河南省郑州市郑东新区外国语学校2024-2025学年九年级上学期9月作业数学试题

这是一份河南省郑州市郑东新区外国语学校2024-2025学年九年级上学期9月作业数学试题，共23页。试卷主要包含了关于x的方程等内容，欢迎下载使用。

1．已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（ ）
A．（x﹣3）（x+4）＝0B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
2．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k≥B．k≥﹣且k≠0
C．k≤且k≠0D．k≤﹣
3．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门，若花圃的面积刚好为40m2，则此时花圃AB段的长为（ ）m．

第3题图 第5题图
A．4或B．C．4D．10
4．关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣（m﹣1）x+1＝0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．±1D．0
5．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（ ）
A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468 B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468
C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468 D．（30﹣x）（20﹣x）＝468
6．若实数b，c满足c﹣b+2＝0，则关于x的方程x2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．若关于x的一元二次方程kx2+4x+k（k﹣1）＝0有一个实数根为0，则k＝（ ）
A．k＝0B．k＝﹣1C．k＝0或1D．k＝1
8．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
第8题图 第9题图 第10题图
A．（1）处可填∠A＝90°B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填DC＝CBD．（4）处可填∠B＝∠D
9．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PB2+PD2＝2PA2．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、CD上，连接AF交BD于点G，连接BE交AC于点H，连接HG．若AF＝BE，则下列结论：①AF⊥BE；
②BH＝AG； ③HG＝GD； ④△ABH≌△GBH； ⑤S△AHE：S△AGD＝GF：BH．
其中正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
二．填空题（共5小题）
11．若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则n的值为 ．
12．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为 ．
13．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝，则GH的最小值为 ．
第13题图 第14题图
14．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．给出以下结论：
①矩形DEFG是正方形； ②； ③CG平分∠DCF； ④．
其中正确的序号为 ．
15．已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 ．
三．解答题（共7小题）
16．按要求解下列方程：
（1）5（x+1）2＝7（x+1）（用适当方法）； （2）2x2+4x﹣3＝0（公式法）；
（x+8）（x+1）＝﹣12（用适当方法）； （4）（x﹣2）2＝4（用适当方法）；
17．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
解：方程两边同除以（3x﹣1），得3x﹣1＝2．…第一步
移项，合并同类项，得3x＝3．…第二步
系数化为1，得x＝1．…第三步
任务：
①小明的解法从第 步开始出现错误；
②此题的正确结果是 ．
③用因式分解法解方程：3x（x+2）＝2x+4．
18．在方程x2﹣3x＝0中，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，把方程左边因式分解得到x（x﹣3）＝0，根据“任何数与0相乘都得0”，我们可知“两个因式中只要有一个因式的值为0，乘积就为0，”即方程可以转化为：x＝0或x﹣3＝0，解这两个一次方程得：x＝0或x＝3．所以原方程的解有两个，分别为：x＝0或x＝3．
上述将方程x2﹣3x＝0转化为x＝0或x﹣3＝0的过程，是将来学习的一元二次方程的解法中，通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．
规范书写如下：
解：x2﹣3x＝0
x（x﹣3）＝0
x＝0或x﹣3＝0
∴x＝0或x＝3
仿照上面的方法和规范，解决下列问题：
（1）解方程9x2﹣4＝0
（2）解方程a2﹣2a﹣3＝0；
类比上面的思路，解决下列问题．
根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，请你直接写出一元二次不等式a2﹣2a﹣3＞0的解集．
19．定义新运算：对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}＝4．
（1）填空：Max{﹣2，﹣4}＝ ；
（2）按照这个规定，解方程．
20．已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
21．对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根．
问题：探究方程2x（|x|﹣2）＝1的实数根的情况．
下面是小董同学的探究过程，请帮她补全：
（1）设函数y＝2x（|x|﹣2），这个函数的图象与直线y＝1的交点的 坐标（填“横”或“纵”）就是方程2x（|x|﹣2）＝1的实数根．
（2）注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得：
当x≤0时，y＝﹣2x2﹣4x；
当x＞0时，y＝ ；
（3）在如图的坐标系中，已经画出了当x≤0时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当x＞0时的函数图象．
（4）画直线y＝1，由此可知2x（|x|﹣2）＝1的实数根有 个．
（5）深入探究：若关于x的方程2x（|x|﹣2）＝m有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则m的取值范围是 ．
22．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．已知一元二次方程的两根分别为x1＝3，x2＝﹣4；则这个方程为（ ）
A．（x﹣3）（x+4）＝0B．（x+3）（x﹣4）＝0
C．（x+3）（x+4）＝0D．（x﹣3）（x﹣4）＝0
【解答】解：∵方程两根分别为x1＝3，x2＝﹣4，
∴x1+x2＝3﹣4＝﹣1，x1x2＝﹣12，
∴方程为x2+x﹣12＝0．
把方程的右边分解因式得：（x+4）（x﹣3）＝0，
故选：A．
2．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（ ）
A．k≥B．k≥﹣且k≠0
C．k≤且k≠0D．k≤﹣
【解答】解：因为关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，
所以（﹣3）2﹣4k≥0，
解得k≤，
又因为k≠0，
所以k的取值范围是：k≤且k≠0．
故选：C．
3．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门，若花圃的面积刚好为40m2，则此时花圃AB段的长为（ ）m．
A．4或B．C．4D．10
【解答】解：设AB＝x米，则BC＝（20﹣3x+2）米，
依题意，得：x（20﹣3x+2）＝40，
整理，得：3x2﹣22x+40＝0，
解得：，x2＝4．
当时，20﹣3x+2＝12＞11，不合题意，舍去；
当x＝4时，20﹣3x+2＝10，符合题意．
故选：C．
4．关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣（m﹣1）x+1＝0是一元二次方程，则m的值是（ ）
A．﹣1B．1C．±1D．0
【解答】解：根据题意得：，
解得：m＝1．
故选：B．
5．在长为30m，宽为20m的长方形田地中开辟三条入口宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468m2，求道路的宽度设道路的宽度为x（m），则可列方程（ ）
A．（30﹣2x）（20﹣x）＝468
B．（20﹣2x）（30﹣x）＝468
C．30×20﹣2×30x﹣20x＝468
D．（30﹣x）（20﹣x）＝468
【解答】解：设入口的宽度为x m，由题意得：
（30﹣2x）（20﹣x）＝468．
故选：A．
6．若实数b，c满足c﹣b+2＝0，则关于x的方程x2+bx+c＝0根的情况是（ ）
A．有两个相等实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【解答】解：∵实数b，c满足c﹣b+2＝0，
∴c＝b﹣2，
∴Δ＝b2﹣4c
＝b2﹣4（b﹣2）
＝（b﹣2）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
7．若关于x的一元二次方程kx2+4x+k（k﹣1）＝0有一个实数根为0，则k＝（ ）
A．k＝0B．k＝﹣1C．k＝0或1D．k＝1
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+4x+k（k﹣1）＝0有一个实数根为0，
∴把x＝0代入一元二次方程kx2+4x+k（k﹣1）＝0，得k（k﹣1）＝0，
解得k＝0或k＝1，
∵k≠0，
∴k＝1．
故选：D．
8．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ）
A．（1）处可填∠A＝90°B．（2）处可填AD＝AB
C．（3）处可填DC＝CBD．（4）处可填∠B＝∠D
【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，
∴（1）处可填∠A＝90°是正确的，故该选项不符合题意；
B、一组邻边相等的矩形是正方形，
∴（2）处可填AD＝AB是正确的，故该选项不符合题意；
C、一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴（3）处可填DC＝CB是正确的，故该选项不符合题意；
D、有一个角是直角的菱形是正方形，
∴∠B＝∠D无法判定两角是不是直角，故该选项不符合题意；
故选：D．
9．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列四个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③∠PFE＝∠BAP；④PB2+PD2＝2PA2．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【解答】解：过P作PG⊥AB于点G，延长AP到EF上于一点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°，
∵PE⊥BC，PF⊥CD，
∴四边PGBE是矩形，四边形PECF是矩形，
∴PG＝BE，PE＝BG＝CF，PF＝CE，∠BGP＝90°，∠PFC＝90°，GF∥BC，
∴∠AGP＝90°，∠PFD＝90°，
在△GPB中，∠GBP＝45°，
∴∠GPB＝45°，
∴GB＝GP＝PE＝BE，
∵AB＝BC＝GF，
∴AG＝AB﹣GB，FP＝GF﹣GP＝AB﹣GB，
∴AG＝PF，
∴△AGP≌△FPE，
∴AP＝EF，故①正确，∠PFE＝∠GAP，
∴∠PFE＝∠BAP，故③正确，
∴∠PAG＝∠PFH，
∵∠APG＝∠FPH，∠APG+∠PAG+AGP＝∠PFH+∠PHF+∠HPF＝180°，∠AGP＝90°，
∴∠PHF＝∠PGA＝90°，即AP⊥EF，故②正确，
∵GF∥BC，
∴∠DPF＝∠DBC，
又∵∠DPF＝∠DBC＝45°，
∴∠PDF＝∠DPF＝45°，
∴PF＝DF，
∵在Rt△DPF中，DP2＝DF2+PF2＝2PF2，
在Rt△PEB中，PB2＝PE2+BE2＝2PE2，
在Rt△EPF中，PA2＝EF2＝PE2+PF2，
∴PB2+PD2＝2PA2，故④正确，
故选：D．
10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别在边AD、CD上，连接AF交BD于点G，连接BE交AC于点H，连接HG．若AF＝BE，则下列结论：①AF⊥BE；
②BH＝AG；
③HG＝GD；
④△ABH≌△GBH；
⑤S△AHE：S△AGD＝GF：BH．
其中正确的个数有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【解答】解：详解：如图，设BE与AF的交点为M，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADC＝90°，AC⊥BD，∠BAC＝∠ADB＝45°，OA＝OD，
在Rt△ABE 和Rt△DAF中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△DAF（HL），
∴∠ABE＝∠DAF．
∵∠BAD＝∠BAF+∠DAF＝90°，
∴∠BAF+∠ABE＝90°，
∴∠AMB＝90，
∴AF⊥BE，①结论正确；
在△ABH和△DAG中，
，
∴△ABH≌△DAG（ASA），
∴BH＝AG，②结论正确；
∵△ABH≌△DAG，
∴HA＝GD，
∴OH＝OG，
∴△HOG是等腰直角三角形，
∴，
∵OG与DG的数量关系无法确定，
∴HG＝GD不成立，③结论错误；
∴HG＝AH不成立，
∴△ABH≌△GBH不成立，④结论错误；
∵Rt△ABE≌Rt△DAF，△ABH≌△DAG，
∴AE＝DF，AH＝DG，BH＝AG，
∵BE＝AF，
∴EH＝FG，
∴△AHE≌△DGF（SSS），
∴S△AHE：S△AGD＝S△DGF：S△AGD＝GF：AG＝GF：BH，⑤结论正确；
∴正确的个数有3个，
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+3）2＝n的形式，则n的值为 10 ．
【解答】解：方程x2+6x﹣1＝0，
移项得：x2+6x＝1，
配方得：x2+6x+9＝10，即（x+3）2＝10，
则n＝10．
故答案为：10．
12．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的根，则该三角形的周长为 10 ．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4，
当三角形的腰为4，底为2时，三角形的周长为4+4+2＝10，
当三角形的腰为2，底为4时不符合三角形三边的关系，舍去，
所以三角形的周长为10．
故答案为：10．
13．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，G，H分别为AE，EF的中点，连接GH．若∠B＝45°，BC＝，则GH的最小值为 ．
【解答】解：连接AF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝2，
∵G，H分别为AE，EF的中点，
∴GH是△AEF的中位线，
∴GH＝AF，
当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，
则∠AFB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF＝AB＝×2＝，
∴GH＝，
即GH的最小值为，
故答案为：．
14．如图，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．给出以下结论：
①矩形DEFG是正方形；
②；
③CG平分∠DCF；
④．
其中正确的序号为 ①③④ ．
【解答】解：过E作EM⊥BC，过E作EN⊥CD于N，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，
∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，
∴NE＝NC，
∴四边形EMCN是正方形，
∴EM＝EN，
∵四边形DEFG是矩形，
∴∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴ED＝EF，
∴矩形DEFG是正方形，故①正确；
∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，
∴∠ADE＝∠CDG，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°，
∵∠DCF＝90°，
∴CG平分∠DCF，故③正确；
当DE⊥AC时，点C与点F重合，则CF＝0，CE≠0，
∴CE不一定等于CF，故②错误；
过点G作GT⊥BC交BC的延长线于点T．则∠T＝∠EMF＝90°，
∵EF＝FG，∠EFG＝90°，
∴∠EFM+∠GFT＝90°，∠GFT+∠FGT＝90°，
∴∠EFM＝∠FGT，
∴△EFM≌△FGT（AAS），
∴FT＝EM，
∵CG＝CT＝（CF+FT）＝（CF+EM）＝CF+EM＝CF+EC．故④正确．
故答案为：①③④．
15．已知实数m，n满足m﹣n2＝1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于 4 ．
【解答】解：∵m﹣n2＝1，即n2＝m﹣1≥0，m≥1，
∴原式＝m2+2m﹣2+4m﹣1＝m2+6m+9﹣12＝（m+3）2﹣12，
则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12＝4．
故答案为：4．
三．解答题（共7小题）
16．按要求解下列方程：
（2）5（x+1）2＝7（x+1）（用适当方法）；
（3）2x2+4x﹣3＝0（公式法）；
（4）（x+8）（x+1）＝﹣12（用适当方法）；
（5）（x﹣2）2＝4（用适当方法）；
【解答】解：
（1）5（x+1）2＝7（x+1），
5（x+1）2﹣7（x+1）＝0，
（x+1）（5x+5﹣7）＝0，
（x+1）（5x﹣2）＝0，
则x+1＝0或5x﹣2＝0，
所以．
（2）2x2+4x﹣3＝0，
Δ＝42﹣4×2×（﹣3）＝40＞0，
则x＝，
所以．
（3）（x+8）（x+1）＝﹣12，
x2+9x+8＝﹣12，
x2+9x+20＝0，
（x+4）（x+5）＝0，
则x+4＝0或x+5＝0，
所以x1＝﹣4，x2＝﹣5．
（4）（x﹣2）2＝4，
x﹣2＝±2，
所以x1＝4，x2＝0．
17．下面是小明同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．
解方程：（3x﹣1）2＝2（3x﹣1）．
解：方程两边同除以（3x﹣1），得3x﹣1＝2．…第一步
移项，合并同类项，得3x＝3．…第二步
系数化为1，得x＝1．…第三步
任务：
①小明的解法从第 一 步开始出现错误；
②此题的正确结果是 x1＝，x2＝1 ．
③用因式分解法解方程：3x（x+2）＝2x+4．
【解答】解：①小明的解法从第一步开始出现错误，
故答案为：一；
②此题的正确结果是x1＝，x2＝1，
故答案为：x1＝，x2＝1；
③3x（x+2）＝2x+4，
3x（x+2）﹣2（x+2）＝0，
（x+2）（3x﹣2）＝0，
x+2＝0或3x﹣2＝0，
x1＝﹣2，x2＝．
18．在方程x2﹣3x＝0中，像这样只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的方程叫做一元二次方程，把方程左边因式分解得到x（x﹣3）＝0，根据“任何数与0相乘都得0”，我们可知“两个因式中只要有一个因式的值为0，乘积就为0，”即方程可以转化为：x＝0或x﹣3＝0，解这两个一次方程得：x＝0或x＝3．所以原方程的解有两个，分别为：x＝0或x＝3．
上述将方程x2﹣3x＝0转化为x＝0或x﹣3＝0的过程，是将来学习的一元二次方程的解法中，通过因式分解将一元二次方程转化为一元一次方程求解的过程．
规范书写如下：
解：x2﹣3x＝0
x（x﹣3）＝0
x＝0或x﹣3＝0
∴x＝0或x＝3
仿照上面的方法和规范，解决下列问题：
（1）解方程9x2﹣4＝0
（2）解方程a2﹣2a﹣3＝0；
类比上面的思路，解决下列问题．
（3）根据“两数相乘，同号得正，异号得负”，请你直接写出一元二次不等式a2﹣2a﹣3＞0的解集．
【解答】解：（1）9x2﹣4＝0，
（3x+2）（3x﹣2）＝0，
3x+2＝0，3x﹣2＝0，
x1＝﹣，x2＝；
（2）a2﹣2a﹣3＝0，
（a﹣3）（a+1）＝0，
a﹣3＝0，a+1＝0，
a1＝3，a2＝﹣1；
（3）a2﹣2a﹣3＞0，
（a﹣3）（a+1）＞0，
即或，
解得：a＞3或a＜﹣1，
即原不等式的解集为a＞3或a＜﹣1．
19．定义新运算：对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}＝4．
（1）填空：Max{﹣2，﹣4}＝ ﹣2 ；
（2）按照这个规定，解方程．
【解答】解：（1）根据定义可知：Max{﹣2，﹣4}＝﹣2；
故答案为﹣2；
（2）当x＞0时，有＝x，解得x＝，x＝（舍去），
x＜0时，有＝﹣x，解得，x＝﹣1，x＝2（舍去）．
20．已知关于x的方程x2+（3k﹣2）x﹣6k＝0，
（1）求证：无论k取何实数值，方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边a＝6，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
【解答】（1）证明：∵Δ＝b2﹣4ac＝（3k﹣2）2﹣4•（﹣6k）＝9k2﹣12k+4+24k＝9k2+12k+4＝（3k+2）2≥0
∴无论k取何值，方程总有实数根．
（2）解：①若a＝6为底边，则b，c为腰长，则b＝c，则Δ＝0．
∴（3k+2）2＝0，解得：k＝﹣．
此时原方程化为x2﹣4x+4＝0
∴x1＝x2＝2，即b＝c＝2．
此时△ABC三边为6，2，2不能构成三角形，故舍去；
②若a＝6为腰，则b，c中一边为腰，不妨设b＝a＝6
代入方程：62+6（3k﹣2）﹣6k＝0
∴k＝﹣2
则原方程化为x2﹣8x+12＝0
（x﹣2）（x﹣6）＝0
∴x1＝2，x2＝6
即b＝6，c＝2
此时△ABC三边为6，6，2能构成三角形，
综上所述：△ABC三边为6，6，2．
∴周长为6+6+2＝14．
21．对于一些比较复杂的方程，可以利用函数图象来研究方程的根．
问题：探究方程2x（|x|﹣2）＝1的实数根的情况．
下面是小董同学的探究过程，请帮她补全：
（1）设函数y＝2x（|x|﹣2），这个函数的图象与直线y＝1的交点的 横 坐标（填“横”或“纵”）就是方程2x（|x|﹣2）＝1的实数根．
（2）注意到函数解析式中含有绝对值，所以可得：
当x≤0时，y＝﹣2x2﹣4x；
当x＞0时，y＝ 2x2﹣4x ；
（3）在如图的坐标系中，已经画出了当x≤0时的函数图象，请根据（2）中的解析式，通过描点，连线，画出当x＞0时的函数图象．
（4）画直线y＝1，由此可知2x（|x|﹣2）＝1的实数根有 3 个．
（5）深入探究：若关于x的方程2x（|x|﹣2）＝m有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为负数，则m的取值范围是 0≤m＜2 ．
【解答】解：（1）函数y＝2x（|x|﹣2）的图象与直线y＝1的交点的横坐标就是方程2x（|x|﹣2）＝1的实数根．
故答案为：横；
（2）当x＞0时，y＝2x（|x|﹣2）＝2x（x﹣2）＝2x2﹣4x，
故答案为：2x2﹣4x；
（3）画出函数的图象如图：
（4）由图象可知，直线y＝1与函数图象有3个交点，
所以，2x（|x|﹣2）＝1的实数根有3个，
故答案为：3．
（5）由图象可知：直线y＝m在x轴的上方（m≥0）且m＜2，与函数y＝x（|x|﹣2）的交点的横坐标x1＜x2＜0＜x3，且x1+x2＝﹣2，x2≥2，
∴x1+x2+x3≥0，
∴m≥0，
∴关于x的方程x（|x|﹣2）＝即2x（|x|﹣2）＝m有三个不相等的实数根，且这三个实数根的和为非负数，则m的取值范围是﹣2≤m＜0，
故答案为：﹣2≤m＜0．
22．数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分线CF于点F，求证：AE＝EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM＝EC，易证△AME≌△ECF，所以AE＝EF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE＝EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE＝EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
【解答】解：（1）正确．
证明：在AB上取一点M，使AM＝EC，连接ME．
∴BM＝BE，
∴∠BME＝45°，
∴∠AME＝135°，
∵CF是外角平分线，
∴∠DCF＝45°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠AME＝∠ECF，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEB+∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．
（2）正确．
证明：在BA的延长线上取一点N．
使AN＝CE，连接NE．
∴BN＝BE，
∴∠N＝∠NEC＝45°，
∵CF平分∠DCG，
∴∠FCE＝45°，
∴∠N＝∠ECF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BE，
∴∠DAE＝∠BEA，
即∠DAE+90°＝∠BEA+90°，
∴∠NAE＝∠CEF，
∴△ANE≌△ECF（ASA），
∴AE＝EF．