沪科版2024-2025学年八年级数学上册精品题型精练专题13.5三角形中的经典模型【九大题型】(学生版+解析)

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专题13.5 三角形中的经典模型【九大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc1091" 【题型1 A字模型】  PAGEREF _Toc1091 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25659" 【题型2 8字模型】  PAGEREF _Toc25659 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc874" 【题型3 飞镖模型】  PAGEREF _Toc874 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc2965" 【题型4 双垂直模型】  PAGEREF _Toc2965 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc3997" 【题型5 老鹰抓小鸡模型】  PAGEREF _Toc3997 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc1244" 【题型6 两内角角平分线模型】  PAGEREF _Toc1244 \h 10 HYPERLINK \l "_Toc23632" 【题型7 两外角角平分线模型】  PAGEREF _Toc23632 \h 11 HYPERLINK \l "_Toc16081" 【题型8 一内一外角角平分线模型】  PAGEREF _Toc16081 \h 13 HYPERLINK \l "_Toc29028" 【题型9 三角形折叠模型】  PAGEREF _Toc29028 \h 15知识点1：A字模型已知△ABC，延长AB至D，延长AC至E，则∠1+∠2=∠A+180°【题型1 A字模型】【例1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（    ）．A．180° B．215° C．235° D．245°【变式1-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3−∠2的度数为 ．【变式1-2】（23-24八年级·河北沧州·期中）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形ABCD，则下列判断错误的是（    ）  A．变成四边形后对角线增加了两条B．变成四边形后内角和增加了360°C．外角和没有发生变化D．若剪掉的角的度数是60°，则∠1+∠2=240°【变式1-3】（23-24·浙江杭州·二模）将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若∠1=130°，则∠2的度数为 ．知识点2：8字模型①已知AD，BC相交于O，则∠A+∠B=∠C+∠D②已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则∠P=12 (∠B+∠D)【题型2 8字模型】【例2】（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°． （1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；（2）若∠C=38°，求∠P的度数．【变式2-1】（23-24八年级·河南漯河·期末）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【变式2-2】（23-24八年级·北京怀柔·期末）如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（    ）．A．262° B．152° C．208° D．236°【变式2-3】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．知识点3：飞镖模型①已知四边形ABCD，则∠C=∠A+∠B+∠D②已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O=12 (∠A+∠C)【题型3 飞镖模型】【例3】（23-24·河北秦皇岛·一模）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °．【变式3-1】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F= °．  【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．【变式3-3】（23-24·河北邯郸·一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不变，则将图中∠D （填“增大”或“减小”） 度，淇淇说，“改得不错”．知识点4：双垂直模型已知∠B=∠D=∠ACE=90°.则∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.【题型4 双垂直模型】【例4】（23-24八年级·广东珠海·期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．（1）求证：∠EAB＝∠CED；（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 （直接写出答案即可）；（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°）【变式4-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：AD⊥CF．(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．【变式4-2】（23-24八年级·山西晋中·期中）请把下面的证明过程补充完整如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：CF=CE．证明：∵ AE平分∠CAB（已知），∴ ∠CAE=∠FAB（ ① ），∵ ∠ACE=90°（已知），∴ ∠CAE+∠CEF=90°（ ② ），∵ CD是△ABC的高（已知），∴ ∠CDA=90°（三角形高的定义），∴（ ③ ），（直角三角形的两个锐角互余），∴ ∠CEF=∠AFD（ ④ ），∵ ∠CFE=∠AFD（ ⑤ ），∴ ∠CFE=∠CEF（ ⑥ ），∴ CF=CE（ ⑦ ）．【变式4-3】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，点O是BC的中点，点P是射线CB上的一个动点(点P不与点C、O、B重合)，过点C作CE⊥AP于点E，过点B作BF⊥AP于点F，连接EO，OF．  (问题探究)如图1，当P点在线段CO上运动时，延长EO交BF于点G．（1）求证：△AEC≌△BFA；（2）BG与AF的数量关系为：　　(直接写结论，不需说明理由)；(拓展延伸)（3）①如图2，当P点在线段OB上运动，EO的延长线与BF的延长线交于点G，∠OFE的大小是否变化？若不变，求出∠OFE的度数；若变化，请说明理由；②当P点在射线OB上运动时，若AE=2，CE=6，直接写出△OEF的面积，不需证明．知识点5：老鹰抓小鸡模型如图，∠A+∠O=∠1+∠2；口诀：腋下两角之和等于上下两角之和【题型5 老鹰抓小鸡模型】【例5】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为（    ）A．24° B．35° C．30° D．25°【变式5-1】（23-24八年级·重庆渝北·阶段练习）如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B'点重合，若∠1+∠2=80°，则∠B的度数为 ．  【变式5-2】（23-24八年级·安徽铜陵·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，则∠BA′C的度数为（    ）A．120° B．110° C．100° D．90°【变式5-3】（23-24八年级·山东烟台·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系．(1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．(2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．知识点6：两内角角平分线模型在△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I. 则【题型6 两内角角平分线模型】【例6】（23-24八年级·河南信阳·开学考试）如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO的度数为 ．【变式6-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，若∠A=66°，则∠BGC的度数为 ．【变式6-2】（23-24八年级·河南信阳·开学考试）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB=125°．求∠CAD的度数．  【变式6-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠EFC=12∠G：④∠ADC=∠GCD；⑤△EGC是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ）A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④知识点7：两外角角平分线模型在△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O. 则.【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴由△BCO中内角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===【题型7 两外角角平分线模型】【例7】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC= ．【变式7-1】（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，G是ΔAFE两外角平分线的交点，P是ΔABC的两外角平分线的交点，F，C在AN上，又B，E在AM上；如果∠FGE=66°，那么∠P= 度．【变式7-2】（23-24八年级·山东聊城·期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （     ）A．25° B．30° C．40° D．50°【变式7-3】（23-24八年级·全国·课后作业）（分类讨论思想）△ABC的两外角平分线交于点F．  (1)如图1，若∠A=30°，则∠BFC的度数为__________．(2)如图2，过点F作直线MN∥BC，分别交射线AB，AC于点M，N，若设∠MFB=α，∠NFC=β，则∠A与α+β的数量关系是__________．(3)在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由．②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．知识点8：一内一外角角平分线模型已知△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P. 则【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③比较②③式子可知：.【题型8 一内一外角角平分线模型】【例8】（23-24八年级·江苏泰州·期末）如图，点B、C分别在AM、AN上运动（不与A重合），CD是∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P．知道下列哪个条件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD−∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是（    ）A．① B．② C．③ D．④【变式8-1】（23-24八年级·四川遂宁·开学考试）如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点，若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，则∠M= 度．【变式8-2】（23-24八年级·四川眉山·开学考试）如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分∠EAC、∠ABC和∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC=90°−∠ABD．其中正确的结论有 ．（填序号）【变式8-3】（23-24八年级·河南开封·期末）如图，在△ABC中，∠A=48°，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线相交于点A1，得到∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得到∠A2；……按此规律继续下去，∠An−1BC与∠An−1CD的平分线相交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6知识点9：三角形折叠模型①将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在线段AC上时，则∠2=2∠C.②将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时,则2∠C=∠1+∠2或 ∠C=12（∠1+∠2）③将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时,则2∠C=∠2-∠1或 ∠C=12（∠2-∠1）.【题型9 三角形折叠模型】【例9】（23-24八年级·河南信阳·开学考试）如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠．(1)当点A落在四边形BCDE内部时，∠A、∠1、∠2的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你的理由；(2)当点A落在四边形BCDE外部时，∠A、∠1、∠2的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由．【变式9-1】（23-24八年级·上海·期中）如图，在锐角△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点F的位置．如果DF∥BC，∠B=60°，∠CEF=10°，那么∠F= ．【变式9-2】（23-24八年级·河南南阳·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=2∠B，点D在BC边上，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE和边AC重合时结束，边AE交边BC于点F．若折叠过程中，△DEF中有两个角相等，则此时∠BAD的度数为 ．【变式9-3】 （23-24八年级·四川宜宾·期末）在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC'=44°；②如图2，当点C'落在△ABC内部时，∠ADC'+∠BEC'=44°；③如图3，当点C'落在△ABC上方时，∠BEC'−∠ADC'=44°；④当C'E∥AB时，∠CDE=34°或∠CDE=124°，其中正确结论的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个专题13.5 三角形中的经典模型【九大题型】【沪科版】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc1091" 【题型1 A字模型】  PAGEREF _Toc1091 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc25659" 【题型2 8字模型】  PAGEREF _Toc25659 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc874" 【题型3 飞镖模型】  PAGEREF _Toc874 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc2965" 【题型4 双垂直模型】  PAGEREF _Toc2965 \h 12 HYPERLINK \l "_Toc3997" 【题型5 老鹰抓小鸡模型】  PAGEREF _Toc3997 \h 21 HYPERLINK \l "_Toc1244" 【题型6 两内角角平分线模型】  PAGEREF _Toc1244 \h 27 HYPERLINK \l "_Toc23632" 【题型7 两外角角平分线模型】  PAGEREF _Toc23632 \h 30 HYPERLINK \l "_Toc16081" 【题型8 一内一外角角平分线模型】  PAGEREF _Toc16081 \h 36 HYPERLINK \l "_Toc29028" 【题型9 三角形折叠模型】  PAGEREF _Toc29028 \h 41知识点1：A字模型已知△ABC，延长AB至D，延长AC至E，则∠1+∠2=∠A+180°【题型1 A字模型】【例1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠A=65°，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则∠BDE+∠CED=（    ）．A．180° B．215° C．235° D．245°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理求出∠ADE+∠AED，根据平角的概念计算即可．【详解】解：∵∠A=65°，∴∠ADE+∠AED=180°−65°=115°，∴∠BDE+∠CED=360°−115°=245°，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°是解题的关键．【变式1-1】（23-24八年级·全国·专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若∠1=120°，那么∠3−∠2的度数为 ．【答案】60°【分析】根据平角的定义求出∠4，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．【详解】解：如图∵∠1+∠4=180°，∠1=120°，∴∠4=60°，∵∠3=∠2+∠4，∴∠3−∠2=∠4=60°，故答案为：60°．【点睛】本题考查三角形外角的性质、平角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．【变式1-2】（23-24八年级·河北沧州·期中）琪琪在操作课上将三角形剪掉一个角后得到四边形ABCD，则下列判断错误的是（    ）  A．变成四边形后对角线增加了两条B．变成四边形后内角和增加了360°C．外角和没有发生变化D．若剪掉的角的度数是60°，则∠1+∠2=240°【答案】B【分析】本题考查了多边形的对角线，内角和与外角和，三角形内角和定理，解题的关键是【详解】解：A、三角形没有对角线，变成四边形后对角线为两条，即增加了两条，故正确，不合题意；B、三角形内角和为180°，变成四边形后内角和为360°，增加了180°，故错误，不合题意；C、任意多边形的外角和是360°，故正确，不合题意；D、若剪掉的角的度数是60°，则∠A+∠B=120°，则∠1+∠2=360°−120°=240°，故正确，不合题意；故选：B．【变式1-3】（23-24·浙江杭州·二模）将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若∠1=130°，则∠2的度数为 ．【答案】40°/40度【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键，根据平行线的性质可得∠FGH=∠1=130°，然后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．【详解】解：如图：  由题意得：AD∥BC， ∴∠FGH=∠1=130°， ∵∠FGH是△EFG的一个外角， ∴∠FGH=∠2+∠E， ∵∠E=90°，∴∠2=130°−90°=40°， 故答案为：40°．知识点2：8字模型①已知AD，BC相交于O，则∠A+∠B=∠C+∠D②已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则∠P=12 (∠B+∠D)【题型2 8字模型】【例2】（23-24八年级·浙江金华·期末）如图，BP平分∠ABC，交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，AB与CD相交于点G，∠A=42°． （1）若∠ADC=60°，求∠AEP的度数；（2）若∠C=38°，求∠P的度数．【答案】（1）72°；（2）40°．【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠ADP=12 ∠ADC ，然后利用三角形外角的性质即可得解；（2）根据角平分线的定义可得∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，再根据三角形的内角和定理可得∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，所以∠A+∠C=2∠P，即可得解．【详解】解：（1）∵DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF=12 ∠ADC， ∵∠ADC=60°，∴∠ADP=30°，∴∠AEP=∠ADP+∠A=30°+42°=72°；（2）∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC，∴∠ADP=∠PDF，∠CBP=∠PBA，∵∠A+∠ADP=∠P+∠ABP，∠C+∠CBP=∠P+∠PDF，∴∠A+∠C=2∠P，∵∠A=42°，∠C=38°，∴∠P=12（38°+42°）=40°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，角平分线的定义，熟记定理并理解“8字形”的等式是解题的关键．【变式2-1】（23-24八年级·河南漯河·期末）如图，AB和CD相交于点O，∠A＝∠C，则下列结论中不能完全确定正确的是（    ）A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D【答案】D【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．【详解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故选项A，B，C正确，故选D．【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．【变式2-2】（23-24八年级·北京怀柔·期末）如图，在由线段AB,CD,DF,BF,CA组成的平面图形中，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为（    ）．A．262° B．152° C．208° D．236°【答案】C【分析】如图标记∠1,∠2,∠3，然后利用三角形的外角性质得∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∠2=∠A+∠C，再利用∠2,∠3互为邻补角，即可得答案．【详解】解：如下图标记∠1,∠2,∠3，∵ ∠1=∠B+∠F=∠D+∠3，∵∠D=28°，∴∠3=∠B+∠F−28°，又∵∠2=∠A+∠C，∴∠2+∠3=∠A+∠C+∠B+∠F−28°，∵∠2+∠3=180°∴180°=∠A+∠C+∠B+∠F−28°，∴∠A+∠C+∠B+∠F=180°+28°=208°，故选C．【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．【变式2-3】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H六个角的和．【答案】360°【分析】根据三角形内角和外角的性质可得：∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，再根据三角形内角和定理可得答案．【详解】解：∵∠G＋∠D＝∠3，∠F＋∠C＝∠4，∠E＋∠H＝∠2，∴∠G＋∠D＋∠F＋∠C＋∠E＋∠H＝∠3＋∠4＋∠2，∵∠B＋∠2＋∠1＝180°，∠3＋∠5＋∠A＝180°，∴∠A＋∠B＋∠2＋∠4＋∠3＝360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＝360°．【点睛】此题主要考查了三角形内角与外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．知识点3：飞镖模型①已知四边形ABCD，则∠C=∠A+∠B+∠D②已知四边形ABCD，线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O=12 (∠A+∠C)【题型3 飞镖模型】【例3】（23-24·河北秦皇岛·一模）如图，用铁丝折成一个四边形ABCD（点C在直线BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分线的夹角∠E的度数为100°，可保持∠A不变，将∠BCD （填“增大”或“减小”） °．【答案】 增大 10【分析】利用三角形的外角性质先求得∠ABE+∠ADE=30°，根据角平分线的定义得到∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性质求解即可．【详解】解：如图，连接AE并延长，连接AC并延长，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，∵∠BAD＝70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分别是∠ABC、∠ADC平分线，∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，∴∠BCD增大了10°．故答案为：增大，10．【点睛】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义等知识，熟练运用题目中所给的结论是解题的关键．【变式3-1】（23-24八年级·江苏苏州·阶段练习）在社会实践手工课上，小茗同学设计了如上图这样一个零件，如果∠A=52°，∠B=25°，∠C=30°，∠D=35°，∠E=72°，那么∠F= °．  【答案】70【分析】延长BE、CF，交于点G，连接AG，根据三角形内角和定理和四边形的内角和为360°即可求解．【详解】解：延长BE、CF，交于点G，连接AG，如图，  ∴∠AGB=180°−∠B−∠BAG，∠AGC=180°−∠C−∠CAG，∴∠AGB+∠AGC=180°−∠B−∠BAG+180°−∠C−∠CAG=360°−∠B−∠C−∠BAC=253°，∴∠CGB=360°−∠AGB+∠AGC=107°．∵∠BED=72°，∴∠GED=108°，∴∠GFD=360°−∠GED−∠D−∠CGB=110°，∴∠CFD=70°．故答案为：70．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理．正确的作出辅助线是解题关键．【变式3-2】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，若∠EOC=115°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．【答案】230°【分析】根据三角形外角的性质，得到∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C，∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B，即可得到结论．【详解】解：如图∵∠EOC=∠E+∠2=115°，∠2=∠D+∠C， ∴∠E+∠D+∠C=115°， ∵∠EOC=∠1+∠F=115°，∠1=∠A+∠B， ∴∠A+∠B+∠F=115°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=230°， 故答案为：230°．【点睛】本题主要考查三角形内角和定理和三角形外角的性质，解决本题的关键是要熟练掌握三角形外角性质．【变式3-3】（23-24·河北邯郸·一模）嘉嘉在作业本上画了一个四边形，并标出部分数据（如图），淇淇说，这四个数据中有一个是标错的；嘉嘉经过认真思考后，进行如下修改：若∠A，∠B，∠BCD保持不变，则将图中∠D （填“增大”或“减小”） 度，淇淇说，“改得不错”．【答案】 增大 5【分析】连接BD，利用三角形的内角和计算即可．【详解】解：连接BD，∵∠CDB+∠CBD=180°−∠A−∠ABC−∠ADC∠CDB+∠CBD=180°−∠BCD∴∠A+∠ABC+∠ADC=∠BCD∵∠A=90°，∠ABC=25°，∠BCD=145°∴∠ADC=145°−25°−90°=30°∴30°−25°=5°故答案为：增大，5【点睛】本题主要考查三角形的内角和，添加辅助线利用三角形内角和计算是解决本题的关键．知识点4：双垂直模型已知∠B=∠D=∠ACE=90°.则∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.【证明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得证.【题型4 双垂直模型】【例4】（23-24八年级·广东珠海·期末）如图1，AB⊥BC于点B，CD⊥BC于点C，点E在线段BC上，且AE⊥DE．（1）求证：∠EAB＝∠CED；（2）如图2，AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，则∠F的度数是 （直接写出答案即可）；（3）如图3，EH平分∠CED，EH的反向延长线交∠BAE的平分线AF于点G．求证：EG⊥AF．（提示：三角形内角和等于180°）【答案】（1）见解析；（2）45°；（3）见解析【分析】（1）利用同角的余角相等即可证明；（2）过点F作FM∥AB，利用∠DFA=∠DFM+∠AFM=12∠CDE+12∠EAB=12（∠CDE+∠EAB）即可解决问题；（3）想办法证明∠EAG+∠AEG=90°即可解决问题.【详解】解：（1）∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∵AE⊥DE，∴∠AED＝90°，∴∠AEB+∠CED＝90°，∴∠BAE＝∠CED．（2）解：答案为45°；过点F作FM∥AB，如图，∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠B＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∵∠C＝90°，∴∠CED+∠CDE＝90°，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAE+∠CDE＝90°，∵AF、DF分别平分∠BAE和∠CDE，∴∠CDF＝12∠CDE，∠BAF＝12∠BAE，∴∠CDF+∠BAF＝12（∠BAE+∠CDE）＝45°，∵FM∥AB∥CD，∴∠CDF＝∠DFM，∠BAF＝∠AFM，∴∠AFD＝∠CDF+∠BAF＝45°．（3）∵EH平分∠CED，∴∠CEH＝12∠CED，∴∠BEG＝12∠CED，∵AF平分∠BAE，∴∠BAG＝12∠BAE，∵∠BAE＝∠CED，∴∠BAG＝∠BEG，∵∠BAE+∠BEA＝90°，∴∠BAG+∠GAE+∠AEB＝90°，即∠GAE+∠AEB+∠BEG＝90°，∴∠AGE＝90°，∴EG⊥AF．【点睛】本题考查三角形内角和定理、平行线的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．【变式4-1】（23-24八年级·陕西西安·期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：AD⊥CF．(2)连接AF，试判断△ACF的形状，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)△ACF为等腰直角三角形；理由见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质及等腰三角形性质和判定．（1）欲求证AD⊥CF，先证明∠CAG+∠ACG=90°，需证明∠CAG=∠BCF，利用三角形全等，易证．（2）要判断△ACF的形状，看其边有无关系．根据（1）的推导，易证CF=AF，从而判断其形状．【详解】（1）证明：在等腰直角△ABC中，∵∠ACB=90°，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴∠BDE=45°，∵BF∥AC，∴∠CBF=180°−∠ACB=90°，∴∠BFD=45°=∠BDE，∴BF=DB，又∵D为BC的中点，∴CD=DB，即BF=CD，在△CBF和△ACD中，BF=CD∠CBF=∠ACD=90°CB=AC，∴△CBF≌△ACD(SAS)．∴∠BCF=∠CAD．∵∠BCF+∠GCA=90°，∴∠CAD+∠GCA=90°，即AD⊥CF．（2）解：△ACF是等腰三角形，理由为：连接AF，如图所示，由（1）知：△CBF≌△ACD，∴CF=AD，∵△DBF是等腰直角三角形，且BE是∠DBF的平分线，∴BE垂直平分DF，∴AF=AD，∵CF=AD，∴CF=AF，∴△ACF是等腰三角形．【变式4-2】（23-24八年级·山西晋中·期中）请把下面的证明过程补充完整如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，求证：CF=CE．证明：∵ AE平分∠CAB（已知），∴ ∠CAE=∠FAB（ ① ），∵ ∠ACE=90°（已知），∴ ∠CAE+∠CEF=90°（ ② ），∵ CD是△ABC的高（已知），∴ ∠CDA=90°（三角形高的定义），∴（ ③ ），（直角三角形的两个锐角互余），∴ ∠CEF=∠AFD（ ④ ），∵ ∠CFE=∠AFD（ ⑤ ），∴ ∠CFE=∠CEF（ ⑥ ），∴ CF=CE（ ⑦ ）．【答案】①角平分线的定义；②直角三角形的两锐角互余；③∠FAD+∠AFD=90°；④等角的余角相等；⑤对顶角相等；⑥等量代换；⑦等角对等边【分析】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据角平分线的定义、直角三角形的性质、对顶角相等、等角对等边解答即可．【详解】证明：∵AE平分∠CAB（已知），∴∠CAE=∠FAB（角平分线的定义），∵∠ACE=90°（已知），∴∠CAE+∠CEF=90°（直角三角形的两锐角互余），∵CD是△ABC的高（已知），∴∠CDA=90°（三角形高的定义），∴∠FAD+∠AFD=90°（直角三角形的两锐角互余），∴∠CEF=∠AFD（等角的余角相等），∵∠CFE=∠AFD（对顶角相等），∴∠CFE=∠CEF（等量代换），∴CF=CE（等角对等边）．故答案为：角平分线的定义；直角三角形的两锐角互余；∠FAD+∠AFD=90°；等角的余角相等；对顶角相等；等量代换；等角对等边．【变式4-3】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，点O是BC的中点，点P是射线CB上的一个动点(点P不与点C、O、B重合)，过点C作CE⊥AP于点E，过点B作BF⊥AP于点F，连接EO，OF．  (问题探究)如图1，当P点在线段CO上运动时，延长EO交BF于点G．（1）求证：△AEC≌△BFA；（2）BG与AF的数量关系为：　　(直接写结论，不需说明理由)；(拓展延伸)（3）①如图2，当P点在线段OB上运动，EO的延长线与BF的延长线交于点G，∠OFE的大小是否变化？若不变，求出∠OFE的度数；若变化，请说明理由；②当P点在射线OB上运动时，若AE=2，CE=6，直接写出△OEF的面积，不需证明．【答案】（1）见解析；（2）BG=AF；（3）①∠OFE的大小不变，∠OFE=45°；②满足条件的△OEF的面积为8或16【分析】（1）根据等角的余角相等得出∠CAE=∠ABF，证明△AEC≌△BFAAAS；（2）证明△COE≌△BOGAAS得出CE=BG，则CE=AF，等量代换可得AF=BG；（3）①证明△AEC≌△BFAAAS，进而证明∠CEO=∠BGO证明△COE≌△BOGAAS得出∠EFO=12∠EFG=45°；②根据题意画出图形，分类讨论，根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】（1）证明：如图1中，  ∵CE⊥AE，BF⊥AE，∴∠AEC=∠BFA=∠CAB=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠CAE=∠ABF，在△AEC和△BFA中，∠AEC=∠BFA∠CAE=∠ABFAC=BA，∴△AEC≌△BFAAAS；（2）解：结论：BG=AF．理由：∵CE⊥AE，BF⊥AE，∴CE ∥ BG，∴∠CEO=∠BGO，∵O是BC的中点，∴OC=OB，在△COE和△BOG中，∠CEO=∠BGO∠AOE=∠BOGOC=OB，∴△COE≌△BOGAAS，∴CE=BG，∵△AEC≌△BFA，∴CE=AF，∴AF=BG．故答案为：BG=AF．（3）解：①如图2中，结论：∠OFE的大小不变，∠OFE=45°．  理由：∵CE⊥AE，BF⊥AE，∴∠AEC=∠BFA=∠CAB=90°，∴∠CAE+∠BAF=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠CAE=∠ABF，在△AEC和△BFA中，∠AEC=∠BFA∠CAE=∠ABFAC=BA，∴△AEC≌△BFAAAS；∴CE=AF，AE=BF，∵CE⊥AE，BF⊥AE，∴CE ∥ BG，∴∠CEO=∠BGO，∵O是BC的中点，∴OC=OB，在△COE和△BOG中，∠CEO=∠BGO∠AOE=∠BOGOC=OB，∴△COE≌△BOGAAS，∴CE=BG，OE=OG，∴AF=BG，∴EF=FG，根据△EFO≌△GFOSSS可得：∠EFO=∠GFO∴∠EFO=12∠EFG=45°；②如图2中，当AE=2，CE=6时，EF=FG=6−2=4，  ∴S△EOF=12S△EFC=12×12×4×4=4如图3中，当AE=2，CE=6时，EF=FG=6+2=8，  ∴S△EOF=12S△EFG=12×12×8×8=16综上所述，满足条件的△OEF的面积为8或16．【点睛】本题考查了全等三角形的证明与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的动点问题以及三角形求面积的问题，正确掌握知识点是解题的关键．知识点5：老鹰抓小鸡模型如图，∠A+∠O=∠1+∠2；口诀：腋下两角之和等于上下两角之和【题型5 老鹰抓小鸡模型】【例5】（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）如图，把△ABC沿EF对折，叠合后的图形如图所示．若∠A=60°，∠1=95°，则∠2的度数为（    ）A．24° B．35° C．30° D．25°【答案】D【分析】根据三角形内角和定理可得∠AEF+∠AFE=120°，再根据邻补角的性质可得∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，再根据由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，然后计算出∠1+∠2的度数，即可求得∠2的度数．【详解】∵∠A=60°，∴∠AEF+∠AFE=180°-60°=120°，∴∠FEB+∠EFC=360°-120°=240°，∵由折叠可得：∠B′EF+∠EFC′=∠FEB+∠EFC=240°，∴∠1+∠2=240°-120°=120°，∵∠1=95°，∴∠2=120°-95°=25°，故选D．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，翻折变换的性质，熟记定理及性质并准确识图是解题的关键．【变式5-1】（23-24八年级·重庆渝北·阶段练习）如图，将△ABC沿着DE翻折，使B点与B'点重合，若∠1+∠2=80°，则∠B的度数为 ．  【答案】40°/40度【分析】由翻折的性质可知，∠B=∠B'，∠BED=∠B'ED，∠BDE=∠B'DE，由∠BED+∠B'ED+∠1=180°，∠BDE+∠B'DE+∠2=180°，∠1+∠2=80°，可得∠BED+∠BDE=140°，根据∠B=180°−∠BED+∠BDE，计算求解即可．【详解】解：由翻折的性质可知，∠B=∠B'，∠BED=∠B'ED，∠BDE=∠B'DE，∵∠BED+∠B'ED+∠1=180°，∠BDE+∠B'DE+∠2=180°，∠1+∠2=80°，∴∠BED+∠BDE=140°，∴∠B=180°−∠BED+∠BDE=40°，故答案为：40°．【点睛】本题考查了翻折的性质，三角形内角和定理．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．【变式5-2】（23-24八年级·安徽铜陵·期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且A′B平分∠ABC，A′C平分∠ACB，若∠1＋∠2＝120°，则∠BA′C的度数为（    ）A．120° B．110° C．100° D．90°【答案】A【详解】由∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角知∠BDE＝∠A+∠AED、∠CED＝∠A+∠ADE，据此得∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，推出∠1+∠2＝2∠A得到∠A＝60°，根据BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB知∠A'BC+∠A'CB＝12（∠ABC+∠ACB）＝90°﹣12∠A．利用∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB）可得答案．解：∵∠BDE、∠CED是△ADE的两个外角，∴∠BDE＝∠A+∠AED，∠CED＝∠A+∠ADE，∴∠BDE+∠CED＝∠A+∠AED+∠A+∠ADE，∴∠1+∠ADE+∠2+∠AED＝2∠A+∠AED+∠ADE，即∠1+∠2＝2∠A，∵∠1+∠2＝120°，∴∠A＝60°，∵BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，∴∠A'BC+∠A'CB＝12（∠ABC+∠ACB）＝12（180°﹣∠A）＝90°﹣12∠A．∴∠BA'C＝180°﹣（∠A'BC+∠A'CB），＝180°﹣（90°﹣12∠A）＝90°+12∠A＝90°+12×60°＝120°．故选：A．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于中考常考题型．【变式5-3】（23-24八年级·山东烟台·期中）折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的传统文化在几何中可以得到新的解读．已知在△ABC中，请根据题意，探索不同情境中∠1+∠2（或∠1－∠2）与∠A的数量关系．(1)如图①，若∠A＝80°，沿图中虚线DE截去∠A，则∠1+∠2＝_______．(2)如图②，若∠A＝80°，沿图中虚线DE将∠A翻折，使点A落在BC上的点A’处，则∠1+∠2=_______．(3)如图③，翻折后，点A落在点A’处，若∠1+∠2＝80°，求∠B+∠C的度数(4)如图④，△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A’处，若∠1＝80°，∠2＝24°，求∠A的度数．【答案】(1)260°(2)160°(3)∠B+∠C=140°(4)∠A=28°【分析】（1）根据三角形内角和定理得出∠B+∠C＝180°-80°=100°，再由平角进行求解即可；（2）利用翻折的性质得出∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,根据三角形内角和定理得出∠ADE+∠AED＝100°，结合图形，由平角及各角之间的关系进行计算即可‘（3）连接AA'．根据三角形外角的性质得出∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，然后利用各角之间的数量关系得出∠EAD=40°，再由三角形内角和定理即可求解；（4）设AB与DA'交于点F，根据三角形外角得出∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A'+∠2，再由折叠的性质得出∠A=∠A'，结合图形及各角之间的数量关系进行求解即可【详解】（1）解：∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∴∠1+∠2=360°−∠ADE−∠AED=260°，故答案为：260°；（2）∵∠A＝80°，∴∠ADE+∠AED＝180°-80°=100°，∵翻折，∴∠EDA’=∠ADE，∠AED=∠DEA’,∴∠ADA’+∠AEA’＝2(∠ADE+∠AED)=200°，∴∠1+∠2=360°-(∠ADA’+∠AEA’)=160°，故答案为：160°；（3）解：连接AA'．如图所示：∵∠1=∠DAA’+∠DA’A，∠2=∠EAA’+∠EA’A，∴∠1+∠2=∠DAA’+∠DA’A+∠EAA’+∠EA’A=∠EAD+∠EA’D，∵∠EAD=∠EA'D，∴∠1+∠2=2∠EAD=80°，∴∠EAD=40°，∴∠B+∠C=180°−40°=140°．（4）解：如图，设AB与DA'交于点F，∵∠1=∠DFA+∠A，∠DFA=∠A'+∠2，由折叠可得，∠A=∠A'，∴∠1=∠A+∠A'+∠2=2∠A+∠2，又∵∠1=80°，∠2=24°，∴80°=2∠A+24°，∴∠A=28°．【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及三角形外角的性质，平角的定义等，理解题意，作出相应辅助线求解是解题关键．知识点6：两内角角平分线模型在△ABC中，BI、CI分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且相交于点I. 则【题型6 两内角角平分线模型】【例6】（23-24八年级·河南信阳·开学考试）如图，AD，CE都是△ABC的角平分线，且交于点O，∠DAC=30°，∠ECA=35°，则∠ABO的度数为 ．【答案】25°/25度【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线，利用角平分线的定义结合三角形内角和定理找出∠ABO的度数是解题的关键．根据角平分线的定义可得出∠BAC=60°、∠ACB=70°，结合三角形内角和可得出∠ABC=50°，由三角形的三条角平分线交于一点，可得出BO平分∠ABC，进而可得出∠ABO的度数，此题得解．【详解】解：∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∠DAC=30°，∠ECA=35°，∴∠BAC=2∠DAC=60°，∠ACB=2∠ECA=70°，∴∠ABC=180°−∠BAC−∠ACB=50°．∵△ABC的三条角平分线交于一点，∴BO平分∠ABC，∴∠ABO=12∠ABC=25°．故答案为：25°．【变式6-1】（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线BE，CF相交于点G，若∠A=66°，则∠BGC的度数为 ．【答案】123°/123度【分析】本题考查角平分线和三角形内角和定理，熟练利用角平分线的性质和三角形内角和定理找出题目中角的等量关系是解答本题的关键．由角平分线的性质可知∠GBC=12∠ABC，∠GCB=12∠ACB，再由三角形内角和定理可知∠BGC=180°−∠GBC+∠GCB，即可求解．【详解】∵ ∠A=66°，∴ ∠ABC+∠ACB=180°−∠A=114°，∵ BE和CF分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴ ∠GBC=12∠ABC，∠GCB=12∠ACB，∴ ∠BGC=180°−∠GBC+∠GCB=180°−12∠ABC+∠ACB=123°，故答案为：123°．【变式6-2】（23-24八年级·河南信阳·开学考试）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，它们相交于点O，∠AOB=125°．求∠CAD的度数．  【答案】∠CAD=20°．【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的内角和定理，以及余角的性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确求出∠C=70°，从而求出答案．根据角平分线的性质，由∠AOB=125°，得到∠CAB+∠CBA=110°，然后得到∠C，由余角的性质，即可求出答案．【详解】解：∵AE，BF分别是∠BAC和∠ABC的角平分线，∴∠OAB=12∠BAC，∠OBA=12∠ABC．∴∠CAB+∠CBA=2(∠OAB+∠OBA)=2180°−∠AOB∵∠AOB=125°，∴∠CAB+∠CBA=110°，∴∠C=70°．∵AD是BC边上的高∴∠ADC=90°，∴∠CAD=20°．【变式6-3】（23-24八年级·山东烟台·期末）如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，EG∥BC，CG⊥EG于点G，则下列结论：①∠CEG=2∠DCA；②∠DFE=130°；③∠EFC=12∠G：④∠ADC=∠GCD；⑤△EGC是等腰直角三角形，其中正确的结论是（     ）A．①③④⑤ B．①②③④ C．①②③ D．①③④【答案】D【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键．根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判断④；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出∠BFC=135°，即可判断②③；根据现有条件无法推出⑤．【详解】解：∵CD平分∠ACB，∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD∵EG∥BC，∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确；∵∠A=90°，CG⊥EG，EG∥BC，∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°，∴∠GCD+∠BCD=90°，又∵∠BCD=∠ACD，∴∠ADC=∠GDC，故④正确；∵∠A=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°，∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB，∴ ∠FBC=12∠ABC,∠FCB=12∠ACB，∴ ∠BFC=180°−∠FBC−∠FCB=180°−12(∠ACB+∠ABC)=135°，∴∠EFC=180°−∠BFC=45°，∵CG⊥EG∴∠G=90°，∴ ∠EFC=12∠G，故③正确；∵∠BFC=135°，∴∠DFE=∠BFC=135°，故②错误；∵∠G=90°∴△EGC是直角三角形，根据现有条件，无法推出CG=CE，即无法得到△EGC是等腰直角三角形，故⑤错误；∴正确的有①③④，故选：D．知识点7：两外角角平分线模型在△ABC中，BI、CI分别是△ABC的外角的角平分线，且相交于点O. 则.【证明】∵BO是∠EBC平分线，∴，∵CO是∠FCB平分线，∴由△BCO中内角和定理可知：∠O=180°-∠2-∠5=180°--=180°--===【题型7 两外角角平分线模型】【例7】（23-24八年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠B=58°，三角形两外角的角平分线交于点E，则∠AEC= ．【答案】61°【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠DAC+∠ACF的度数，再根据角平分线的定义求得∠EAC+∠ECA的度数，即可解答．【详解】解：∵∠B+∠BAC+∠BCA=180°，∠B=58°，∴∠BAC+∠BCA=180°﹣∠B=180°﹣58°=122°，∵∠BAC+∠DAC=180°，∠BCA+∠ACF=180°，∴∠DAC+∠ACF=360°﹣（∠BAC+∠BCA）=360°﹣122°=238°，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠EAC=12∠DAC，∠ECA=12∠ACF，∴∠EAC+∠ECA =12（∠DAC+∠ACF）=119°，∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°﹣（∠EAC+∠ECA）=180°﹣119°=61°，故答案为：61°．【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角平分线的定义是解答的关键．【变式7-1】（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，G是ΔAFE两外角平分线的交点，P是ΔABC的两外角平分线的交点，F，C在AN上，又B，E在AM上；如果∠FGE=66°，那么∠P= 度．【答案】66【分析】利用角平分线的定义和三角形、四边形的内角和可求得：∠G=180°−12×[360°−(180°−∠A)]=90°−12∠A，∠P=180°−12×[360°−(180°−∠A)]=90°−12∠A，所以∠P=∠FGE=66°．【详解】解：因为G是△AFE两外角平分线的交点，∴∠FGE=180°−12×[360°−(180°−∠A)]=90°−12∠A，∵P是△ABC两外角平分线的交点，∴∠P=180°−12×[360°−(180°−∠A)]=90°−12∠A，∴∠P=∠FGE=66°．故答案为：66．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质和三角形外角的性质，结合图形熟练运用定理和性质进行求解是解题的关键．【变式7-2】（23-24八年级·山东聊城·期末）如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，D是∠ACF与∠ABC平分线的交点，E是△ABC的两外角平分线的交点，若∠BOC=130°，则∠D的度数为 （     ）A．25° B．30° C．40° D．50°【答案】C【分析】根据角平分线的定义和平角定义可得∠OCD＝∠ACO＋∠ACD＝90°，根据外角的性质可得∠BOC=∠OCD+∠D，继而即可求解．【详解】解：∵CO平分∠ACB，CD平分∠ABC的外角，∴∠ACO=12∠ACB，∠ACD=12∠ACF，∵∠ACB+∠ACF=180°，∴∠OCD=∠ACO+∠ACD=12∠ACB+∠ACF=90°，∴∠BOC=∠OCD+∠D，∴∠D=∠BOC−∠OCD=130°−90°=40°，故选择C．【点睛】本题考查角平分线的定义，平角定义，三角形的外角性质，解题的关键是根据角平分线定义和平角定义可得∠OCD＝90°，根据外角的性质求得∠BOC=∠OCD+∠D．【变式7-3】（23-24八年级·全国·课后作业）（分类讨论思想）△ABC的两外角平分线交于点F．  (1)如图1，若∠A=30°，则∠BFC的度数为__________．(2)如图2，过点F作直线MN∥BC，分别交射线AB，AC于点M，N，若设∠MFB=α，∠NFC=β，则∠A与α+β的数量关系是__________．(3)在（2）的条件下，将直线MN绕点F转动．①如图3，当直线MN与线段BC没有交点时，试探索∠A与α，β之间的数量关系，并说明理由．②当直线MN与线段BC有交点时，试问①中∠A与α，β之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出三者之间的数量关系．【答案】(1)75°(2)α+β−12∠A=90°(3)①α+β−12∠A=90°，见解析；②不成立，β−α−12∠A=90°或α−β−12∠A=90°【分析】（1）由三角形内角和定理可得∠ACB+∠ABC=180°−∠A，从而可得∠CBD+∠BCE=180°+∠A，再由角平分线的定义可得∠CBF+∠BCF=90°+12∠A，最后由三角形内角和定理可得∠BFC=90°−12∠A，进行计算即可；（2）由（1）可得由（1）可得∠BFC=90°−12∠A，再由α+∠BFC+β=180°代入进行计算即可；（3）①根据（1）中的结论∠BFC=90°−12∠A，以及平角的定义，即可得到答案；②分两种情况进行讨论：根据（1）中的结论∠BFC=90°−12∠A，以及平角的定义，即可得到答案．【详解】（1）解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∴∠ACB+∠ABC=180°−∠A，∵∠ACB+∠BCE=180°，∠ABC+∠CBD=180°，∴∠CBD+∠BCE=180°−∠ABC+180−∠ACB=360°−∠ABC+∠ACB=360°−180°−∠A=180°+∠A，∵BF和CF分别是∠DBC和∠BCE的平分线，∴∠CBF=12∠CBD，∠BCF=12∠BCE，∴∠CBF+∠BCF，=12∠CBD+12∠BCE=12∠CBD+∠BCE=12×180°+∠A=90°+12∠A，∵∠BFC+∠CBF+∠BCF=180°，∴∠BFC=180°−∠CBF+∠BCF=180°−90°+12∠A=90°−12∠A=75°，故答案为：75°；（2）解：α+β−12∠A=90°，由（1）可得∠BFC=90°−12∠A，∵α+∠BFC+β=180°，∴α+β+90°−12∠A=180°，即α+β−12∠A=90°．（3）解：①当直线MN与线段BC没有交点时，α+β−12∠A=90°，理由如下：∵∠BFC=90°−12∠A，∠MFB+∠NFC+∠BFC=180°，∴α+β+90°−12∠A=180°，即α+β−12∠A=90°；②当直线MN与线段BC有交点时，①中∠A与α，β之间的数量关系不成立，需分两种情况讨论：a．如图1，当M在线段AB上，N在射线AC上时，β−α−12∠A=90°，，∵∠BFC=90°−12∠A，∠BFC−∠MFB+∠NFC=180°，∴90°−12∠A−α+β=180°，即β−α−12∠A=90°，b．如图2，当M在射线AB上，N在线段AC上时，α−β−12∠A=90°，，∵∠BFC=90°−12∠A，∠BFC−∠NFC+∠MFB=180°，∴90°−12∠A−β+α=180°，即α−β−12∠A=90°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平角的定义等知识，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．知识点8：一内一外角角平分线模型已知△ABC中，BP、CP分别是△ABC的内角和外角的角平分线，且相交于点P. 则【证明】 ∵BP是∠ABC平分线，∴ ∵CP是∠ACE平分线，∴由△ABC外角定理可知：∠ACE=∠ABC+∠A即：2∠1=2∠3+∠A ……①对①式两边同时除以2，得：∠1=∠3+ ……②又在△BPC中由外角定理可知：∠1=∠3+∠P ……③比较②③式子可知：.【题型8 一内一外角角平分线模型】【例8】（23-24八年级·江苏泰州·期末）如图，点B、C分别在AM、AN上运动（不与A重合），CD是∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P．知道下列哪个条件①∠ABC+∠ACB；②∠A；③∠NCD−∠ABP；④∠ABC的值，不能求∠P大小的是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】本题考查三角形外角的性质与内角和定理，根据三角形外角的性质及角平分线的定义可得∠P=∠NCD−∠ABP，可判断③，再利用三角形外角的性质得到∠A=∠NCB−∠ABC，等量代换可判断②，根据三角形内角和定理及等量代换可判断①和④，即可求解．【详解】解：∵CD是∠BCN的平分线，CD的反向延长线交∠ABC的平分线于点P，∴∠NCD=∠BCD，∠ABP=∠CBP，∵∠P=∠DCB−∠CBP，∴∠P=∠NCD−∠ABP，∴③能求出∠P的大小；∵∠A=∠NCB−∠ABC=2∠NCD−∠ABP，∠P=∠NCD−∠ABP∴∠P=12∠A，∴②能求出∠P的大小；∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A，∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB∵∠P=12∠A，∴∠P=12180°−∠ABC+∠ACB=90°−12∠ABC+∠ACB，∴①能求出∠P的大小，④不能求出∠P的大小；故选：D．【变式8-1】（23-24八年级·四川遂宁·开学考试）如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点，若∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，∠ABC的角平分线与∠ACD的角平分线交于点M，则∠M= 度．【答案】30【分析】本题考查了三角形的外角定理，与角平分线有关的计算．解题的关键是掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，以及角平分线的定义．先根据∠A:∠ABC=3:4，∠ACD=140°，求出∠ABC=80°，进而得出∠CBM=12∠ABC=40°,∠CDM=12∠ACD=70°，最后根据三角形的外角定理即可解答．【详解】解：∵∠ACD=140°，∴∠A+∠ABC=140°∵∠A:∠ABC=3:4，∴∠ABC=140°×43+4=80°，∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACD，∴∠CBM=12∠ABC=40°,∠CDM=12∠ACD=70°，∴∠M=∠DCM−∠CBM=30°，故答案为：30．【变式8-2】（23-24八年级·四川眉山·开学考试）如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分∠EAC、∠ABC和∠ACF．以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③DB平分∠ADC；④∠ADC=90°−∠ABD．其中正确的结论有 ．（填序号）【答案】①②④【分析】证明∠EAD=∠DAC，由三角形外角得∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，得出∠EAD=∠ABC，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；由AD∥BC，得出∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，所以∠ABD=∠DBC，∠ABC=2∠ADB，进而可判断出②是否正确；假设DB平分∠ADC，推出与题干不符的结论，进而可判断出③是否正确，由∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，利用角的关系得∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，进而可判断出④是否正确；【详解】解：①∵AD平分△ABC的外角∠EAC，∴∠EAD=∠DAC，∵∠EAC=∠ACB+∠ABC，且∠ABC=∠ACB，∴∠EAD=∠ABC，∴AD∥BC，故①正确；②由（1）可知AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABC=2∠ADB，∵∠ABC=∠ACB，∴∠ACB=2∠ADB，故②正确；③若DB平分∠ADC，∴∠ADB=∠CDB，∵∠ADB=∠DBC=∠ABD，∴∠ADB=∠DBC=∠ABD=∠CDB，∴∠ABC=∠ADC，与题干条件矛盾．故③错误.④在△ADC中，∠ADC+∠CAD+∠ACD=180°，∵CD平分△ABC的外角∠ACF，∴∠ACD=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠DCF，∠ADB=∠DBC，∠CAD=∠ACB，∴∠ACD=∠ADC，∠CAD=∠ACB=∠ABC=2∠ABD，∴∠ADC+∠CAD+∠ACD=∠ADC+2∠ABD+∠ADC=2∠ADC+2∠ABD=180°，∴∠ADC+∠ABD=90°，∴∠ADC=90°−∠ABD，故④正确；故答案为：①②④【点睛】此题考查三角形的外角性质，平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，解题关键在于掌握外角性质.【变式8-3】（23-24八年级·河南开封·期末）如图，在△ABC中，∠A=48°，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线相交于点A1，得到∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得到∠A2；……按此规律继续下去，∠An−1BC与∠An−1CD的平分线相交于点An，要使∠An的度数为整数，则n的最大值为（    ）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的内角和，三角形的外角定理，角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和是解题的关键．先根据外角和定理得出∠ACD=∠ABC+∠A，再根据题意总结出规律，∠An=(12)n∠A即可得到答案．【详解】解：∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴ ∠ACD=∠ABC+∠A，∵ △ABC的内角∠ABC与外角∠ACD的平分线相交于点A1，得到∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CA=12∠ACD，∴∠A1=180°−∠A1BC−∠A1CB=180°−12∠ABC−(∠ACB+∠A1CA)=180°−12∠ABC−∠ACB−12∠ACD=180°−12∠ABC−∠ACB−12(∠ABC+∠A)=180°−∠ABC−∠ACB−12∠A=∠A−12∠A=12∠A，同理可得，∠A2=12∠A1=(12)2∠A，∠A3=12∠A2=(12)3∠A，......∠An=(12)n∠A，∵∠A=48°，∴∠An=(12)n×48°，∵∠An的度数为整数，48=3×24，∴n的最大值为4．故选B．知识点9：三角形折叠模型①将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在线段AC上时，则∠2=2∠C.②将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE内部时,则2∠C=∠1+∠2或 ∠C=12（∠1+∠2）③将三角形纸片ABC沿EF边折叠，当点C落在四边形ABFE外部时,则2∠C=∠2-∠1或 ∠C=12（∠2-∠1）.【题型9 三角形折叠模型】【例9】（23-24八年级·河南信阳·开学考试）如图所示，将三角形纸片ABC沿DE折叠．(1)当点A落在四边形BCDE内部时，∠A、∠1、∠2的度数之间有怎样的数量关系？请你把它找出来，并说明你的理由；(2)当点A落在四边形BCDE外部时，∠A、∠1、∠2的度数之间又有怎样的数量关系？直接写出结论，不用说明理由．【答案】(1)∠A=12∠1+∠2，理由见解析(2)∠A=12∠1−∠2【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理翻折的性质，整体思想的利用是解题的关键．（1）根据翻折的性质表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出∠3、∠4，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解．【详解】（1）解：∠A=12∠1+∠2，理由如下：如图，根据翻折的性质，∠3=12180°−∠1，∠4=12180°−∠2，∵∠A+∠3+∠4=180°，∴∠A+12180°−∠1+12180°−∠2=180°，整理得，∠A=12∠1+∠2；（2）∠A=12∠1−∠2，理由如下：如图：根据翻折的性质，∠3=12180°−∠1，∠4=12180°+∠2，∵∠A+∠3+∠4=180°，∴∠A+12180°−∠1+12180°+∠2=180°，整理得，∠A=12∠1−∠2．【变式9-1】（23-24八年级·上海·期中）如图，在锐角△ABC中，D、E分别是边AB和AC上的点，将这个△ABC纸片沿DE折叠，点A落在点F的位置．如果DF∥BC，∠B=60°，∠CEF=10°，那么∠F= ．【答案】55°/55度【分析】本题考查的是翻折问题和三角形内角和定理，先根据平行线的性质求出∠ADF的度数，再由∠CEF=10°求出∠DEC的度数，根据翻折变换的性质求出∠EDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出∠F的度数．【详解】解：∵DF∥BC，∠B=60°，∴∠ADF=60°．∵△DEF由△DEA翻折而成，∴∠EDF=12∠ADF=12×60°=30°，∠A=∠F．∵∠CEF=10°，∴∠DEC=180°−10°2=85°，∴∠DEF=85°+10°=95°，∴∠F=180°−∠EDF−∠DEF=180°−30°−95°=55°．故答案为：55°．【变式9-2】（23-24八年级·河南南阳·期末）在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=2∠B，点D在BC边上，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE和边AC重合时结束，边AE交边BC于点F．若折叠过程中，△DEF中有两个角相等，则此时∠BAD的度数为 ．【答案】45°或22.5°【分析】设∠BAD=x°，根据三角形的外角性质可得∠ADF=30°+x°，求得∠ADB=150°−x°，根据折叠的性质可得∠ADE=∠ADB=150°−x°，∠B=∠E=30°，求得∠FDE=120°−2x°，根据三角形内角和定理求得∠DFE=2x°+30°，分∠FDE=∠DFE、∠DFE=∠E、∠EDF=∠E三种情况，列方程解答即可求解．【详解】解：设∠BAD=x°，∵∠BAC=90°，∠C=2∠B，∴∠B+∠C=3∠B=90°，∴∠B=30°，∴∠ADF=∠B+∠BAD=30°+x°，∴∠ADB=180°−∠ADF=150°−x°，∵折叠，∴∠ADE=∠ADB=150°−x°，∠B=∠E=30°，∴∠FDE=∠ADE−∠ADF=120°−2x°，∴∠DFE=180°−∠FDE−∠E=2x°+30°，当△DEF中有两个角相等，分三种情况：当∠DFE=∠E时，则30°=2x°+30°，x=0（舍去）；当∠FDE=∠E时，则30°=120°−2x°，x=45；当∠DFE=∠FDE时，则120°−2x°=2x°+30°，x=22.5；故答案为：45°或22.5°．【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形两锐角互余，三角形的外角性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上性质是解题的关键．【变式9-3】 （23-24八年级·四川宜宾·期末）在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=22°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处．有以下四个结论：①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC'=44°；②如图2，当点C'落在△ABC内部时，∠ADC'+∠BEC'=44°；③如图3，当点C'落在△ABC上方时，∠BEC'−∠ADC'=44°；④当C'E∥AB时，∠CDE=34°或∠CDE=124°，其中正确结论的个数是（    ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查了折叠的性质，三角形外角的性质，三角形内角和及平行线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质及三角形外角的性质、三角形内角和可判断①②③；分点C'落在△ABC上方与下方两种情况，由平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质与三角形内角和即可判断④．【详解】解：当点C'落在BC边上时，由折叠性质得：CD=C'D，则∠DC'C=∠C=22°，∴∠ADC'=∠DC'C+∠C=44°，故①正确；当点C'落在△ABC内部时，由折叠性质得：∠CDE=∠C'DE，∠CED=∠C'ED，又∠CDE+∠CED=180°−∠C，∵∠ADC'=180°−∠C'DE−∠CDE=180°−2∠CDE，∠BEC'=180°−∠C'ED−∠CED=180°−2∠CED，∴∠ADC'+∠BEC'=180°−2∠CDE+180°−2∠CED=360°−2(∠CDE+∠CED)=360°−2(180°−∠C)=2∠C=44°；故②正确；当点C'落在△ABC上方时，由折叠性质得：∠CDE=∠C'DE，∠CED=∠C'ED，又∠CDE+∠CED=180°−∠C，∵∠ADC'=∠C'DE+∠CDE−180°=2∠CDE−180°，∠BEC'=180°−∠C'ED−∠CED=180°−2∠CED，∴∠BEC'−∠ADC'=180°−2∠CED+180°−2∠CDE=360°−2(∠CED+∠CDE)=360°−2(180°−∠C)=2∠C=44°；即∠BEC'−∠ADC'=44°；故③正确；当C'E∥AB时，若点C'在AC下方，如图，∵C'E∥AB，∴∠C'EB=∠B=90°−∠C=68°；由折叠性质得：∠C'ED=∠CED，即∠C'EB+∠DEB=180°−∠C−∠CDE；而∠DEB=∠C+∠CDE，∴∠C'EB+∠C+∠CDE=180°−∠C−∠CDE，∴∠C'EB=180°−2∠C−2∠CDE，即∠CDE=34°；若点C'在AC上方，如图，∵C'E∥AB，∴∠C'EC=∠B=90°−∠C=68°；由折叠性质得：∠C'ED=∠CED，∴∠CED=12∠C'ED=34°，∴∠CDE=180°−∠C−∠CED=124° 综上，∠CDE=34°或∠CDE=124°；故④正确．故选：D．