专题01 有理数（考点串讲，6个常考点+5种重难题型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点课件（人教版2024）

这是一份专题01 有理数（考点串讲，6个常考点+5种重难题型+4个易错+押题预测）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点课件（人教版2024），共44页。PPT课件主要包含了易错易混，题型剖析，考点透视，押题预测，考点一正数和负数，－2025，－4或－2或2或4，解2如图所示，易混易错等内容，欢迎下载使用。

六大常考点：知识梳理+针对训练
五大题型典例剖析+举一反三
精选6道期中真题对应考点练
【例1】 [2024枣庄市月考]世界最大的高海拔宇宙线观测站“拉索”位于我国甘孜稻城，其海拔高度记为“＋4 410米”，表示高出海平面4 410米；全球最大的超深水半潜式钻井平台“蓝鲸2号”是我国自主设计制造的，其最大钻井深度记为“－15 250米”.“－15 250米”表示的意义为(　B　)
【变式1-1】【真实情境题·航空航天】2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器开启世界首次月球背面采样返回之旅，月球表面的白天平均温度为零上126 ℃，记作＋126 ℃，夜间平均温度为零下150 ℃，应记作(　B　)
【变式1-2】某种零件质量标准是(20±0.2)g，下列零件质量不符合标准的是(　A　)
【变式1-3】下列说法正确的个数是(　C　)①加正号的数是正数，加负号的数是负数；②任意一个正数，前面加上“－”，就是一个负数；③0是最小的正数；④大于0的数是正数.
考点二：有理数【例2】 下列说法中，正确的有(　D　)①－3.14既是负数，又是小数，也是有理数；②－25既是负数，又是整数，但不是自然数；③0既不是正数也不是负数，但是整数；④0是非负数.
【变式2-1】 [2024北京丰台区模拟]如图所示的圈表示负数集合、整数 集合和正数集合，则关于甲、乙、丙三部分的数的个数，下列说法正确的是(　A　)
0，－2 025，101　
(3)正有理数： ⁠；(4)非正整数： ⁠；(5)非负数： ⁠.
考点三：数轴【例3】下列说法正确的是(　C　)
【变式3-1】 在数轴上，原点及原点左边所表示的数是(　D　)
【变式3-2】如图所示，分别用数轴上的点 A ， B ， C ， D 表示数， 其中正确的是(　C　)
【变式3-3】【新考法·分类讨论法】已知数轴上有 A ， B 两点，点 A 与点 B 之间的距离为1，点 A 与原点之间的距离为3，那么点 B 对应的数是 ⁠.
考点四：相反数【例4】相反数是－8的数是(　B　)
【变式4-1】 下列说法：①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等. 其中正确的有 .(只填序号)
所以画出的数轴及各点在数轴上的位置如图.
考点五：绝对值【例5】 [2024西安长安区一模]－23的绝对值是(　D　)
【变式5-1】【情境题·生活应用】从一批汤圆中挑选4个汤圆编号后进行称重检查，结果如下(超过标准质量的记为正数，不足标准质量的记为负数，单位：g)，其中最接近标准质量的是(　B　)
【变式5-2】如果｜ a ｜＝ a ，则 a 的取值范围是(　B　)
考点六：有理数的大小比较【例6】【新趋势·跨学科2024揭阳普宁—模】凝固点是晶体物质凝固时的温度，标准大气压下，下列物质中凝固点最低的是(　B　)
【变式】 比较下列各组数的大小：(1)－3.5与－4.2；
解： －3.5＞－4.2.
题型一：有理数与数轴【例7】表示有理数 a ， b ， c 的点在数轴上的位置如图所示，则 下列说法中正确的是(　D　)
【变式7-1】如图，数轴的单位长度为1，如果点 A 表示的数是－1，那么点 B 表示的数是 (　D　)
【变式7-2】有理数 a ， b ， c ， d 在数轴上对应点的位置如图，这四个数中，绝对值最大的是(　A　)
【变式7-3】【新考法逆向思维法】一只电子蚂蚁沿数轴从点 A 向右爬行2个单位长度到达点 B ，若点 B 表示的数为－4，则点 A 表示的数为 ⁠.
【变式7-4】【新视角结论开放题】已知数轴上点 A 表示的数是－1，点 B 在点 A 的左侧，则点 B 表示的数可能是 ⁠.
【变式7-6】【2024宁波新视角操作探究题】数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础.小锦在草稿纸上画了一条数轴(如图) 进行操作探究.操作一：
(1)折叠纸面，若使1表示的点与－1表示的点重合，则－3表示的点与 表示的点重合；
操作二：(2)折叠纸面，若使2表示的点与－6表示的点重合，回答以下问题：①3表示的点与 表示的点重合；
②若数轴上 A ， B 两点之间的距离为16( A 在 B 的左侧)，且 A ， B 两点经折叠后重合，求 A ， B 两点表示的数.
解： (2)②因为数轴上 A ， B两点之间的距离为16，所以易得数轴上 A ， B 两点到折点－2的距离都为8.因为 A 在 B 的左侧，所以 A ， B 两点表示的数分别是－2－8＝－10和－2＋8＝6.
题型二：相反数与数轴【例8】 如图，表示互为相反数的两个点是(　B　)
【变式8-1】如图，点 A ， B 在数轴上，若 AB ＝8，且 A ， B 两点表示的数互为相反数，则点 A 表示的数为 ⁠.
【变式8-2】如图，数轴上点 A 与点 B 表示的数互为相反数，若点 A 表示的数是－1.5，用圆规以 B 为圆心， AB 长为半径画弧，交数轴于点 C ，则点 C 对应的数是 ⁠.
【变式8-3】【新考法·分类讨论法】在数轴上点 A 表示－2，点 B ， C 表示的数互为相反数，且点 C 与点 A 之间的距离是2，求点 B ， C 所表示的数.
解： 如图①，若点 C 在点 A 的左边，则点 C 表示的数是－4，所以点 B 表示的数是4；
如图②，若点 C 在点 A 的右边，则点 C 表示的数是0，所以点 B 表示的数也是0.
综上，若点 C 表示的数是－4，则点 B 表示的数是4；若点 C 表示的数是0，则点 B 表示的数也是0.
题型三：绝对值与数轴【例9】如图，点 A 所表示的数的绝对值是(　A　)
【变式9-1】 若｜ a ｜＝－ a ，则数 a 在数轴上的对应点在(　B　)
【变式9-2】有理数 a ， b ， c 在数轴上所对应点的位置如图所示.(1)填空：｜ a ｜＝ ，｜ b ｜＝ ，｜ c ｜ ＝ ⁠；
(2)在图中的数轴上标出表示－ a ，－ b ，－ c 的点；
(3)将 a ， b ， c ，－ a ，－ b ，－ c 用“＜”连接起来.
解：(3) c ＜－ b ＜ a ＜－ a ＜ b ＜－ c .
【变式9-3】【垃圾分类2024泉州鲤城区期末】为响应垃圾分类，改善小区环境，物业公司在某小区内准备增设一个垃圾分类回收站，小区内有6栋楼，6栋楼依次编号为1号至6号，并且6栋楼按编号从小到大排列在同一条直线上，相邻两栋楼的间隔都相同，回收站的位置成为居民关心的问题.小明结合数轴与绝对值的知识进行数学建模，并说明理由：1号楼至6号楼分别抽象为数轴上连续的6个整数点(记为1，2，3，4，5，6)，回收站设置在其中相邻两栋楼之间，位置记为 x .
(1)根据问题的实际意义，则｜ x －1｜表示 ⁠ ⁠；
回收站到1号楼的距离　
(2)当每栋楼住户相同时，回收站的最佳位置应该使得每栋楼的居民到回收站的距离之和最小，记 S ＝｜ x －1｜＋｜ x －2｜＋｜ x －3｜＋｜ x －4｜＋｜ x －5｜＋｜ x －6｜，直接写出 S 的最小值和回收站的位置.
解： S 的最小值是9，回收站的位置应在3号楼和4号楼之间.
点拨：①当1≤ x ≤2时， S ＝ x －1－ x ＋2－ x ＋3－ x ＋4－ x ＋5－ x ＋6＝－4 x ＋19，当 x ＝2时， S最小＝－4×2＋19＝11；
②当2＜ x ≤3时， S ＝ x －1＋ x －2－ x ＋3－ x ＋4－ x ＋5－ x ＋6＝－2 x ＋15，当 x ＝3时， S最小＝－2×3＋15＝9；
③当3＜ x ≤4时， S ＝ x －1＋ x －2＋ x －3－ x ＋4－ x ＋5－ x ＋6＝9，即 S最小＝9；
④当4＜ x ≤5时， S ＝ x －1＋ x －2＋ x －3＋ x －4－ x ＋5－ x ＋6＝2 x ＋1，此时无最小值；
⑤当5＜ x ≤6时， S ＝ x －1＋ x －2＋ x －3＋ x －4＋ x －5－ x ＋6＝4 x －9，此时无最小值；综上所述， S 的最小值是9，回收站的位置应在3号楼和4号楼之间.
题型四：分类讨论思想【例10】 已知点 A 是数轴上的一点，它到原点的距离为3，把点 A 向左平移7个单位长度后，再向右平移5个单位长度得到点 B ，则点 B 到原点的距离为(　D　)
【变式】【新考向·知识情境化】如图， A ， B 分别为数轴上的两个点，点 A 表示的数为－10，点 B 表示的数为90.(1)请写出到 A ， B 两点距离相等的点 M 对应的数.
解： (1)点 M 对应的数为40.
(2)一只电子蚂蚁 P 从点 B 出发，以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁 Q 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，经过多长时间这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度？
解： (2)相遇前，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，(100－35)÷(2＋3)＝13(秒)；
相遇后，两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度时，(35＋100)÷(2＋3)＝27(秒)，即经过13秒或27秒这两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度.
题型五：数形结合思想【例11】 已知 m ， n 在数轴上的位置如图所示.试比较－ m ，－ n ， m ， n ， m － n ， n － m 的大小，并用“＞”连接.
解： n － m ＞－ m ＞ n ＞－ n ＞ m ＞ m － n .
【变式】 我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法.例如｜ x ｜的几何意义是数轴上数 x 的对应点与原点之间的距离，即｜ x ｜＝｜ x －0｜，也可以说，｜ x ｜表示数轴上数 x 与数0对应点之间的距离.这个结论可以推广为｜ x1－ x2｜表示数轴上数 x1与数 x2对应点之间的距离.
例1：已知｜ x ｜＝2，求 x 的值.解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为－2和2，所以 x 的值为－2或2.例2：已知｜ x －1｜＝2，求 x 的值.
解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和－1，所以 x 的值为3或－1.仿照材料中的解法，求下列各式中 x 的值.(1)｜ x ｜＝3；(2)｜ x －2｜＝4.
解： (1)在数轴上与原点距离为3的点表示的数为－3和3，所以 x 的值为－3或3.
(2)在数轴上与2对应的点的距离为4的点表示的数为－2和6，所以 x 的值为－2或6.
易错点一 对有理数的相关概念理解有误而出错【例12】下列说法正确的是（ ）A.正数和负数统称为有理数B.符号不同的两个数互为相反数C.绝对值等于本身的数只有正数D.互为倒数的两个数的乘积等于1
错解剖析：对有理数的相关概念的辨析：1.要扣住关键词，例如相反数的概念中“只有”两字是关键词，不能少，故B选项错误；2.要扣住关键数，例如关键数0，在很多概念中不能少，故C选项错误.
易错点二 数的正负性不确定而漏解【例13】已知|a|=12，|b|=7，则a+b= .
正解：因为|a|=12，所以a=12或a=-12.因为|b|=7，所以b=7或b=-7.当a=12，b=7时，a+b=19；当a=-12，b=-7时，a+b=-19；当a=12，b=-7时，a+b=5；当 a=-12，b=7 时，a+b=-5.故答案为19，-19，5或-5.
错解剖析：由于a，b两个数的正负性不确定，所以已知a，b的绝对值确定a，b时，要分别就a，b是正数或负数进行讨论.
易错点三 数轴上点的位置不确定而漏解【例14】在数轴上与表示-3的点相距10个单位长度的点表示的数是 .
正解：当与-3相距10个单位长度的点在-3的右侧时，-3+10=7；当与-3相距10个单位长度的点在-3的左侧时，-3-10=-13.故答案为7 或-13.
错解剖析：在数轴上与-3相距10个单位长度的点有可能在-3的右侧也有可能在-3的左侧.由于点的位置不确定，所以应分两种情况考虑.
易错点四 数轴上点的位置不确定而漏解【例15】某出租车上午从停车场出发，沿东西方向的大街行驶，到下午6时，行驶记录如下（规定向东记为正，向西记为负，单位：km）：+10，-3，+4，+2，+8，+5，-2，-8，+12，-5，-7.若汽车每千米耗油0.06L，则从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油多少升？
正解：（2）|+10|+ |-3|+ |+4|+|+2|++8|+|+5|+|-2|+|-8|+12|+|-5|+|-7|=10+3+4+2+8+5+2+8+12+5+7= 66（km），66×0.06 =3.96（L）即从停车场出发开始到下午6时，出租车共耗油 3.96 L.
错解剖析:出租车的总里程与运动的方向无关，而记录的数据中"+”和"-”就表示运动的方向
1.（2023秋•城关区校级期中）某品牌酸奶外包装上标明“净含量：300±5ml”；．随机抽取四种口味的这种酸奶分别称重如下表．其中，净含量不合格的是( ____ )
A.原味 B.草莓味 C.香草味 D.巧克力味
【解析】解：由题意可得净含量合格的范围为295ml～305ml,则295，300，305均在该范围内，310不在该范围内，那么净含量不合格的是香草味，故选：C．
3.（2023秋•东莞市校级期中）若数轴上的点A表示的数是-2，则与点A相距5个单位长度的点表示的数是( ____ )A.±7 B.±3 C.3或-7 D.-3或7
【解析】解：在数轴上与-2的距离等于5的点表示的数是-2+5=3或-2-5=-7．故选：C．
5.（2023秋•连云港期中）当x= ____ 时，式子|x-2|+2023有最小值．
【解析】解：∵|x-2|≥0，∴当|x-2|=0时，|x-2|+2023的值最小，∴x-2=0，即x=2，故答案为：2．