2024-2025学年江苏省无锡江阴市华士片数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】

这是一份2024-2025学年江苏省无锡江阴市华士片数学九年级第一学期开学考试试题【含答案】，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）菱形和矩形一定都具有的性质是（ ）
A．对角线相等B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分D．对角线互相平分且相等
2、（4分）二次根式、、、、、中，最简二次根式有（ ）个．
A．1 个B．2 个C．3 个D．4个
3、（4分）下面是甲、乙两人10次射击成绩（环数）的条形统计图，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙的成绩稳定
B．乙比甲的成绩稳定
C．甲、乙两人的成绩一样稳定
D．无法确定谁的成绩更稳定
4、（4分）下列说法正确的是（ ）．
A．掷一颗骰子，点数一定小于等于6；
B．抛一枚硬币，反面一定朝上；
C．为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用普查的方法；
D．“明天的降水概率为90%”，表示明天会有90%的地方下雨．
5、（4分）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，小明通过多次摸取幸运星试验后发现，摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右，若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，则摸到黄色幸运星的可能性约为（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：
关于以上数据，说法正确的是（ ）
A．甲、乙的众数相同B．甲、乙的中位数相同
C．甲的平均数小于乙的平均数D．甲的方差小于乙的方差
7、（4分）如图(图在第二页)所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是
A．13B．26C．47D．94
8、（4分）一个不透明的袋子中装有21个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于1．4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．51B．31C．12D．8
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在一次捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额单位：元如下表所示：这8名同学捐款的平均金额为______元
10、（4分）如图，过点N（0，-1）的直线y=kx+b与图中的四边形ABCD有不少于两个交点，其中A（2，3）、B（1，1）、C（4，1）、D（4，3），则k的取值范围____________
11、（4分）如图，在平面直角坐标系中有两点A（6，0），B（0，3），如果点C在x轴上（C与A不重合），当点C的坐标为 时，△BOC与△AOB相似．
12、（4分）已知的对角线，相交于点，是等边三角形，且，则的长为__________．
13、（4分）已知x、y为直角三角形两边的长，满足，则第三边的长为________.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）先化简，再求值：（x+2+）÷，其中x=
15、（8分）如图，在平行四边形中，点，分别在边，的延长线上，且，分别与，交于点，．
求证：．
16、（8分）甲、乙两人同时从P地出发步行分别沿两个不同方向散步，甲以的速度沿正北方向前行；乙以的速度沿正东方向前行，
（1）过小时后他俩的距离是多少？
（2）经过多少时间，他俩的距离是？
17、（10分）如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=5,E、P分别在AD．BC上，且DE=BP=1.连接BE,EC,AP,DP,PD与CE交于点F,AP与BE交于点H．
(1)判断△BEC的形状，并说明理由；
(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形，并证明你的判断；
(3)求四边形EFPH的面积．
18、（10分）如图，在△ABC中，CA＝CB＝5，AB＝6，AB⊥y轴，垂足为A．反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点C，交AB于点D．
（1）若OA＝8，求k的值；
（2）若CB＝BD，求点C的坐标．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）在一个长6m、宽3m、高2m的房间里放进一根竹竿，竹竿最长可以是________.
20、（4分）直线y=x+1与y=-x+7分别与x轴交于A、B两点，两直线相交于点C，则△ABC的面积为___．
21、（4分）如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，将绕点逆时针方向旋转到，连接，交于点，若，，则线段的长为___________．
22、（4分）如图，菱形ABCD周长为16，∠ADC＝120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_____．
23、（4分）若二次根式有意义，则的取值范围是______.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）计算题：
（1）解不等式组
（2）先化筒，再求值（），其中m=
（3）解方程=1-
25、（10分）如图，AD是等腰△ABC底边BC上的高，点O是AC中点，延长DO到E，使AE∥BC，连接AE．
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）①若AB＝17，BC＝16，则四边形ADCE的面积＝ ．
②若AB＝10，则BC＝ 时，四边形ADCE是正方形．
26、（12分）如图，从点A(0,4)出发的一束光，经x轴反射，过点C(6,4)，求这束光从点A到点C所经过的路径长度.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
菱形的对角线互相垂直且平分，矩形的对角线相等且平分．菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．
【详解】
菱形和矩形一定都具有的性质是对角线互相平分．
故选C．
本题考查了菱形及矩形的性质,熟知菱形和矩形的对角线的性质是解决本题的关键．
2、C
【解析】
直接利用最简二次根式的定义判断得出结论即可．
【详解】
在二次根式、、、、、中，最简二次根式有： 、、，共3个
故选：C
本题考查了最简二次根式的定义，在判断最简二次根式的过程中要注意：
（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；
（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
3、B
【解析】
通过观察条形统计图可知：乙的成绩更整齐，也相对更稳定，
故选B．
4、A
【解析】
对各项的说法逐一进行判断即可．
【详解】
A. 掷一颗骰子，点数一定小于等于6，正确；
B. 抛一枚硬币，反面不一定朝上，错误；
C. 为了解一种灯泡的使用寿命，宜采用抽样调查的方法，错误；
D. “明天的降水概率为90%”，表示明天会有90%的几率下雨，错误；
故答案为：A．
本题考查了命题的问题，掌握概率的性质、概率统计的方法是解题的关键．
5、C
【解析】
设袋中红色幸运星有x个，根据“摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右”列出关于x的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数，再根据频率的定义求解可得．
【详解】
解：设袋中红色幸运星有x个，
根据题意，得：，
解得：x＝35，
经检验：x＝35是原分式方程的解，
则袋中红色幸运星的个数为35个，
若小明在盒子中随机摸取一颗幸运星，
则摸到黄色幸运星的频率为，
故选：C．
本题考查了频率的计算，解题的关键是设出求出红色幸运星的个数并熟记公式．
6、D
【解析】
分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得.
【详解】
甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7，
排序后最中间的数是7，所以中位数是7，
，
=4.4，
乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8，
排序后最中间的数是4，所以中位数是4，
，
=6.4，
所以只有D选项正确，
故选D.
本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键.
7、C
【解析】
解：如图
根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为，C、D的面积和为，，于是，即故选C．
8、B
【解析】
设白球个数为个，白球数量袋中球的总数=1-14=1.6，求得
【详解】
解：设白球个数为个，
根据题意得，白球数量袋中球的总数=1-14=1.6，
所以，
解得
故选B
本题主要考查了用评率估计概率.
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、6.5
【解析】
根据加权平均数的计算公式用捐款的总钱数除以8即可得出答案．
【详解】
这8名同学捐款的平均金额为元，
故答案为：．
此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，属于基础题．
10、＜k≤2．
【解析】
直线y=kx+b过点N（0，-2），则b=-2，y=kx-2．当直线y=kx-2的图象过A点时，求得k的值；当直线y=kx-2的图象过B点时，求得k的值；当直线y=kx-2的图象过C点时，求得k的值，最后判断k的取值范围．
【详解】
∵直线y=kx+b过点N（0，-2），
∴b=-2，
∴y=kx-2．
当直线y=kx-2的图象过A点（2，3）时，
2k-2=3，k=2；
当直线y=kx-2的图象过B点（2，2）时，
k-2=2，k=2；
当直线y=kx-2的图象过C点（4，2）时，
4k-2=2，k=，
∴k的取值范围是＜k≤2．
故答案为＜k≤2．
本题主要考查了运用待定系数法求一次函数解析式，解题时注意：求正比例函数y=kx，只要一对x，y的值；而求一次函数y=kx+b，则需要两组x，y的值．
11、（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）
【解析】
本题可从两个三角形相似入手，根据C点在x轴上得知C点纵坐标为0，讨论OC与OA对应以及OC与OB对应的情况，分别讨论即可．
【详解】
解：∵点C在x轴上，
∴∠BOC=90°，两个三角形相似时，应该与∠BOA=90°对应，
若OC与OA对应，则OC=OA=6，C（﹣6，0）；
若OC与OB对应，则OC=1.5，C（﹣1.5，0）或者（1.5，0）．
∴C点坐标为：（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）．
故答案为（﹣1.5，0），（1.5，0），（﹣6，0）．
考点：相似三角形的判定；坐标与图形性质．
12、．
【解析】
根据等边三角形的性质得出AD=OA=OD，利用平行四边形的性质和矩形的判定解答即可．
【详解】
解：∵△AOD是等边三角形，
∴AD=OA=OD=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=AC，OD=BD，
∴AC=BD=8，
∴四边形ABCD是矩形，
在Rt△ABD中，，
故答案为：．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的性质解答即可．
13、、或．
【解析】
试题分析：∵|x2-4|≥0，，
∴x2-4=0，y2-5y+6=0，
∴x=2或-2（舍去），y=2或3，
①当两直角边是2时，三角形是直角三角形，则斜边的长为：；
②当2，3均为直角边时，斜边为；
③当2为一直角边，3为斜边时，则第三边是直角，长是．
考点：1．解一元二次方程-因式分解法；2．算术平方根；3．勾股定理．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、，1-
【解析】
首先计算括号里面的加减，然后再计算除法，化简后再代入x的值即可．
【详解】
解：原式=×，
=•
=．
当x=-3时，原式===1-．
此题主要考查了分式的化简求值，关键是掌握分式加减和除法的计算法则．
15、见详解
【解析】
利用平行四边形的性质，结合条件可得出AF=EC，再利用全等三角形的判定与性质定理，即可得到结论．
【详解】
∵在平行四边形中，
∴AD=BC，∠A=∠C，AD∥BC，
∴∠E=∠F，
∵，
∴AF=EC，
在∆AGF与∆CHE中，
∵，
∴∆AGF≅ ∆CHE（ASA），
∴AG=CH．
本题主要考查平行四边形的性质定理以及三角形全等的判定和性质定理，掌握平行四边形的性质以及ASA证三角形全等，是解题的关键．
16、（1）5t;（2）3小时
【解析】
（1）根据两人行驶的路线围成一个直角三角形，利用勾股定理求解即可；
（2）利用（1）中所求，结合两人距离为15km，即可求出时间．
【详解】
（1）∵甲以3km/h的速度沿正北方向前行；乙以4km/h的速度沿正东方向前行，
∴两人行驶的路线围成一个直角三角形，
∴过t个小时后他俩的距离是：，
答：过t个小时后他俩的距离是5tkm；
（2）由题意可得：5t=15，
解得：t=3，
答：经过3小时，他俩的距离是15km．
本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形模型，利用勾股定理解决问题．
17、（1）△BEC为直角三角形，理由见解析；（2）四边形EFPH是矩形，理由见解析；（3）
【解析】
（1）根据矩形的性质可得∠BAE=∠CDE=90°，AB=CD=2，AD=BC=5，然后利用勾股定理即可求出BE和CE，然后根据勾股定理的逆定理即可证出△BEC为直角三角形；
（2）根据矩形的性质可得AD∥BC， AD=BC=5，然后根据平行四边形的判定定理可得四边形EBPD和四边形APCE均为平行四边形，从而证出四边形EFPH是平行四边形，然后根据矩形的定义即可得出结论；
（3）先利用三角形面积的两种求法，即可求出BH，从而求出HE，然后根据勾股定理即可求出HP，然后根据矩形的面积公式计算即可．
【详解】
解：（1）△BEC为直角三角形，理由如下
∵四边形ABCD为矩形
∴∠BAE=∠CDE=90°，AB=CD=2，AD=BC=5
∵DE=1
∴AE=AD－DE=4
在Rt△ABE中，BE=
在Rt△CDE中CE=
∴BE2＋CE2=25= BC2
∴△BEC为直角三角形
（2）四边形EFPH是矩形，理由如下
∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BC， AD=BC=5
∵DE=BP=1，
∴AD－DE=BC－BP=4
即AE=CP=4
∴四边形EBPD和四边形APCE均为平行四边形
∴EB∥DP，AP∥EC
∴四边形EFPH是平行四边形
∵△BEC为直角三角形，∠BEC=90°
∴四边形EFPH是矩形
（3）∵四边形APCE为平行四边形，四边形EFPH是矩形
∴AP=CE=，∠EHP=90°
∴∠BHP=180°－∠EHP=90°
∵S△ABP=
∴
解得：
∴HE=BE－BH=
在Rt△BHP中，HP =
∴S矩形EFPH= HP·HE=
此题考查的是矩形的判定及性质、勾股定理和勾股定理的逆定理，掌握矩形的定义、矩形的性质、利用勾股定理解直角三角形和利用勾股定理的逆定理判定直角三角形是解决此题的关键．
18、（1）1；（2）（3，2）
【解析】
（1） 过C作CM⊥AB，CN⊥y轴，利用勾股定理求出CM的长，结合OA的长度，则C点坐标可求，因C在图象上，把C点代入反比例函数式求出k即可；
（2）已知CB=BD，则AD长可求，设OA=a, 把C、D点坐标用已知数或含a的代数式表示，因C、D都在反比例函数图象上，把C、D坐标代入函数式列式求出a值即可.
【详解】
（1）解：过C作CM⊥AB，CN⊥y轴，垂足为M、N，
∵CA＝CB＝5，AB＝6，
∴AM＝MB＝3＝CN，
在Rt△ACD中，CD＝ ＝4，
∴AN＝4，ON＝OA﹣AN＝8﹣4＝4，
∴C（3，4）代入y＝ 得：k＝1，
答：k的值为1．
（2）解：∵BC＝BD＝5，
∴AD＝6﹣5＝1，
设OA＝a，则ON＝a﹣4，C（3，a﹣4），D（1，a）
∵点C、D在反比例函数的图象上，
∴3（a﹣4）＝1×a，
解得：a＝6，
∴C（3，2）
答：点C的坐标为（3，2）
本题主要考查反比例函数的几何应用，解题关键在于能够做出辅助线，利用勾股定理解题.
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、1
【解析】
【分析】根据题意画出图形，首先利用勾股定理计算出BC的长，再利用勾股定理计算出AB的长即可．
【详解】如图，∵侧面对角线BC2=32+22=13，
∴CB=m，
∵AC=6m，
∴AB==1m，
∴竹竿最大长度为1m，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是画出符合题意的图形，利用数形结合的思想以及勾股定理的知识解决问题.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
20、16
【解析】
在y=x+1中，令y=0，得x+1=0，
解得x=−1，
∴点A的坐标为(−1,0)，
在y=−x+7中，令y=0，得−x+7=0，
解得x=7，
∴点B的坐标为(7,0)，
联立两直线解析式得 ，
解得，
∴点C的坐标为(3,4)；
即点C的纵坐标为4
∵AB=7−(−1)=8，
∴S△ABC =×8×4=16.
故答案为16.
21、
【解析】
连接EF，过点E作EM⊥AD，垂足为M，设ME=HE=FH=x，则GH=3-x，从而可得到，于是可求得x的值，最后在Rt△AME中，依据勾股定理可求得AE的长．
【详解】
解：如图所示：连接EF，过点E作EM⊥AD，垂足为M．
∵ABCD为正方形，EM⊥AD，∠EDF=90°，AD=BC=CD=DG+CG=5，
∴△MED和△DEF均为等腰直角三角形．
∵DE=DF，∠EDH=∠FDH=45°，
∴DH⊥EF，EH=HF，
∴FH∥BC．
设ME=HE=FH=x，则GH=3﹣x．
由FH∥BC可知：，
即，解得：，
∴．
在Rt△AME中，．
故答案为：．
本题主要考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理、勾股定理的应用，求得ME的长是解题的关键．
22、．
【解析】
连接BD，根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BAD=∠ADC=60°，然后判断出△ABD是等边三角形，连接DE，根据轴对称确定最短路线问题，DE与AC的交点即为所求的点P，PE+PB的最小值=DE，然后根据等边三角形的性质求出DE即可得解．
【详解】
如图，连接BD，
四边形ABCD是菱形，
∠BAD=∠ADC=×120°=60°
AB=AD（菱形的邻边相等），
△ABD是等边三角形，
连接DE，
B、D关于对角AC对称，
DE与AC的交点即为所求的点P， PE+PB的最小值=DE
E是AB的中点，
DE⊥AB
菱形ABCD周长为16，
AD=16÷4=4
DE=×4=2
故答案为2
23、
【解析】
根据二次根式有意义的条件即可求解.
【详解】
依题意得a+1≥0，解得
故填：
此题主要考查二次根式的定义，解题的关键是熟知被开方数为非负数.
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（1）-1≤x＜；（2）-5；（3）x=是原分式方程的根．
【解析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分即可；
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把m的值代入进行计算；
根据解分式方程的一般步骤解出方程，检验即可得到方程的解．
【详解】
（1）
由不等式①，得
x≥-1，
由不等式②，得
x＜，
故原不等式组的解集是-1≤x＜；
（2）（）
=
=
=，
当m=时，原式===-5；
（3）=1-
方程两边同乘以2（x-1），得
2=2（x-1）-3
去括号，得
2=2x-2-3
移项及合并同类项，得
7=2x
系数化为1，得
x=
经检验，x=是原分式方程的根．
本题考查的知识点是解一元一次不等式组、分式的化简求值和解分式方程，解题关键是注意分式方程的解要检验.
25、 (1)见解析；（2）①1； ②.
【解析】
试题分析：（1）根据平行四边形的性质得出四边形ADCE是平行四边形，根据垂直推出∠ADC=90°，根据矩形的判定得出即可；
（2）①求出DC，根据勾股定理求出AD，根据矩形的面积公式求出即可；
②要使ADCE是正方形，只需要AC⊥DE，即∠DOC=90°，只需要OD2+OC2=DC2，即可得到BC的长．
试题解析：（1）证明：∵AE∥BC，∴∠AEO=∠CDO．又∵∠AOE=∠COD，OA=OC，∴△AOE≌△COD，∴OE=OD，而OA=OC，∴四边形ADCE是平行四边形．∵AD是BC边上的高，∴∠ADC=90°．∴□ADCE是矩形．
（2）①解：∵AD是等腰△ABC底边BC上的高，BC=16，AB=17，∴BD=CD=8，AB=AC=17，∠ADC=90°，由勾股定理得：AD===12，∴四边形ADCE的面积是AD×DC=12×8=1．
②当BC=时，DC=DB=．∵ADCE是矩形，∴OD=OC=2．∵OD2+OC2=DC2，∴∠DOC=90°，∴AC⊥DE，∴ADCE是正方形．
点睛：本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解答此题的关键，比较典型，难度适中．
26、10.
【解析】
首先过点B作BD⊥x轴于D，由A（0，4），C(6,4)，即可得OA = CD = 4，OD = 6，由题意易证得△AOB≌△CDB，根据全等三角形即可得OB = BD = 3，AB = CB，又由勾股定理即可求得这束光从点A到点C所经过的路径的长．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵A(0,4)，C(6,4)，
∴OA = CD = 4，OD = 6，
由题意得，∠ABO =∠CBD,
∵∠AOB =∠CDB =90°，
∴△AOB≌△CDB，
∴OB = BD = 3，AB = CB,
在Rt△AOB中，,
∴这束光从点A到点C所经过的路径长度为AB+BC=10.
此题考查勾股定理，点的坐标，解题关键在于作辅助线.
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
批阅人
甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8
金额元
5
6
7
10
人数
2
3
2
1