沪科版2024-2025学年八年级数学上册精品题型精练专题13.2三角形的高、中线与角平分线【十大题型】(学生版+解析)

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专题13.2 三角形的高、中线与角平分线【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31262" 【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】  PAGEREF _Toc31262 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc7255" 【题型2 画三角形的高、中线或角平分线】  PAGEREF _Toc7255 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc14322" 【题型3 网格中计算三角形的面积】  PAGEREF _Toc14322 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc4222" 【题型4 等底同高的三角形的有关的计算】  PAGEREF _Toc4222 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc11831" 【题型5 利用三角形的中线计算三角形的周长】  PAGEREF _Toc11831 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc8868" 【题型6 利用三角形的中线计算三角形的面积】  PAGEREF _Toc8868 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc20868" 【题型7 与角平分线有关的角度计算】  PAGEREF _Toc20868 \h 9 HYPERLINK \l "_Toc416" 【题型8 应用等面积法求线段长】  PAGEREF _Toc416 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc22405" 【题型9 探究三角形的边、角、线】  PAGEREF _Toc22405 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc3541" 【题型10 三角形的稳定性】  PAGEREF _Toc3541 \h 13知识点：三角形的高、中线与角平分线(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】【例1】（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF=AF；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④S△ABE=S△BCE；⑤BH=CH；⑥AD⋅BC=AB⋅AC，其中结论正确的有(    )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【变式1-1】（23-24八年级下·河北保定·期中）下列结论正确的是（    ）A．直角三角形的高只有一条B．三角形的高至少有一条在三角形内部C．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部D．钝角三角形的三条高都在三角形外部【变式1-2】（23-24·河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（　　）  A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线C．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线【变式1-3】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ）A．AB=2BF B．∠ACB=2∠ACEC．AE=BE D．CD⊥BE【题型2 画三角形的高、中线或角平分线】【例2】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点A，点B，点C在小正方形的顶点上．(1)画出△ABC中边BC上的高AD：(2)画出△ABC中边AC上的中线BE；(3)求△ABE的面积．【变式2-1】（23-24八年级下·江西萍乡·阶段练习）如图，在△ABC中，下列关于高的说法正确的是（    ）A．线段AD是AC边上的高 B．线段CF是BC边上的高C．线段CF是AC边上的高 D．线段BE是AC边上的高【变式2-2】（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．(1)通过观察，可以发现△ABC是（    ）A．锐角三角形        B．钝角三角形C．直角三角形        D．直角三角形或针角三角形(2)仅利用无刻度的直尺画出△ABC的中线AD与角平分线CE；(3)△ABC的面积为______，△ABD的面积为_____．【变式2-3】（23-24八年级上·江苏盐城·期末）如图，在平面内有A、B、C三点．（1）画直线AC、线段BC、射线BA；（2）画出△ABC的高CD，角平分线BE，中线AF【题型3 网格中计算三角形的面积】【例3】（23-24八年级上·辽宁沈阳·期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则△ABC的面积与△ABD的面积的大小关系为（    ）  A．S△ABCS△ABD C．S△ABC=S△ABD D．无法判断【变式3-1】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，三角形ABC的面积为 cm2．【变式3-2】（23-24八年级·全国·竞赛）图中每个小正方形的边长为1，把从格点O到与它相邻的格点A，B，C，D，E，F，G，H的直线运动形成的线段分别记为1，2，3，4，5，6，7，8，如以点O为出发点，2表示线段OB，5表示线段OE，从O点出发，按1753运动可得到正方形OAHG．从O点出发，按1112445668运动的轨迹形成的图形面积为 ．【变式3-3】（23-24八年级下·河南郑州·期末）如图，4×4方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，请在图中格点上找到点C，使得△ABC的面积为2．满足条件的点C有（　　）个．A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【题型4 等底同高的三角形的有关的计算】【例4】（23-24八年级下·河南南阳·期末）【图形定义】有一条高线相等的两个三角形称为等高三角形．例如：如图（1）．在△ABC和△A'B'C'中，AD和A'D'分别是BC和B'C'边上的高线，且AD=A'D'，则△ABC和△A'B'C'是等高三角形．  【性质探究】如图（1），用S△ABC,S△A'B'C'分别表示△ABC和△A'B'C'的面积．则S△ABC=12BC⋅AD,S△A'B'C'=12B'C'⋅A'D'，∵AD=A'D'∴S△ABC:S△A'B'C=BC:B'C'．【性质应用】(1)如图②，D是△ABC的边BC上的一点．若BD=3,DC=4，则S△ABD:S△ADC=__________；(2)如图③，在△ABC中，D,E分别是BC和AB边上的点．若BE:AB=1:2，CD:BC=1:3,S△ABC=1，求△BEC和△CDE的面积．【变式4-1】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）已知△ABC的面积等于18，CE=DE，BD=4AD，则△BDE与△CEF的面积和等于（  ）A．7 B．7.5 C．8 D．9【变式4-2】（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在△ABC中，D是BC边的中点，CE=5AE，若△ABC的面积为12，则△CDE的面积为 ．【变式4-3】（23-24八年级下·江苏扬州·期中）小孙和小悟同学在探究四边形ABCD内作一条直线将它分成面积相等的两部分时，遇到了困难，于是两位同学想到了先从三角形研究起．【问题思考】（1）如图1，AD是△ABC的中线，试判断：S△ABD_________S△ACD（请填 “>”、“”、“AC),AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线．(1)若DE=4，求BC的长；(2)若△ABC的周长为37，BC=12且△ABD与△ACD的周长差为3，求AC的长．【变式5-2】（23-24八年级下·福建泉州·期中）如图，在△ABC中，AD是中线，AB=10cm，AC=6cm．(1)△ABD与△ACD的周长差为_______cm．(2)点E在边AB上，连接ED，若三角形ABC的周长被DE分成的两部分的差是2cm，求线段AE的长．【变式5-3】（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）在△ABC中，D是BC的中点，AB=12，AC=8．用剪刀从点D入手进行裁剪，若沿DA剪成两个三角形，它们周长的差为 ；若点E在AB上，沿DE剪开得到两部分周长差为2，则AE= ．【题型6 利用三角形的中线计算三角形的面积】【例6】（23-24八年级下·陕西·期中）如图，在△ABC中，延长CA至点F，使得AF=CA，延长AB至点D，使得BD=2AB，延长BC至点E，使得CE=3CB，连接EF、FD、DE，若S△ABC=1，则为S△DEF= ．【变式6-1】（23-24八年级上·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连接BE、CE，若△ABD与△DEC的面积差为6，则△BEC的面积为（    ）  A．9 B．12 C．15 D．18【变式6-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，点D在边AC上，AD=2DC，点E是BC的中点，AE、BD相交于点O，若△BOE的面积为3，则△AOD的面积为 ．【变式6-3】（23-24八年级上·湖北黄冈·期中）若点 G 为△ABC的重心（△ABC 的三条中线的交点），CG⊥BG，若 AG×BC=16，则△BGC 面积的最大值是（   ） A．2 B．8 C．4 D．6【题型7 与角平分线有关的角度计算】【例7】（23-24八年级下·山东青岛·单元测试）如图锐角△ABC，若∠ABC=40°，∠ACB=70°，点D、E在边AB、AC上，CD与BE交于点H．（1）若BE⊥AC，CD⊥AB，求∠BHC的度数． （2）若BE、CD平分∠ABC和∠ACB，求∠BHC的度数．【变式7-1】（23-24八年级上·湖北恩施·期中）如图，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，BO=CO，若∠BOC=100°，那么∠BAO 等于（　　）A．10° B．20° C．30° D．40°【变式7-2】（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，BF是∠ABD的平分线，CE是∠ACD的平分线，BF与CE交于点G.若∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A的度数为( )A．70° B．80°C．50° D．55°【变式7-3】（23-24八年级下·江苏南通·期末）如图，AD是△ABC的角分平线，CE是△ABC的高，∠BAC=60°，∠BCE=50°，点F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，则∠ADF的度数为 ．【题型8 应用等面积法求线段长】【例8】（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与实践问题情境  数学活动课上，老师提出了如下问题：如图，在△ABC中，AB=AC，P是BC上一点，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D，E，过点B作BF⊥AC，垂足为F，连接AP．      【特例探究】（1）如图1．当P为BC边的中点时，利用面积之间的关系可以发现线段PD，PE，BF之间的数量关系为________．【深入探究】（2）如图2，当P为BC边上的任意一点时，（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请写出成立的数量关系，并说明理由．【拓展探究】（3）如图3，当点P在BC边的延长线上时．①试猜想线段PD，PE，BF之间的数量关系，并证明你的猜想．②当S△ABC=10，AB=5，PE=2时，线段PD的长为________．【变式8-1】（23-24八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图所示已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°．试求：  (1)AD的长；(2)△ABE的面积；(3)△ACE与△ABE的周长的差【变式8-2】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点C为直线AB外一动点，AB=6，连接CA、CB，点D、E分别是AB、BC的中点，连接AE、CD交于点F，当四边形BEFD的面积为5时，线段AC长度的最小值为（  ）A．3 B．4 C．5 D．6【变式8-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点A是直线l外一点，点B、C是直线l上的两动点，且BC＝4，连接AB、AC，点D、E分别为AC、BC的中点，AF为△ABD的中线，连接EF，若四边形AFEC的面积为10，则AB的最小值为（　　）  A．4 B．6 C．8 D．10【题型9 探究三角形的边、角、线】【例9】（23-24八年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AC上，DE∥AB，EF平分∠DEC．  (1)判断EF与BD的位置关系，并说明理由；(2)若CD=2AD，CE=2BE，CF=2DF，且△ABC的面积为27，求△DEF的面积．【变式9-1】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，AD是∠CAB的角平分线，DE∥AB，DF∥AC，EF交AD于点O.请问：DO是∠EDF的角平分线吗？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由.【变式9-2】（23-24八年级下·江西南昌·期末）如图，AD、AE分别是△ABC的角平分线和高线.(1) 若∠B＝50°，∠C＝60°，求∠DAE的度数；（2）若∠C ＞∠B，猜想∠DAE与∠C-∠B之间的数量关系，并加以证明.【变式9-3】（23-24八年级下·山东泰安·期末）如图，MN∥AB，BD⊥DC，∠1=∠2=60°，BD是∠ABC的角平分线．  (1)AB与DE平行吗？请说明理由；(2)试说明∠ABC=∠C；(3)试说明DC是∠NDE的角平分线．知识点2:三角形的稳定性当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中.【题型10 三角形的稳定性】【例10】（23-24八年级下·重庆沙坪坝·期中）意大利面根根筋道，看起来极易折断，棉花糖柔软、容易固定．利用意大利面做架子，棉花榶做连接，能搭建出“又高又稳”的建筑．在如图所示的模型中三角形架子是其主要结构，这种设计的原理是（    ）A．三角形具有稳定性 B．两点之间，线段最短C．两点确定一条直线 D．垂线段最短【变式10-1】（23-24八年级上·甘肃武威·期中）木工王师傅用四根木条做了一个四边形框架．要使这个框架不变形，他至少需要再钉上木条的数量是 条．【变式10-2】（23-24八年级上·广东广州·期中）下列图形中，不具有稳定性的是（    ）A．  B．  C．  D．  【变式10-3】（23-24八年级上·全国·课后作业）小辉用7根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图1、2、3中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道理．专题13.2 三角形的高、中线与角平分线【十大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc31262" 【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】  PAGEREF _Toc31262 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc7255" 【题型2 画三角形的高、中线或角平分线】  PAGEREF _Toc7255 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc14322" 【题型3 网格中计算三角形的面积】  PAGEREF _Toc14322 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc4222" 【题型4 等底同高的三角形的有关的计算】  PAGEREF _Toc4222 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc11831" 【题型5 利用三角形的中线计算三角形的周长】  PAGEREF _Toc11831 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc8868" 【题型6 利用三角形的中线计算三角形的面积】  PAGEREF _Toc8868 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc20868" 【题型7 与角平分线有关的角度计算】  PAGEREF _Toc20868 \h 24 HYPERLINK \l "_Toc416" 【题型8 应用等面积法求线段长】  PAGEREF _Toc416 \h 28 HYPERLINK \l "_Toc22405" 【题型9 探究三角形的边、角、线】  PAGEREF _Toc22405 \h 33 HYPERLINK \l "_Toc3541" 【题型10 三角形的稳定性】  PAGEREF _Toc3541 \h 38知识点：三角形的高、中线与角平分线(1)从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．（2）三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线．（3）三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．（4）三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段．（5）锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点．【题型1 三角形的高、中线与角平分线的概念】【例1】（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF=AF；②∠AFG=∠AGF；③∠FAG=2∠ACF；④S△ABE=S△BCE；⑤BH=CH；⑥AD⋅BC=AB⋅AC，其中结论正确的有(    )A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的定义是解题的关键．根据三角形的中线的性质判断①和④；根据直角三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②；根据角平分线的定义判断③，根据题意判断⑤，根据三角形的面积公式判断⑥．【详解】解：∵BE是△ABC的中线，∴SΔABE=SΔBCE，故④正确，符合题意；∵CF是角平分线，∴∠ACF=∠BCF，∵AD⊥BC，∴∠BCF+∠CGD=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ACF+∠AFG=90°，∴∠CGD=∠AFG，∵∠CGD=∠AGF，∴∠AGF=∠AFG，故②正确，符合题意；∵AD⊥BC，∠BAC=90°，∴∠FAG=∠ACB=2∠ACF，故③正确，符合题意；由已知条件不能确定∠HBC=∠HCB，∴BH与CH的关系不能确定，故⑤错误，不符合题意；∵F不一定是AB的中点，无法证明BF=AF，故①错误，不符合题意；∵∠BAC=90°，AD是高，∴S△ABC=12AB×AC=12BC×AD∴AD⋅BC=AB⋅AC，故⑥正确综上，符合题意的有4个，故选：C【变式1-1】（23-24八年级下·河北保定·期中）下列结论正确的是（    ）A．直角三角形的高只有一条B．三角形的高至少有一条在三角形内部C．三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部D．钝角三角形的三条高都在三角形外部【答案】B【分析】本题考查三角形的高，中线，角平分线的概念．根据题意，逐项判断即可．【详解】解：A.直角三角形的高有3条，不是只有1条，此项错误；B.三角形的高至少有一条在三角形内部，此项正确；C.三角形的角平分线，中线在三角形内部，但三角形的高可能在三角形的外部，此项错误；D.钝角三角形有2条高在三角形的外部，有1条在三角形内部，此项错误．故选：B．【变式1-2】（23-24·河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（∠A是钝角），他打算用折叠的方法折出∠C的角平分线、AB边上的中线和高线，能折出的是（　　）  A．AB边上的中线和高线 B．∠C的角平分线和AB边上的高线C．∠C的角平分线和AB边上的中线 D．∠C的角平分线、AB边上的中线和高线【答案】C【分析】由折叠的性质可求解．【详解】解：当AC与BC重合时，折痕是∠C的角平分线；当点A与点B重合时，折叠是AB的中垂线，故选：C．【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键．【变式1-3】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）如图，CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（    ）A．AB=2BF B．∠ACB=2∠ACEC．AE=BE D．CD⊥BE【答案】C【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可．【详解】解：A、∵ CF是△ABC的中线，∴ AB=2BF，原结论正确，不符合题意；B、∵ CE是△ABC的角平分线，∴ ∠ACB=2∠ACE，原结论正确，不符合题意；C、∵ CF是△ABC的中线，∴ AF=BF，∴ AF−EF=AE