，b=4k，当k=1时，有a＝3，b＝4，当k≠1， a，b的值不是3与4，故此选项错误，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查比例性质，等积化比例，比例化等积，合分比性质，掌握比例性质是解题关键．
【变式3-2】（23-24九年级·山东泰安·期中）若ab=cd（a、b、c、d、m均为正数），则下列结论错误的是（ ）
A．ad=bcB．a2b2=c2d2
C．adb2=c2adD．a+mb+m=cd
【答案】D
【分析】把各个选项依据比例的基本性质和合比性质，即可判断求解．
【详解】A、∵ab=cd，两边同乘以bd得：ad=bc，故A正确，不合题意；
B、∵ab=cd，两边平方得：a2b2=c2d2，故B正确，不合题意；
C、∵ab=cd，两边平方得：a2b2=c2d2，两边同乘以da得：adb2=c2ad，
故C正确，不合题意；
D根据ab=cd不能得出a+mb+m=cd，故D不正确，符合题意；
故答案为：D.
【点睛】本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，及比例的合比性质判断是否相同即可．
【变式3-3】（2024·甘肃陇南·一模）某校每位学生上、下学期各选择一个社团，下表为该校学生上、下学期各社团的人数比例．若该校上、下学期的学生人数不变，相较于上学期，下学期各社团的学生人数变化，下列叙述何者正确？（ ）
A．舞蹈社不变，溜冰社减少 B．舞蹈社不变，溜冰社不变
C．舞蹈社增加，溜冰社减少 D．舞蹈社增加，溜冰社不变
【答案】D
【分析】若甲：乙：丙=a：b：c，则甲占全部的aa+b+c，乙占全部的ba+b+c，丙占全部的ca+b+c．
【详解】由表得知上、下学期各社团人数占全部人数的比例如下：
∴舞蹈社增加，溜冰社不变．
故选D．
【点睛】本题考查了比例的性质．找出各社团人数占全部人数的比例是解题的关键．
【题型4 由比例的性质求参数的值】
【例4】（23-24九年级·河南郑州·期末）已知2ab+c=2ba+c=2ca+b=k，则k=（ ）
A．1B．±1C．1或−2D．2
【答案】C
【分析】本题考查了比例的性质，熟悉等比性质是解题的关键．分两种情况进行讨论：①当a+b+c≠0时，根据等比性质计算得出结果；②当a+b+c=0时，则a+b=−c，代入k=2ca+b计算得出结果．
【详解】解：分两种情况：
①当a+b+c≠0时，得k=2a+2b+2cb+c+a+c+a+b=1；
②当a+b+c=0时，
则a+b=−c，k=2ca+b=−2；
综上所述，k的值为1或−2．
故选：C．
【变式4-1】（23-24九年级·安徽亳州·阶段练习）已知a，b，c满足a+43=b+32=c+84且a+b+c=12，试求a，b，c的值．
【答案】a=5，b=3，c=4
【分析】本题主要考查了比例的性质，设a+43=b+32=c+84=k，得出a=3k−4，b=2k−3，c=4k−8，根据a+b+c=9k−15=12，求出k=3，即可得到答案，利用比例的性质设未知数是解题关键．
【详解】解：设a+43=b+32=c+84=k，
则a=3k−4，b=2k−3，c=4k−8，
∴a+b+c=9k−15=12，
解得：k=3，
∴a=5，b=3，c=4．
【变式4-2】（2024春·安徽蚌埠·九年级校考期末）已知a，b，c为△ABC的三边长，且a+b+c=36，a3=b4=c5．
(1)求线段a，b，c的长；
(2)若线段x是线段a，b的比例中顶（即ax=xb），求线段x的长．
【答案】(1)a=9，b=12，c=15
(2)x=63
【分析】（1）设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，再结合题意可列出关于k的等式，解出k的值，即可求出线段a，b，c的长；
（2）由题意可直接得出9x=x12，解出x的值（舍去负值）即可．
【详解】（1）由题意可设a3=b4=c5=k，则a=3k，b=4k，c=5k，
∵a+b+c=36，
∴3k+4k+5k=36，
解得：k=3，
∴a=9，b=12，c=15；
（2）∵ax=xb，
∴9x=x12，
整理，得：x2=108，
解得：x=63（舍去负值）．
【点睛】本题考查比例的性质，比例中项的概念．利用“设k法”是解题关键．
【变式4-3】（23-24九年级·山东烟台·期中）如果ab=cd=ef=kb+d+f≠0，且a+c+e=3b+d+f，那么k的值是（ ）
A．2B．3C．13D．12
【答案】B
【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键．根据比例的性质求得a=bk,c=dk,e=fk，代入a+c+e=3b+d+f，即可求解．
【详解】解：∵ ab=cd=ef=k，
∴a=bk,c=dk,e=fk，
∵ a+c+e=3b+d+f．
∴bk+dk+fk=3b+d+f，
∴k=3，
故选：B．选D．
【题型5 由比例的性质求代数的值】
【例5】（23-24九年级·四川眉山·阶段练习）如果x+32=y−13=z−24，且x+y+z=18，则2x−y−z的值为 ．
【答案】−15
【分析】此题考查了比例的性质，设x+32=y−13=z−24=k，得出x=2k−3，y=3k+1，z=4k+2，再根据x+y+z=18，求出k的值，从而得出x，y，z的值，最后代入要求的式子进行计算即可得出答案．
【详解】解：设x+32=y−13=z−24=k，
则x=2k−3，y=3k+1，z=4k+2，
∵x+y+z=18，
∴2k−3+3k+1+4k+2=18，
∴k=2，
∴x=1，y=7，z=10，
∴2x−y−z=2−7−10=−15；
故答案为−15．
【变式5-1】（23-24九年级·山东青岛·期末）已知ab=cd=25b+2d≠0，则a+2cb+2d的值为 ．
【答案】25/0.4
【分析】先求出2c2d=25=ab，再根据比例的性质即可得．
【详解】解：∵ab=cd=25b+2d≠0，
∴2c2d=25=ab，
∴a+2cb+2d=25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．
【变式5-2】（23-24九年级·陕西西安·期中）已知5a=3b=2c．
(1)求a+bc的值；
(2)若a+b−2c=9，求2a−b+c的值．
【答案】(1)4
(2)814
【分析】本题主要考查了比例的性质，通过5a=3b=2c，设出a=5k，b=3k，c=2kk≠0是解题的关键．
（1）设a=5k，b=3k，c=2kk≠0，则a+bc=5k+3k2k，据此可得答案；
（2）设a=5k，b=3k，c=2kk≠0，由a+b−2c=9得到5k+3k−4k=9，解方程求出k=94，则2a−b+c=10k−3k+2k=9k=814．
【详解】（1）解：∵5a=3b=2c，
∴可设a=5k，b=3k，c=2kk≠0
∴a+bc=5k+3k2k=4；
（2）∵5a=3b=2c，
∴可设a=5k，b=3k，c=2kk≠0，
∵a+b−2c=9
∴5k+3k−4k=9．
∴k=94，
∴2a−b+c=10k−3k+2k=9k=814．
【变式5-3】（23-24九年级·四川乐山·期末）已知a、b、c满足a−12=b+13=c−24，试求a2+b2−c2的最大值 ．
【答案】25
【分析】设a−12=b+13=c−24=k，得到关于k的等式，利用配方法和非负数的性质即可求解．
【详解】解：设a−12=b+13=c−24=k，
∴a-1=2k，b+1=3k，c-2=4k，即a=2k+1，b=3k-1，c=4k+2，
∴a2+b2−c2= (2k+1)2+(3k-1)2−(4k+2)2
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-(16k2+16k+4)
=4k2+4k+1+9k2-6k+1-16k2-16k-4
=-3k2-18k-2
=-3(k2+6k+9-9)-2
=-3(k+3) 2+25
∵(k+3) 2≥0，则-3(k+3) 2≤0，
∴a2+b2−c2的最大值为25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了比例的性质，完全平方公式，掌握配方法和非负数的性质是解题的关键．
【题型6 由比例的性质进行证明】
【例6】（23-24九年级·山东淄博·期末）已知a，b，c，d为四个不为0的数．
(1)如果ab=3，求a+bb与a−ba+b的值；
(2)如果ab=cda≠b,c≠d，求证ab−a=cd−c；
(3)如果a+cb+d=ab，求证ab=cd．
【答案】(1)a+bb=4，a−ba+b=12
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题主要考查了分式的求值，比例的性质：
（1）先根据已知条件得到a+bb=ab+1=4，a=3b，再把a=3b代入a−ba+b中进行求解即可；
（2）设ab=cd=k，则a=kb，c=kd，再分别计算出ab−a和cd−c的值即可证明结论；
（3）求出bc=ad，进而可得ab=cd。
【详解】（1）解：∵ab=3，
∴a+bb=ab+1=4，a=3b，
∴a−ba+b=3b−b3b+b=12；
（2）证明：设ab=cd=k，则a=kb，c=kd，
∴ab−a=kbb−kb=k1−k，cd−c=kdd−kd=k1−k，
∴ab−a=cd−c；
（3）证明：∵a+cb+d=ab，
∴ab+bc=ab+ad，
∴bc=ad，
∴ab=cd．
【变式6-1】（2024九年级·全国·专题练习）已知ax=by=cz，且1x+1y+1z=1.求证：a3x2+b3y2+c3z2=a+b+c3.
【答案】见解析
【分析】根据已知设ax=by=cz=k，分别用k表示a、b、c，相加得出k的值，代入方程组即可得出
【详解】设ax=by=cz=k，从而a=kx，b=ky，c=kz，
于是a+b+c=k（1x+1y+1z），
又因为1x+1y+1z=1，所以a+b+c=k；
a3x2+b3y2+c3z2=k2a+b+c=a+b+c3.
【点睛】本题考查了分式的运算和比例的性质，整体代入的思想即将一个表达式来表示另外一个，求出k的值是解题的关键
【变式6-2】（23-24九年级·全国·单元测试）已知a:b=c:d，且b≠nd，求证：ab=a−ncb−nd．
【答案】见解析
【分析】由a:b=c:d得到ad=bc，则利用等式的基本性质得到adn=bcn，ab−adn=ab−bcn，则ab−nd=ba−nc，利用比例的基本性质即可得到结论．
【详解】解：∵a:b=c:d，
∴ad=bc，
∴adn=bcn，
∴ab−adn=ab−bcn，
∴ab−nd=ba−nc，
∴ab=a−ncb−nd
【点睛】此题考查了比例的基本性质，等式的基本性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
【变式6-3】（23-24九年级·重庆大渡口·期末）材料：思考的同学小斌在解决连比等式问题：“已知正数x，y，z满足y+zx=z+xy=x+yz=k，求2x−y−z的值”时，采用了引入参数法k，将连比等式转化为了三个等式，再利用等式的基本性质求出参数的值.进而得出x，y，z之间的关系，从而解决问题.过程如下：
解；设y+zx=z+xy=x+yz=k，则有：
y+z=kx，z+x=ky，x+y=kz，
将以上三个等式相加，得2x+k+z=kx+y+z.
∵ x，y，z都为正数，
∴ k=2，即y+zx=2，.
∴ 2x−y−z=0.
仔细阅读上述材料，解决下面的问题：
（1）若正数x，y，z满足x2y+z=y2z+x=z2x+y=k，求k的值；
（2）已知a+ba−b=b+c2b−c=c+a3c−a，a，b，c互不相等，求证：8a+9b+5c=0.
【答案】（1）k=13；（2）见解析．
【分析】（1）根据题目中的例子可以解答本题；
（2）将题目中的式子巧妙变形，然后化简即可证明结论成立．
【详解】解：（1）∵正数x、y、z满足x2y+z=y2z+x=z2x+y=k，
∴x=k（2y+z），y=k（2z+x），z=k（2x+y），
∴x+y+z=3k（x+y+z），
∵x、y、z均为正数，
∴k=13；
（2）证明：设a+ba−b=b+c2(b−c)=c+a3(c−a)=k，
则a+b=k（a-b），b+c=2k（b-c），c+a=3k（c-a），
∴6（a+b）=6k（a-b），3（b+c）=6k（b-c），2（c+a）=6k（c-a），
∴6（a+b）+3（b+c）+2（c+a）=0，
∴8a+9b+5c=0．
故答案为（1）k=13；（2）见解析．
【点睛】本题考查比例的性质、等式的基本性质，正确理解给出的解题过程是解题的关键．
【题型7 由比例的性质比较大小】
【例7】（23-24九年级·河北保定·期末）若x2=y7=z5，设A=yx+y+z，B=x+zy，C=x+y−zx，则A、B、C的大小顺序为（ ）
A．A>B>CB．ABD．Ax
【详解】设a2 =b7 =c5 =k（k≠0），
∴a=2k，b=7k，c=5k，
∴x=ba+b+c=7k14k=12 ，
y=a+cb =7k7k =1，
z=a+b−ca =4k2k=2，
∴z>y>x.
【变式7-3】（23-24九年级·广东珠海·期末）已知a，b，c，d都是互不相等的正数.
（1）若ab=2，cd=2，则ba dc，ac bd（用“＞”，“＜”或“=”填空）；
（2）若ab=cd,请判断ba+b和dc+d的大小关系，并证明；
（3）令ac=bd=t,若分式2a+ca−c−3b+db−d+2的值为3，求t的值.
【答案】（1）=；=；（2）ba+b=dc+d，理由见解析；（3）12
【分析】（1）由ab=2，cd=2，得到a=2b，c=2d，代入化简即可得到结论；
（2）设ab=t，则cd=t，得到a=bt，c=dt，代入化简即可得到结论；
（3）由已知得到：a=ct，b=dt.代入分式，化简后解方程即可得出结论.
【详解】（1）∵ab=2，cd=2，
∴a=2b，c=2d，
∴ba=dc=12，bd=2a2c=ac.
故答案为：=；
（2）ba+b=dc+d.理由如下：
设ab=t，则cd=t，
∴a=bt，c=dt，
∴ba+b=bbt+b=1t+1，
dc+d=ddt+d=1t+1，
∴ba+b=dc+d；
（3）∵ac=bd=t，
∴a=ct，b=dt.
∵2a+ca−c−3b+db−d+2=3，
∴2t+1t−1−3t+1t−1=1.
解得：t=12.
经检验：t=12是原方程的解.
【点睛】本题考查了比例的性质以及解分式方程.设参法是解答本题的关键.
【题型8 比例的应用】
【例8】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，以O为支点，木棍OA所受的重力为G．根据杠杆原理，在A处需一竖直向上的拉力F才能保持木棍不动，若向上的拉力F与重力G大小之比为3:7，OD=6cm，则CD的长为 ．

【答案】8cm
【分析】根据杠杆平衡原理可得G×OD=F×OC，则ODOC=FG=37，求得OC，即可得到CD的长．
【详解】解：∵BD⊥OC，AC⊥OC，
根据杠杆平衡原理，可得G×OD=F×OC，
∴ODOC=FG=37，
解得OC=73OD=73×6=14 cm，
∴CD=OC−OD=8cm，
故答案为：8cm
【点睛】本题考查了比例的基本性质、杠杆平衡原理，正确列式和计算是解题的关键．
【变式8-1】（2024春·四川成都·九年级校考期中）在同一时刻物高与影长成比例，小华量得综合楼的影长为6米，同一时刻她量得身高1.6米的同学的影长为0.6米，则可知综合楼高为_______．
【答案】16米
【解析】【分析】
本题考查的是比例线段的应用有关知识，本根据同一时刻物高与影长成比例可得，同学身高∶同学影长=综合楼高∶综合楼影长．
【解答】
解：设综合楼高为x米，
即
解得x=16．
答：综合楼高为16米．
【变式8-2】（2024春·广东茂名·九年级统考期中）装修一间客厅，用边长5分米的方砖铺地，需要80块，如果改用边长4分米的方砖铺地，需要多少块？
【答案】解：设改用边长4分米的方砖，需要x块，
4×4×x=5×5×80
16x=2000
x=125．
答：改用边长4分米的方砖，需要125块．
【解析】此时考查比例性质，此题的关键是明白房子的地面面积一定，方砖的面积与方砖的块数成反比．房子的地面面积一定，方砖的面积与方砖的块数成反比，据此可列比例解答即可．
【变式8-3】（2024春·四川成都·九年级成都七中校考期中）国家会展中心(上海)坐落于虹桥商务区核心区西部，与虹桥机场的直线距离仅有2.5公里，总建筑面积147万平方米，地上建筑面积127万平方米，是目前世界上面积第二大的建筑单体和会展综合体.小明在地图上量得国家会展中心(上海)距离虹桥机场的直线距离为0.5厘米，而量得国家会展中心(上海)与浦东机场的直线距离为9.7厘米，那么国家会展中心(上海)与浦东机场的实际直线距离有多少公里？(运用比例解答
【答案】解：设国家会展中心(上海)与浦东机场的实际直线距离有x公里，依题意有：
2.5：0.5=x：9.7，
解得x=48.5．
答：国家会展中心(上海)与浦东机场的实际直线距离有48.5公里．
【解析】根据比例尺=图上距离：实际距离，列出比例式，求解即可得出国家会展中心(上海)与浦东机场的实际直线距离有多少公里．
此题主要考查了比例线段，掌握比例尺=图上距离实际距离是本题的关键，注意单位的统一．
知识点3：黄金分割
若线段AB上一点C，把线段AB分成两条线段AC和BC（），且使AC是AB和BC的比例中项（即），则称线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，其中，，AC与AB的比叫做黄金比．（注意：对于线段AB而言，黄金分割点有两个．）
【题型9 由黄金分割求值】
【例9】（2024·内蒙古包头·三模）正五角星是一个非常优美的几何图形，在如图所示的正五角星中，以A、B、C、D、E为顶点的多边形为正五边形，其余各点都是对角线的交点，下列4个结论：①∠A=36°，②PB=5−12PE，③PA=3−52AD，④PT=3−52PA．
请填写你认为正确的结论序号： ．
【答案】①②③
【分析】先讨论顶角为36°和108°的等腰三角形中的黄金分割关系，再在题中的所给图形中分析出顶角为36°和108°的等腰三角形，逐个判断即可．本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形的相关性质及黄金分割的比例关系，并能准确的计算是本题的解题关键．
【详解】解：如图1，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=36°，∠C=∠BDC=72°，
∴△ABC和△BCD为相似的等腰三角形，
设AC=1，AD=BD=BC=x，
∴CD=1−x，
由相似得：1−xx=x1，
∴x=5−12（负值舍去），
∴点D是线段AC的黄金分割点，
即：CDAD=ADAC=5−12，CDAD=3−52，
∵BC=AD，
∴ BCAC=5−12；
如图2，△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC，∠BAC=36°，
∴∠B=∠C=36°，∠CAD=∠CDA=72°，
∴△ABD和△ABC为相似的等腰三角形，
设BC=1，CD=AC=AB=x，则BD=AD=1−x，
由相似得：1−xx=x1，
∴x=5−12（负值舍去），
∴点D是线段BC的黄金分割点，
即：BDCD=CDBC=5−12，BDBC=3−52，
∵CD=AB，
∴ ABBC=5−12；
如图，连接AB、BC、CD、DE、AE，
∴五边形ABCDE为正五边形，∠ABC=∠BAE=∠AED=108°，
∵AB=BC=AE=DE，
∴∠BAC=∠EAD=36°，
∴∠CAD=36°，故①正确；
易证：∠ABP=∠BAP=36°，∠EAP=∠EPA=72°，
∴△ABP和△ABE为相似的等腰三角形，
由图2得：PBPE=5−12，
∴PB=5−12PE，故②正确；
由题得△AET和△AED为相似的等腰三角形，
由图2得：ATAD=3−52，
∴AT=3−52AD，
∵PA=AT，
∴AP=3−52AD，故③正确；
在△APT中，∠PAT=36°，AT=AT，
由图1得：PTPA=5−12，
即：PT=5−12PA，故④错误，
故答案为：①②③．
【变式9-1】（23-24九年级·河北保定·期末）如图，已知点C，D都是线段AB的黄金分割点，如果CD=4，那么AB的长度是（ ）
A．25−2B．6−25C．8+45D．2+5
【答案】C
【分析】本题主要考查了黄金分割，不妨设点C靠近A，点D靠近B，则由黄金分割比例得到AD=5−12AB，BC=5−12AB，再由CD=4，AD+BC−CD=AB列出方程求解即可．
【详解】解：∵点C，D都是线段AB的黄金分割点，
∴不妨设点C靠近A，点D靠近B，
∴AD=5−12AB，BC=5−12AB，
∵CD=4，AD+BC−CD=AB，
∴5−12AB+5−12AB−4=AB，
解得AB=8+45，
故选：C．
【变式9-2】（23-24九年级·山东青岛·期末）射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形ABCD的边BC取中点O，以O为圆心，线段OD为半径作圆，其与边BC的延长线交于点E，这样就把正方形ABCD延伸为黄金矩形ABEF，若CE=4，则AB= ．
【答案】2+25/25+2
【分析】
本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设AB=x，根据正方形的性质可得AB=BC=x，则BE=x+4，然后根据黄金矩形的定义可得ABBE=5−12，从而可得xx+4=5−12，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
【详解】解：设AB=x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=x，
∵CE=4，
∴BE=BC+CE=x+4，
∵四边形ABEF是黄金矩形，
∴ABBE=5−12，
∴xx+4=5−12，
解得：x=25+2，
经检验：x=25+2是原方程的解，
∴AB=25+2，
故答案为：25+2．
【变式9-3】（23-24九年级·河南许昌·期末）如图，已知线段AB=2，经过点B作BD⊥AB，使BD=12AB，连接AD，在AD上截取DE=BD；在AB上截取AC=AE，则AC:AB= ．
【答案】5−12
【分析】先求得BD=1，再根据所给作图步骤，分别求出出AC和AB即可解决问题．本题主要考查了黄金分割，能根据题中所给作图步骤，理清各线段之间的关系是解题的关键．
【详解】解：∵BD=12AB，AB=2，
∴BD=1，
在Rt△ABD中，
AD=12+22=5．
因为DE=DB=1，
所以AE=AD−DE=5−1，
所以AC=AE=5−1，
所以AC:AB=5−12．
故答案为：5−12
【题型10 黄金分割的应用】
【例10】（2024九年级·黑龙江大庆·学业考试）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5−12（5−12≈0.618，称为黄金分割比例），如图，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5−12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是（ ）
A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm
【答案】B
【分析】设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，由腿长为105cm，可得m−105105>5−12≈0.618，解得m>169.890，根据26+nm−(n+26)=5−12≈0.618得到m5−12≈0.618，解得m>169.890.
由头顶至脖子下端的长度为26cm，
可得26n>5−12≈0.618，
解得n10,故舍去；
∴BP=15−55,
故答案为：15−55

【点睛】本题考查黄金分割的定义，一元二次方程的求解；掌握黄金分割的定义是解题的关键．比例的性质
示例剖析
（1）基本性质：
（2）反比性质：
（3）更比性质：或
或
（4）合比性质：
（5）分比性质：
（6）合分比性质：
（7）等比性质：
已知，则当时，.

舞蹈社
溜冰社
魔术社
上学期
3
4
5
下学期
4
3
2