沪科版2024-2025学年八年级数学上册精品题型精练专题13.3三角形的内角和定理【八大题型】(学生版+解析)

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专题13.3 三角形的内角和定理【八大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc5266" 【题型1 证明三角形内角和】  PAGEREF _Toc5266 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc19782" 【题型2 由三角形内角和直接求角度】  PAGEREF _Toc19782 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc21582" 【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】  PAGEREF _Toc21582 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc23996" 【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】  PAGEREF _Toc23996 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc4114" 【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】  PAGEREF _Toc4114 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc20124" 【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】  PAGEREF _Toc20124 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc3596" 【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】  PAGEREF _Toc3596 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc11136" 【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】  PAGEREF _Toc11136 \h 9知识点1：三角形的内角和定理（1）三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．（2）因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．【提示】（1）三角形内角和定理适用于任意三角形．（2）任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．【题型1 证明三角形内角和】【例1】（23-24八年级·河北邢台·阶段练习）在探究证明“三角形的内角和是180°”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是180°”的有（    ）①如图1，过点C作EF∥AB；②如图2，过AB上一点D分别作DE∥BC，DF∥AC；③如图3，延长AC到点F，过点C作CE∥AB；④如图4，过点C作CD⊥AB于点D．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【变式1-1】（23-24八年级·全国·课堂例题）如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称： ．  【变式1-2】（23-24八年级·河北石家庄·阶段练习）下面是一道习题，需要填写符号处的内容，下列填写正确的是（    ）A．★处填2 B．■处填1C．①内错角相等，两直线平行 D．②平角定义【变式1-3】（23-24·重庆忠县·八年级统考期末）三角形的内角和定理是初中数学学习中的一个重要定理，下面给出了该定理的一种证明方法．(1)请将上面的“已知”和推理“依据”补充完整；(2)该定理有多种证明方法，请再写出一种证明方法．【题型2 由三角形内角和直接求角度】【例2】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”．若△ABC为倍角三角形，∠A=100°，则∠B= ．【变式2-1】（23-24八年级·新疆巴音郭楞·期末）如图1是某款婴儿手推车，如图2是其侧面的示意图，若AB∥CD，∠1=130°，∠3=35°，则∠2的度数为 ．【变式2-2】（23-24八年级·福建宁德·期末）将△ABC沿BC方向平移得到△DEF．若∠1=64°，∠2=52°，则∠A的度数是（    ）  A．54° B．64° C．74° D．52°【变式2-3】（23-24八年级·江苏宿迁·期末）已知：如图，在四边形ABCD中，点E在AB上，∠2与∠3互余，且∠1=∠4，试猜想AB与BC的位置关系，并说明理由．【题型3 由三角形内角和判断三角形形状】【例3】（23-24八年级·河北廊坊·期中）如图，当x=3y时，该三角形的形状是（    ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【变式3-1】（23-24八年级·广西梧州·期中）△ABC中，若∠A−∠C=∠B，则△ABC的形状是（    ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角二角形 D．无法确定【变式3-2】（23-24八年级·安徽淮北·阶段练习）如果一个三角形的两个内角都小于30°，那么这个三角形的形状是（    ）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【变式3-3】（23-24八年级·重庆秀山·期中）△ABC中，∠A:∠B:∠C=4:5:9，请判断三角形的形状并证明．【题型4 三角形内角和与平行线的综合运用】【例4】（23-24八年级·河南平顶山·期末）如图，△CEF中，∠E=70°，∠F=50°，且AB∥CF ，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A的度数是（    ）  A．40° B．45° C．50° D．60°【变式4-1】（23-24八年级·四川成都·期末）如图，AB//CD，AC与BD相交于点O，若∠A＝25°，∠D＝45°，则∠AOB的大小为（　　）A．90° B．110° C．120° D．135°【变式4-2】（23-24八年级·陕西渭南·期中）如图，在三角形ABC中，点D，H，E分别是边AB，BC，CA上的点，连接DE，DH，F为DH上一点，连接EF，若∠1+∠2=180°，∠3=∠B=65°，∠C=52°．则∠FEC的度数为 °．【变式4-3】（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图，直线EF∥MN，点A，B分别是EF，MN上的动点，点G在MN上，∠ACB=m°，∠AGB和∠CBN的角平分线交于点D，若∠D=52°，则m的值为 ．   【题型5 三角形内角和与翻折的综合运用】【例5】（23-24八年级·江苏扬州·期末）如图，M、N是△ABC边AB、AC上的点，△AMN沿MN翻折后得到△DMN，△BMD沿BD翻折后得到△BED，且点E在BC边上，△CND沿CD翻折后得到△CFD，且点F在边BC上，若∠A=70°，则∠1+∠2=（    ）  A．65° B．70° C．75° D．85°【变式5-1】（23-24八年级·江苏连云港·期中）如图，将直角三角形纸片ABC沿CD（D是斜边AB上一点）折叠，使点B落在点B'处，若∠ACB'=α°，则∠ACD的度数是 °．（用含α的代数式表示）  【变式5-2】（23-24八年级·广西南宁·期中）如图，在折纸活动中，小李制作了一张△ABC的纸片，点D，E分别在边AB，AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠1+∠2=130°，则∠A= .  【变式5-3】（23-24八年级·福建漳州·期中）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC=70°，D是线段AC上一个动点，连接BD，把△BCD沿BD折叠，点C落在同一平面内的点E处，当DE平行于△ABC的边时，∠CDB的度数为 ．【题型6 三角形内角和与角平分线的综合运用】【例6】（23-24八年级·江苏淮安·期末）如图，△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF的度数= ．【变式6-1】（23-24八年级·江苏徐州·期中）如图，CD、BE是△ABC的角平分线，CD与BE交于点O，∠BOC=n，∠A= （用含n的代数式表示）.【变式6-2】（23-24八年级·辽宁营口·期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高，AE、BF分别是∠BAC、∠ABC的平分线， ∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ABF=（    ）．A．35° B．40° C．45° D．50°【变式6-3】（23-24八年级·江苏苏州·期中）新定义：在△ABC中，若存在一个内角是另外一个内角度数的n倍（n为大于1的正整数），则称△ABC为n倍角三角形．例如，∠A=80°,∠B=60°，可知∠A=2∠C，所以△ABC为2倍角三角形．(1)在△DEF中，∠E=40°,∠F=35°，则△DEF为 倍角三角形．(2)如图1，直线MN与直线PQ相交于O，∠POM=30°；已知∠BAO、∠OBA的角平分线交于点C，在△ABC中，在△ABC中，如果有一个角是另一个角的2倍，请求出∠BAC的度数．(3)如图2，直线MN⊥直线PQ于点O，点A、点B分别在射线OP、OM上，已知∠BAO、∠OAG的角平分线分别与∠BOQ的角平分线所在的直线交于点E、F．若△AEF为3倍角三角形，试求∠ABO的度数．【题型7 三角形内角和与三角板的综合运用】【例7】（23-24八年级·江西南昌·期末）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列结论：①如果∠2=30°，则AC∥DE；②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，则∠2=30°；④如果∠CAD=150°，则∠4=∠C．其中正确的结论有（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式7-1】（23-24八年级·安徽六安·期末）生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，将一副学生用三角板按如图所示的方式放置．若AE//BC，则∠AFD的度数是 ．【变式7-2】（23-24八年级·河北唐山·期末）如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使AB∥CD，则∠DEB的度数是（    ）A．15∘ B．20∘ C．65∘ D．95∘【变式7-3】（23-24八年级·湖北随州·期末）将一副学生用的三角板（一个锐角为30°的直角三角形，一个锐角为45°的直角三角形）如图叠放，则下列4个结论中正确的个数有（    ）①∠AOC＋∠BOD＝90°；②∠AOC＝∠BOD；③∠AOC－∠CEA＝15°；④如果OB平分∠DOC，则OC平分∠AOBA．0 B．1 C．2 D．3【题型8 由三角形内角和定理探究角度之间的关系】【例8】（23-24八年级·全国·单元测试）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．  (1)求证：∠A+∠C=∠B+D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，且与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有__________个，以点O为交点的“8字型”有__________个；②若∠B=100°,∠C=120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为∠CAP=13∠CAB,∠CDP=13∠CDB，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【变式8-1】（23-24八年级·江苏南京·期末）如图，△ABC中，∠B=50°，点D、E分别在边AB、AC上，∠CED=105°，则下面关于∠C与∠ADE的关系中一定正确的是（    ）A．∠C+∠ADE=95° B．∠C−∠ADE=25°C．∠C−∠ADE=35° D．∠C=2∠ADE【变式8-2】（23-24八年级·江西南昌·期中）已知如图，在△ABC中，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线，若∠B=30°，∠C=50°  (1)求∠DAE的度数．(2)求∠DAE与∠B，∠C的关系，并说明理由．【变式8-3】（23-24八年级·江苏连云港·期末）如图1，过直线AB外一点C作MN∥AB，连接AC,BC，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD与MN交于点D，点E是线段AD上一动点（不与A,D重合），连接EC．(1)若∠ACM=50°，则∠BAD=_____________°，∠ABC=________________°；(2)若∠ECA=2∠EAB，求证：∠ECB=∠ABC；(3)如图2，∠CED的平分线EF与MN交于点F，连接EB，若∠EAB=22°，∠ECM=α,∠EBC=β,∠BEF=γ0°