沪科版2024-2025学年九年级数学上册精品题型特训专题22.7相似三角形的经典模型【十大题型】(学生版+解析)

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专题22.7 相似三角形的经典模型【十大题型】 【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc18746" 【题型1 A字模型】  PAGEREF _Toc18746 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc10028" 【题型2 8字模型】  PAGEREF _Toc10028 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc32279" 【题型3 AX模型】  PAGEREF _Toc32279 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc7360" 【题型4 母子型】  PAGEREF _Toc7360 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc13686" 【题型5 三角形内接矩形型】  PAGEREF _Toc13686 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc12407" 【题型6 双垂直型】  PAGEREF _Toc12407 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc18042" 【题型7 手拉手型】  PAGEREF _Toc18042 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc11274" 【题型8 一线三等角型】  PAGEREF _Toc11274 \h 14 HYPERLINK \l "_Toc3709" 【题型9 倒数型】  PAGEREF _Toc3709 \h 16 HYPERLINK \l "_Toc20460" 【题型10 旋转型】  PAGEREF _Toc20460 \h 18模型1：A字模型①如图，在中，点D在上，点E在上，，则，．②模型拓展1：斜交A字型条件：，图2结论：； ③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔．【题型1 A字模型】【例1】（23-24九年级·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE∥BC，AFFE=AEEC．（1）求证：DF∥BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝63．求证△ADE∽△AEB．【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，BD，CE分别是AC与AB边上的高．求证：△ADE∽△ABC．【变式1-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，P为▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2．若S=3，则S1+S2的值是（　　）  A．24 B．12 C．6 D．10【变式1-3】（23-24九年级·安徽安庆·期中）图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，AB＝2，CD＝3，求GH的长．模型2：8字模型①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔；②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔． ③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔．【题型2 8字模型】【例2】（23-24九年级·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．【变式2-1】（23-24九年级·河南开封·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )A．8 B．10 C．12 D．14【变式2-2】（2024·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．（1）求证：BC=CF；（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．【变式2-3】（23-24九年级·湖南常德·期中）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若BE=8，则GE= ．模型3：AX模型A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.【题型3 AX模型】【例3】（2024九年级·全国·专题练习）已知如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交于点E，AC、BD相交于点O，连结EO并延长交AB于点M，交CD于点N．那么线段AM与BM是否相等？请说明理由．【变式3-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，△ABC中，中线AD，BE交于点F，EG//BC交AD于点G．（1）求AGGF的值．（2）如果BD=43，DF=4，请找出与△BDA相似的三角形，并挑出一个进行证明．【变式3-2】（2024·江苏泰州·二模）如图△ABC中，AB=AC=5，BC=8，G是△ABC的重心，GH⊥AB于H，则GH的长为 ．   【变式3-3】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点H，DE所在直线与射线CA交于点G．（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；（2）当α≠60°时，①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．模型3：母子型如图为斜“A”字型基本图形．当时，，则有．．如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．当时，，则有．【题型4 母子型】【例4】（23-24九年级·湖南株洲·期中）如图1，∠C90，BC6，tanB=43，点M从点B出发以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点N同时从点C出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．(1)求AB的长．(2)当以点M、C、N为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．(3)如图2，将本题改为点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度在BA上向点A运动，点N同时从点A出发向点C运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当t为何值时，△MNA为等腰三角形．【变式4-1】（23-24九年级·山东聊城·期中）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．（1）求证：△MFC∽△MCA；（2）求证△ACF∽△ABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．【变式4-2】（23-24九年级·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=22，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的长．【变式4-3】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图：在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，动点Р以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒0∠A，∴ “理想点” D不可能在BC边上，③D在AC边上时，如图：∵D是ΔABC的“理想点”，∴∠DBC=∠A，又∠C=∠C，∴ΔBDC∽ΔABC，∴ CDBC=BCAC，即CD3=34，∴CD=94，综上所述，点D是ΔABC的“理想点”， CD的长为125或94．【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．【变式4-3】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图：在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，动点Р以2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒0