沪科版2024-2025学年九年级数学上册精品题型特训专题22.8相似形单元提升卷(学生版+解析)

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第22章 相似形单元提升卷【沪科版】考试时间：60分钟；满分：100分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（23-24九年级·湖南衡阳·期末）已知四条线段a，b，c，d满足ab=cd，则下列等式一定成立的是（　　）A．ad=cb B．a+cb+d=ab C．a2b=c2b D．2a+c2d+b=ad2．（3分）（23-24九年级·湖南娄底·期末）如图，在△ABC中， D是AB边上一点， 添加下列条件， 不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACBC．ADAC=ACAB D．ADAC=CDBC3．（3分）（23-24·安徽阜阳·二模）如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，则CE的长是（   ）A．76565 B．72 C．146565 D．2865654．（3分）（23-24·湖南长沙·二模）如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王刚身高（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王刚（    ）m处才能观测到大树的顶端．  A．1 B．2 C．3 D．45．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是3和4，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（    ）A．4 B．3 C．2.5 D．2.46．（3分）（23-24·陕西渭南·二模）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A'的坐标分别为(−1,0)、(−2.0)，△ABC的面积是6，则△A'B'C'的面积为（    ）  A．18 B．12 C．24 D．97．（3分）（23-24·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（  ）A．2 B．4 C．6 D．88．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．对于三人的观点，下列说法正确的是（    ）  A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对9．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图，△ABC≌△DEF，AB=AC=5，BC=EF=6，点E在BC边上运动（不与端点重合），边DE始终过点A，EF交AC于点G，当△AEG是等腰三角形时，△AEG的面积是（   ）．A．8或 625108 B．8 C．625108 D．6或 62510710．（3分）（23-24·上海·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90∘，AD=1，BC=2，对角线AC、BD交于点E．当边AB的长度发生变化时，下列说法中正确的是（   ）A．点E到边AB的距离不变 B．点E到边BC的距离不变C．点E到边CD的距离不变 D．点E到边DA的距离不变二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（23-24·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段AD，BE的黄金分割点，也是线段NE，AH的黄金分割点，则MNAM= ．12．（3分）（23-24·山东菏泽·一模）如图，等边△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，线段AB被截成三等份．若△ABC的面积为12cm2，图中阴影部分的面积为 cm2．13．（3分）（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形ABCD内的一点，且PB=8，BF⊥BP，若在射线BF上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么BM= ．14．（3分）（23-24·安徽合肥·模拟预测）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，将▱ABCD绕点C旋转至▱EOCF的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：  （1）已知∠COB=α，则∠FCD= （用含α的代数式表示）；（2）若BO=2，则BC的长为 ．15．（3分）（23-24·四川成都·一模）如图，已知△ABC为等腰三角形，且AB=AC，延长AB至D，使得AB：BD=m：n，连接CD，E是BC边上的中点，连接AE，并延长AE交CD与点F，连接FB，则BF：FD= ．  16．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，在小正方形边长均为1的4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形．如果△DEF，△GHI是该网格中与△ABC相似的格点三角形，且△DEF的面积S1最大；△GHI的面积S2最小，那么S1S2的值等于 ．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（23-24·广东东莞·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：(1)AF=CG；(2)CF=2DE．18．（6分）（23-24九年级·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足a:b:c=1:3:5，且a−b+c=6．(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．19．（8分）（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，求MNCM的值．20．（8分）（23-24九年级·江苏·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD，交AB于点E，(1)求证：△ADE∽△ABD；(2)若AB=10，BE=3AE，求线段AD长．21．（8分）（23-24·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图．(1)在图①中，在边AB上找一点D，使BD=BC．(2)在图②中，在边AC上找一点E，在BC上找一点F，使EF∥AB，且AB=3EF．(3)在图③中，在△ABC内找一点M，分别连结AM，CM，使△ABM、△ACM、△BCM的面积相等．22．（8分）（23-24九年级·河南郑州·期中）如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE．(1)当动点运动时间t= 秒时，△BDE与△ABC相似．(2)在运动过程中，当CD⊥DE时，t为何值？请说明理由．23．（8分）（23-24·陕西榆林·二模）问题探究：(1)如图1，AB∥CD，AC与BD交于点E，若△ABE的面积为16，AE＝2CE，则△CDE的面积为 　 　(2)如图2，在矩形ABCD中，连接AC，BE⊥AC于点E，已知BE＝3，求矩形ABCD面积的最小值；问题解决：某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AB＝3003米，∠A＝60°，广场入口P在AB上，且BP＝2AP．根据规划，过点P铺设两条夹角为120°的笔直小路PM、PN（即∠MPN＝120°），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点）△PAM区域拟建为健身广场，△PBN区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪．已知建健身广场每平方米需0.8万元，建儿童乐园每平方米需0.2万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号）第22章 相似形单元提升卷【沪科版】参考答案与试题解析选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（23-24九年级·湖南衡阳·期末）已知四条线段a，b，c，d满足ab=cd，则下列等式一定成立的是（　　）A．ad=cb B．a+cb+d=ab C．a2b=c2b D．2a+c2d+b=ad【答案】B【分析】根据比例的性质得到ad＝bc，可判断A，根据分式的性质可判断C，根据分式的和比性质可判断B，D．【详解】解：A、由已知ab=cd得ad＝bc，故选项不符合题意；B、根据分式的合比性质，等式一定成立，故选项符合题意；C、根据分式的性质可知该等式不成立，故选项不符合题意；D、根据分式的合比性质，等式不一定成立，故选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查了比例线段，比例的性质，熟练掌握比例线段的定义是解题的关键．2．（3分）（23-24九年级·湖南娄底·期末）如图，在△ABC中， D是AB边上一点， 添加下列条件， 不能判定△ACD∽△ABC的是（ ）A．∠ACD=∠B B．∠ADC=∠ACBC．ADAC=ACAB D．ADAC=CDBC【答案】D【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可求解，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【详解】解：A、根据题意可知，∠CAD=∠BAC，∠ACD＝∠B，由两角对应相等两三角形相似可得△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；B、根据题意可知，∠CAD=∠BAC，∠ADC=∠ACB，由两角对应相等两三角形相似可得△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；C、根据题意可知，∠CAD=∠BAC，ADAC=ACAB，根据两边成比例夹角相等两三角形相似可得△ACD∽△ABC，故本选项不符合题意；D、由条件无法判断∠ADC=∠ACB，故不能判定△ACD∽△ABC，该选项符合题意；故选：D．3．（3分）（23-24·安徽阜阳·二模）如图，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，则CE的长是（   ）A．76565 B．72 C．146565 D．286565【答案】D【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，知识的综合运用是解题的关键．先运用勾股定理计算出DB的长度，由AB∥DC，易证△DAB∽△CED，最后列出比例式求解即可．【详解】由勾股定理得DB=AD2+AB2=722+22=652，∵ AB∥DC，CE⊥DB，∠A=90°∴ ∠ABD=∠CDE，∠CED=90°=∠A，∴ △DAB∽△CED，∴ CEAD=CDDB，∴ CE72=4652，解得CE=286565，故选：D．4．（3分）（23-24·湖南长沙·二模）如图，课后服务课上，刘老师让王刚同学站在B点处去观测8m外的位于D点处的一棵大树（CD），所用工具为一个平面镜P和必要的长度测量工具（B、P、D在一直线上）．已知王刚身高（AB）1.6m，大树高4.8m，将平面镜P放置在离王刚（    ）m处才能观测到大树的顶端．  A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本题考查相似三角形的应用，证明△ABP∽△CDP，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：由题意得：∠APB=∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，BD=8，AB=1.6，CD=4.8，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴BPDP=ABCD，∴BP8−BP=1.64.8，解得：BP=2，经检验，BP=2是原方程的解且符合题意，∴将平面镜P放置在离王刚2m处才能观测到大树的顶端．故选：B．5．（3分）（23-24九年级·四川宜宾·期末）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是3和4，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（    ）A．4 B．3 C．2.5 D．2.4【答案】D【分析】此题主要考查了矩形的性质与相似三角形的综合运用，利用三角形的相似求线段长度是初中阶段重点知识，熟练掌握是解此题的关键．过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，由矩形的性质可证△PEA∼△CDA和△PFD∼△BAD，根据PECD=PACA和PFAB=PDBD，即PE3=PA5和PF3=PD5，两式相加得PE+PF=125，即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．【详解】解：过P点作PE⊥AC，PF⊥BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥CD，∴△PEA∼△CDA，∴PECD=PACA，∵AC=BD=32+42=5，∴PE3=PA5，同理：△PFD∼△BAD，∴PFAB=PDBD，∴PF3=PD5，∴PE+PF3=PA+PD5=AD5=45，∴PE+PF=125，即为点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是：125．故选：D．6．（3分）（23-24·陕西渭南·二模）如图，△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，若点A、A'的坐标分别为(−1,0)、(−2.0)，△ABC的面积是6，则△A'B'C'的面积为（    ）  A．18 B．12 C．24 D．9【答案】C【分析】本题考查了位似变换的性质，坐标与图形的性质，由题意可知，△ABC与△A'B'C'是位似比为1：2的位似图形，则根据面积比等于位似比的平方即可求解．【详解】解：∵△ABC与△A'B'C'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点A、A'的坐标分别为(−1，0)、(−2，0)，∴△ABC ∽ △A'B'C'且相似比为1：2，∴△ABC的面积：△A'B'C'的面积=1:4，∵△ABC的面积是6，，∴△A'B'C'的面积为24，故选：C7．（3分）（23-24·内蒙古巴彦淖尔·模拟预测）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：第一步，分别以点A、D为圆心，以大于12AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接MN分别交AB、AC于点E、F；第三步，连接DE、DF．若BD=6，AF=4，CD=3，则BE的长是（  ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，证明出四边形AEDF的形状是解题关键．根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，再根据等边对等角的性质，得出DE∥AC，DF∥AE，证明四边形AEDF是菱形，得到AE=DE=DF=AF=4，然后由平行线分线段成比例定理，得到BDCD=BEAE，即可求出BE的长．【详解】解：∵根据作法可知：MN是线段AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF，∴∠EAD=∠EDA，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EDA=∠CAD，∴DE∥AC，同理可得DF∥AE，∴四边形AEDF是菱形，∴AE=DE=DF=AF，∵AF=4，∴AE=DE=DF=AF=4，∵DE∥AC，∴ BDCD=BEAE，∵BD=6，AE=4，CD=3，∴ 63=BE4，∴BE=8，故选：D．8．（3分）（23-24九年级·山东威海·期末）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：甲：将三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将矩形按图②的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．丙：将菱形按图③的方式向外扩张，得到新的菱形，他们的对应边间距均为1，则新菱形与原菱形相似．对于三人的观点，下列说法正确的是（    ）  A．甲对，丙、乙不对 B．甲、乙都对，丙不对C．甲、丙都对，乙不对 D．甲、乙、丙都对【答案】C【分析】根据边数相同的两个多边形，如果对应角相等，且对应边成比例，那么这两个多边形相似即可判断．【详解】解：如图所示，  据题意得：AB∥A'B'，AC∥A'C'，BC∥B'C'，∴∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'，∴新三角形与原三角形相似，甲说法正确．乙：设原矩形边长为a，b．向外扩张一个单位后边长变为a+2，b+2．则A'B'AB=a+2aA'D'AD=b+2b,A'B'AB≠A'D'AD∴新矩形与原矩形不相似，乙说法不正确；丙：将边长为a的菱形按图③的方式向外扩张，得到新菱形，各边与原菱形边平行，因此各角与原菱形角对应相等，扩张后四条边依然相等，即新菱形与原菱形相似，故丙正确，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，相似多边形的性质，菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握相似多边形的判定是解题的关键．9．（3分）（23-24九年级·四川达州·期末）如图，△ABC≌△DEF，AB=AC=5，BC=EF=6，点E在BC边上运动（不与端点重合），边DE始终过点A，EF交AC于点G，当△AEG是等腰三角形时，△AEG的面积是（   ）．A．8或 625108 B．8 C．625108 D．6或 625107【答案】A【分析】首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE>∠C，可得AE≠AG，当AE=EG与AG=EG去分析，注意利用全等三角形与相似三角形的性质求解即可求得答案．【详解】解：∵△ABC≌△DEF，AB=AC，∴∠AEF=∠B=∠C，且∠AGE>∠C，∴∠AGE>∠AEF，∴AE≠AG；∵∠AEF=∠B，∴180°−∠AEB−∠AEF=180°−∠AEB−∠B，即：∠CEG=∠BAE，当AE=EG时，在△ABE与△ECG中，∠B=∠C∠CEG=∠BAEAE=EG∴△ABE≌△ECGAAS，∴CE=AB=5，∴BE=BC−EC=6−5=1，作AM⊥BC于点M，∵AB=AC=5，BC=6，∴BM=3，∴AM=AB2−BM2=52−32=4，∴S△ABE=S△CEG=12×1×4=2，∴S△AEG=S△ABC−2S△ABE=12×6×4−2×2=8，当AG=EG时，则∠GAE=∠GEA，∴∠GAE+∠BAE=∠GEA+∠CEG，即∠CAB=∠CEA，又∵∠C=∠C，∴△CAE∽△CBA，∴CEAC=ACCB，∴CE=AC2CB=256，∴BE=6−256=116，∵∠CEG=∠BAE，∴△ABE∽△ECG，∴ABCE=BECG，∴CG=CE⋅BEAB=256×1165=5536，∴AG=5−5536=12536，∵∠EAG=∠AEG=∠B=∠C，∴△GAE∽△ABC，∴S△EAGS△ABC=(AGAB)2=252362，∴S△EAG=62536×36×12=625108．故选：A．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．10．（3分）（23-24·上海·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=90∘，AD=1，BC=2，对角线AC、BD交于点E．当边AB的长度发生变化时，下列说法中正确的是（   ）A．点E到边AB的距离不变 B．点E到边BC的距离不变C．点E到边CD的距离不变 D．点E到边DA的距离不变【答案】A【分析】先证△EAD∽△ECB得EC=2EA，EB=2ED，则AC=3AE，DB=3DE，过点E作EF⊥AB于点F，过点E作EH⊥BC，HE的延长线交AD于K，EP⊥CD于P，过点D作DQ⊥BC于Q，证明△BEF∽△BAD得EF=23，由此可对选项A进行判断；证明△CEH∽△CAB得EH=23AB，由此可对选项B进行判断；根据KH=AB，EH=23AB得EK=13AB，由此可对选项D进行判断；设AB=a，则EH=2a3，EK=a3，则DQ=AB=a，CQ=1，进而得CD=a2+1，根据S△EAB+S△EAD+S△EBC+S△ECD=S梯形ABCD可得EP=2aa2+13a2+3，由此可对选项C进行判断．【详解】解：∵四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AD=1，BC=2，∴△EAD∽△ECB，∴EA:EC=DE:EB=AD:BC=1:2，∴EC=2EA，EB=2ED，∴AC=EA+EC=3AE，DB=ED+EB=3DE，过点E作EF⊥AB于点F，过点E作EH⊥BC，HE的延长线交AD于K，EP⊥CD于P，过点D作DQ⊥BC于Q，如图所示：∵∠BAD=90°，∴EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，∴EF:AD=EB:DB，即EF:1=2ED:3DE．∴EF=23，∴点E到边AB的距离不变，故选项A正确，符合题意；∵∠BAD=90°，AD∥BC，∴∠ABC=90°，又∵EH⊥BC，HE的延长线交AD于K，∴四边形ABHK为矩形，∴HK∥AB，HK=AB，∴△CEH∽△CAB，∴EH:AB=EC:AC，即EH:AB=2EA:3AE，∴EH=23AB，∴当边AB的长度发生变化时，EH随AB的变化而变化，故选项B不正确，不符合题意；∵KH=AB，EH=23AB，∴EK=HK−EH=AB−23AB=13AB，∴当边AB的长度发生变化时，EK随AB的变化而变化，故选项D不正确，不符合题意；设AB=a，则EH=2a3，EK=a3，∵∠BAD=∠ABC=90°，DQ⊥BC，∴四边形ABQD为矩形，∴BQ=AD=1，DQ=AB=a，∴CQ=BC−BQ=2−1=1，在Rt△DQC中，由勾股定理得：CD=DQ2+CQ2=a2+1，∵S△EAB+S△EAD+S△EBC+S△ECD=S梯形ABCD，∴ 12AB⋅EF+12AD⋅EK+12BC⋅EH+12CD⋅EP=12(AD+BC)⋅AB，∴AB⋅EF+AD⋅EK+BC⋅EH+CD⋅EP=(AD+BC)⋅AB，即a×23+1×a3+2×2a3+EP⋅a2+1=(1+2)a，整理得：EP=2aa2+13a2+3，∴当边AB的长度发生变化时，EP随AB的变化而变化，故选项C不正确，不符合题意．故选：A．【点睛】此题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定与性质，点到直线的距离，熟练掌握梯形的性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（23-24·江苏苏州·一模）如图，将⊙O的圆周分成五等份，依次隔一个分点相连，即成一个正五角星形．此时点M是线段AD，BE的黄金分割点，也是线段NE，AH的黄金分割点，则MNAM= ．【答案】5−12【分析】本题考查了黄金分割，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接AE，根据题意可得：AB=DE，从而利用等弧所对的圆周角相等可得∠AEB=∠DAE，进而可得MA=ME，然后利用黄金分割的定义进行计算即可解答．【详解】解：连接AE，∵将⊙O的圆周分成五等份，∴AB=DE，∴∠AEB=∠DAE，∴MA=ME，∵点M是NE的黄金分割点，∴MENE=NMME=5−12，∴NMAM=5−12故答案为：5−12．12．（3分）（23-24·山东菏泽·一模）如图，等边△ABC被矩形DEFG所截，EF∥BC，线段AB被截成三等份．若△ABC的面积为12cm2，图中阴影部分的面积为 cm2．【答案】4【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据EF∥BC，得到△AKN∽△ABC，利用三角形相似的性质可求得S△AKN=163，同理求得S△AHM=43，它们的差即为所求答案．【详解】∵线段AB被截成三等份，∴AKAB=23，AHAB=13，∵EF∥BC，∴△AKN∽△ABC，∴S△AKNS△ABC=(AKAB)2=49，∴S△AKN12==49，∴S△AKN=163，∵四边形DEFG是矩形，∴EF∥DG，∴DG∥BC，∴△AHM∽△ABC，∴S△AHMS△ABC=(AHAB)2=19，∴S△AHM12==19，∴S△AHM=43，∴阴影部分的面积=S△AKN−S△AHM=163−43=4．故答案为：4．13．（3分）（23-24·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，已知点P是边长为10的正方形ABCD内的一点，且PB=8，BF⊥BP，若在射线BF上有一点M，使以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么BM= ．【答案】8或252【分析】本题考查相似三角形的判定，正方形的性质，关键是要分两种情况讨论．由余角的性质推出∠ABP=∠CBM，当AB:BM=PB:BC时，△BAP∽△BMC，当AB:BC=PB:BM时，△BAP∽△BCM，两种情况下，分别求出MB的长，即可得到答案．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=AB=10，∵BF⊥BP，∴∠ABP+∠CBP=∠CBM+∠CBP=90°，∴∠ABP=∠CBM．当AB:BM=PB:BC时，△BAP∽△BMC，∴10:MB=8:10，∴BM=12.5，当AB:BC=PB:BM时，△BAP∽△BCM，∴10:10=8:BM，∴BM=8，∴以点B，M，C为顶点的三角形与△ABP相似，那么MB的长是8或252．故答案为：8或252．14．（3分）（23-24·安徽合肥·模拟预测）如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，将▱ABCD绕点C旋转至▱EOCF的位置，点B的对应点恰好落在点O处，B，O，D，E四点共线，请完成下列问题：  （1）已知∠COB=α，则∠FCD= （用含α的代数式表示）；（2）若BO=2，则BC的长为 ．【答案】 180°−2α 22【分析】本题主要考查旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．（1）根据旋转的性质得到∠FCO=∠BCD，推出∠FCD+∠DCO=∠BCO+∠OCD，即可得到答案；（2）根据旋转的性质证明△ABO∽△ACB，根据相似三角形的性质得到AO⋅AC=2AO2=AB2=16，即可求出答案．【详解】解：（1）∵点B的对应点恰好落在点O处，∴CO=BO，∴∠BOC=∠OBC=α，由旋转的性质可知，∠FCO=∠BCD，∴∠FCD+∠DCO=∠BCO+∠OCD，∴∠FCD=∠BCO=180°−2α；（2）由旋转的性质可知OE=AB，∵ ▱EOCF，B，O，D，E四点共线，∴CF∥EB，∴∠COB=∠FCO，∴∠OBC=∠BCD，∴CD=BD，∵▱ABCD，∴CD=AB,AO=CO，∵BO=2，∴BD=2BO=4，∴AB=CD=BD=4，∵∠DCB+∠ABC=180°，∠COB+∠AOB=180°，∴∠AOB=∠ABC，∵∠OAB=∠BAC，∴△ABO∽△ACB，∴AOAB=ABAC，∵AC=2AO,AO=CO，∴AO⋅AC=2AO2=AB2=16，∴AO=22，∴BC=CO=AO=22．故答案为：180°−2α；22．15．（3分）（23-24·四川成都·一模）如图，已知△ABC为等腰三角形，且AB=AC，延长AB至D，使得AB：BD=m：n，连接CD，E是BC边上的中点，连接AE，并延长AE交CD与点F，连接FB，则BF：FD= ．  【答案】m：m+n/m：n+m【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．如图：过点B作BH∥AF交CD于H，根据平行线分线段成比例定理得到DHHF=BDAB=nm，根据等腰三角形的性质得到AE⊥BC，根据线段垂直平分线的性质得到BF=CF，再根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】解：过点B作BH∥AF交CD于H，∴△BDH∽△ADF∴DHHF=BDAB=nm，  ∵AB=AC，E是BC边上的中点，∴AE⊥BC，∴AF是线段BC的垂直平分线，∴BF=CF，∵EF∥BH，CE=EB，即BE=12CE∴△CEF∽△CBH,∴CFCH=CEBC=CE2CE=12，∴CF=12HF，即CF=HF，∴CF：FD=m：m+n，∴BF：FD=m：m+n．故答案为：m：m+n．16．（3分）（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，在小正方形边长均为1的4×4的网格中，△ABC是一个格点三角形．如果△DEF，△GHI是该网格中与△ABC相似的格点三角形，且△DEF的面积S1最大；△GHI的面积S2最小，那么S1S2的值等于 ．【答案】5【分析】此题先求出已知三角形的三边关系，在格点中分别找到对应成比例的面积最大和面积最小的三角形，通过相似三角形面积比为相似比的平方直接求解即可．【详解】由图可知AB=12+12=2，BC=2，AC=32+12=10∵△DEF，△GHI是该网格中与△ABC相似的格点三角形，且△DEF的面积S1最大；△GHI的面积S2最小，可如图所示作出△DEF， △GHI，∴ DE=12+22=5，DF=12+32=10，FE=32+42=5∴DEAB=EFBC=DFAC=52=102∴△DEF∽△BAC∴S△DEFS△ABC=DE2AB2=52同理可得GH=1，HI=2，GI=5且△HGI∽△BAC∴S△HGIS△ABC=HG2AB2=12∴ S△HGI：S△ABC：S△DEF=1:2:5综上所述：S1S2=5故答案为：5【点睛】此题考查相似三角形的性质，解题关键是在格点图中画出三角形，难点是将三角形相似比转化为面积比．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）（23-24·广东东莞·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：(1)AF=CG；(2)CF=2DE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明△AFC≌△CBGASA，进而结论得证；（2）如图，延长CG交AB于H，则CH⊥AB，CH平分AB，进而证得CH∥AD，得出DG=BG，证明△ADE与△CGE全等，从而证得CF=2DE．【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，CG平分∠ACB，∴∠CAF=∠CBF=45°，∠ACG=∠BCG=45°，∴∠CAF=∠BCG，∵∠ACF=∠CBG，AC=BC，∠CAF=∠BCG，∴△AFC≌△CBGASA，∴AF=CG；（2）证明，如图，延长CG交AB于H，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CH⊥AB，CH平分AB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∴∠D=∠EGC，∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE=CE，∴△ADE≌△CGEAAS，∴DE=GE，即DG=2DE，∵AD∥CH，∴BGDG=BHAH=1，即DG=BG，∵△AFC≌△CBGASA，∴CF=BG，∴CF=2DE．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，平行线分线段成比例．熟练掌握三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、平行线的判定及性质，平行线分线段成比例是解本题的关键．18．（6分）（23-24九年级·安徽六安·期末）已知线段a，b，c满足a:b:c=1:3:5，且a−b+c=6．(1)求线段a，b，c的长；(2)若线段m是线段a，b的比例中项，求线段m的长．【答案】(1)a=2，b=6，c=10(2)m=23【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键．（1）设a=k，b=3k，c=5k，再代入求解得到k=2，即可得到a、b、c的值；（2）根据比例中项的定义列式得到m2=ab，即m2=12，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段m的长．【详解】（1）解：设a=k，b=3k，c=5k，∴a−b+c=6，即k−3k+5k=6，解得：k=2，∴a=2，b=6，c=10；（2）由（1）知a=2，b=6，又因为m是a，b的比例中项，∴m2=ab，即m2=12，∴m=±23，∵m>0，∴m=23．19．（8分）（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上，ADBD=13，DE∥BC，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N，求MNCM的值．【答案】MNCM=17．【分析】本题考查了平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质．先根据平行线性质和中点性质证明△NDM≌△HFMASA，再证明NHCH=AECE=13，从而可得答案．【详解】解：如图，设EF与CN的交点为H，∵点M是DF的中点，∴DM=FM，∵EF∥AB，∴∠NDM=∠HFM，∵∠DMN=∠FMH，∴△NDM≌△HFMASA，∴HM=MN，∵DE∥BC，ADBD=13，∴AECE=ADBD=13，∵EF∥AB，∴NHCH=AECE=13，∴CH=3NH=3HM+MN=6MN，∴MNCM=MNCH+MH=MN7MN=17．20．（8分）（23-24九年级·江苏·期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，DE⊥BD，交AB于点E，(1)求证：△ADE∽△ABD；(2)若AB=10，BE=3AE，求线段AD长．【答案】(1)见解析(2)线段AD长为5【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．（1）根据角平分线的定义、角的和差可得∠ADE=∠ABD，再结合∠A=∠A即可证明结论；（2）由线段的和差可得AE=2.5，BE=7.5，再根据相似三角形的性质得出比例式ADAB=AEAD，代入数据即可解答．【详解】（1）证明：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠DBC，∵DE⊥BD，∴∠BDE=90°，∵∠C=90°，∴∠ADE+∠BDC=90°，∠CBD+∠BDC=90°，∴∠CBD=∠ADE ，∴∠ADE=∠ABD，又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ABD．（2）解：∵AB=10，BE=3AE ，∴AE=2.5，BE=7.5，由（1）得△ADE∽△ABD，∴ADAB=AEAD，∴AD2=AB·AE=10×2.5=25，∴AD=5，∴线段AD长为5．21．（8分）（23-24·吉林长春·模拟预测）图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，在给定的网格中，分别按下列要求作图．(1)在图①中，在边AB上找一点D，使BD=BC．(2)在图②中，在边AC上找一点E，在BC上找一点F，使EF∥AB，且AB=3EF．(3)在图③中，在△ABC内找一点M，分别连结AM，CM，使△ABM、△ACM、△BCM的面积相等．【答案】(1)画图见解析(2)画图见解析(3)画图见解析【分析】本题考查了网格作图，相似三角形的性质，掌握网格线的特点和相似三角形的性质是解题的关键．（1）只需将线段AB分成2:3的两段且分点D离点A更近，根据相似三角形的性质作图，连接EF即可；（2）只需找到AC和BC靠近点C的三等分点，根据相似三角形的性质，找到AC的三等分点E，连接FE即可；（3）先求出直角三角形的面积，根据三角形的面积求出高，再根据相似三角形的性质作图.【详解】（1）解：点D即为所求；（2）解：点E、F即为所求；（3）解：△ABC的面积为：12×3×4=6，∵△ABM、△ACM、△BCM的面积相等，∴△ABM、△ACM、△BCM的面积都为：13×6=2，∴△ACM的高为：2×2÷4=1，△BCM的高为：2×2÷3=43，∵EP∥FQ，∴△EPM∽△FQM，且相似比为2:1，∴MQ=13，∴点M即为所求.22．（8分）（23-24九年级·河南郑州·期中）如图，Rt△ABC的两条直角边AB=4cm，AC=3cm，点D沿AB从A向B运动，速度是1cm/秒，同时，点E沿BC从B向C运动，速度为2cm/秒．动点E到达点C时运动终止．连接DE、CD、AE．(1)当动点运动时间t= 秒时，△BDE与△ABC相似．(2)在运动过程中，当CD⊥DE时，t为何值？请说明理由．【答案】(1)2013或87(2)当CD⊥DE时，t=213秒．理由见解析．【分析】（1）本题考查了三角形相似的判定和性质，判断何时△BDE与△ABC相似是解决问题的关键．已知△ABC是直角三角形，要△BDE与其相似，图中已有一个公共角∠B，所以只需△BDE的另外两个角有一个角是直角，那么△BDE与△ABC相似．由此对应两种情况：∠DEB=90∘或∠EDB=90∘，需分情况讨论分析．然后两个三角形相似，对应边成比例即可求出运动时间t．（2）本题考查了三角形相似的判定和性质，构造辅助线，找到三角形相似是解决问题的关键．当CD⊥DE时，过点E作EF⊥AB于F，证明Rt△ACD∽Rt△FDE，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出时间t．【详解】（1）解：设经过运动时间为t秒时，△BDE与△ABC相似．则AD=t(cm)，BD=(4−t)(cm)，BE=2t(cm)，CE=(5−2t)(cm) (0≤t≤52)；1）当∠EDB=90∘，即ED⊥AB时，∵ ∠B=∠B∠EDB=∠CAB=90∘∴ Rt△BDE∽Rt△ABC；∴ BDBA=BEBC，即4−t4=2t5，∴ t=2013．２）当∠DEB=90∘，即DE⊥BC时，∵ ∠B=∠B∠DEB=∠CAB=90∘∴ Rt△BDE∽Rt△ABC，∴ BDBC=BEBA，即4−t5=2t4，∴ t=87．∵ t=2013和t=87都符合0≤t≤52，∴ 当动点运动t=2013秒或t=87秒时，△BDE与△ABC相似．故答案为：2013或87．（2）如图，过点E作EF⊥AB于F，设经过运动时间为t秒时，CD⊥DE，则AD=t(cm)，BD=(4−t)(cm)，BE=2t(cm)，CE=(5−2t)(cm) (0≤t≤52)；∵ ∠B=∠B∠EFB=∠CAB=90∘∴ Rt△BFE∽Rt△BAC∴ BFBA=BEBC，即BF4=2t5，∴ BF=8t5，EF=BE2−BF2=(2t)2−(8t5)2=6t5，∴ DF=AB−AD−BF=4−t−8t5=4−13t5，∵ CD⊥DE，∴ ∠CDE=90∘，∴ ∠ADC+∠EDF=90∘，∵ ∠BAC=90∘，∴ ∠ADC+∠ACD=90∘，∴ ∠ACD=∠EDF，∵ ∠CAD=∠EFD=90∘，∴ Rt△ACD∽Rt△FDE，∴ ACDF=ADEF，即34−135t=t6t5，∴ t=213（秒）．23．（8分）（23-24·陕西榆林·二模）问题探究：(1)如图1，AB∥CD，AC与BD交于点E，若△ABE的面积为16，AE＝2CE，则△CDE的面积为 　 　(2)如图2，在矩形ABCD中，连接AC，BE⊥AC于点E，已知BE＝3，求矩形ABCD面积的最小值；问题解决：(3)某地方政府欲将一块如图3所示的平行四边形ABCD空地改建为健身娱乐广场，已知AB＝3003米，∠A＝60°，广场入口P在AB上，且BP＝2AP．根据规划，过点P铺设两条夹角为120°的笔直小路PM、PN（即∠MPN＝120°），点M、N分别在边AD、BC上（包含端点）△PAM区域拟建为健身广场，△PBN区域拟建为儿童乐园，其他区域铺设绿化草坪．已知建健身广场每平方米需0.8万元，建儿童乐园每平方米需0.2万元，按规划要求，建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用多少万元？（结果保留根号）【答案】(1)4(2)18(3)60003万元【分析】（1）利用相似三角形面积比等于相似比平方的性质求解即可．（2）如图2中，设AE＝x，EC＝y．S矩形ABCD＝2S△ABC＝AC •BE＝3AC＝3（x+y），求出x+y的最小值，可得结论．（3）如图3中，延长CB到T，使得BT＝BP，连接PT，设AM＝x．证明△PAM∽△NTP，推出PANT=AMPT，可得BN=60000x−2003，设总费用W万元，则W=0.8×12x×1003×32+0.2×12(60000x−2003)2003×32 =60x+1800000x−60003，求出W的最小值，可得结论．【详解】（1）如图1中，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△CDE=AEEC2=4，∵S△ABE＝16，∴S△CDE＝4．故答案为：4．（2）如图2中，设AE＝x，EC＝y．∵四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，∴S矩形ABCD＝2S△ABC＝AC•BE＝3AC＝3（x+y），∴x+y的值最小时，矩形的面积最小，∵∠AEB＝∠BEC＝∠ABC＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ABE＝∠BCE，∴△AEB∽△BEC，∴AEBE=EBEC，∴BE2＝AE•EC，∴xy＝9，∵（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy，∴x2+2xy+y2≥4xy∴（x+y）2≥4xy，∴（x+y）2≥36，∴x+y≥6，当x+y=6时，S矩形ABCD有最小值，最小值为3×6=18（3）如图3中，延长CB到T，使得BT＝BP，连接PT，设AM＝x．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝60°，∴∠ABC＝120°，∵BP＝BT，∠PBT＝60°，∴△PBT是等边三角形，∴PB＝BT＝PT，∵AB＝3003米，∴PA＝1003（米），PB＝2003（米），∴PT＝BT＝2003（米），∵∠APN＝∠APM+∠MPN＝∠PBN+∠PNB，∠MPN＝∠PBN＝120°，∴∠APM＝∠PNB，∵∠A＝∠T＝60°，∴△PAM∽△NTP，∴PANT=AMPT，∴10032003+BN=x2003，∴BN=60000x−2003，设总费用W万元，则W=0.8×12x×1003×32+0.2×12(60000x−2003)2003×32 =60x+1800000x−60003，∵60x+1800000x≥260x×1800000x，∴60x+1800000x≥120003，∴W≥60003，最小值为W=60003,故建成健身广场和儿童乐园至少需要总费用60003万元．【点睛】本题主要考查了相似三角形的面积，三角形面积，面积造价问题，解决问题的关键是熟练运用面积比与相似比平方的关系，三角形面积等于底边乘高的一半，总价=单价×面积的关系．