[数学]湖南省益阳市玉潭教育集团2024-2025学年八年级上学期开学考试试题(解析版)

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注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．
2．请将答案正确填写在答题卡上．
一、单选题（本大题共10小题，共30分）
1. 已知关于x，y的方程是二元一次方程，则的值为（ ）
A. B. 2C. 3D.
【答案】D
【解析】∵关于x，y的方程是二元一次方程，
∴，，
解得：，，
将，，代入得
，
故选：D．
2. 若关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的值之和是（ ）
A. 7B. 6C. 4D. 0
【答案】C
【解析】，整理得，解得，
∵关于x的方程的解为非负整数，
∴，解得，
，解得，
∵关于x的不等式组无解，
∴，
则，
∵x的方程的解为非负整数，
∴满足条件的a只有，0，2和4，
则．
故选：C．
3. 已知关于x，y的二元一次方程组的解为，且，则的值为（ ）
A. 1B. C. 0D. 2024
【答案】A
【解析】关于，的二元一次方程组的解为，
，
，即，
，
故选：A．
4. 用加减法解方程组，由②①消去未知数y，所得到的一元一次方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】②①得：
，
故选：B．
5. 已知是方程组的解，则的值是（ ）
A. B. 1C. D. 5
【答案】B
【解析】将代入，
可得：，
解得：，
∴，
故选：B．
6. 定义三角表示3abc，方框表示xz+wy，则的结果为( )
A. 72m2n﹣45mn2B. 72m2n+45mn2
C. 24m2n﹣15mn2D. 24m2n+15mn2
【答案】B
【解析】根据题意得：原式=9mn×（8m+5n）=72m2n+45mn2．
故选B．
7. 规定一种运算：，其中，为有理数，则（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】C
【解析】∵，，
∴，
故选：C．
8. 下列由左到右的变形，是因式分解的为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A，是整式的乘法，此项不符合题意；
B，右边不是几个整式的积，此项不符合题意；
C，是因式分解，此项符合题意；
D，右边不是几个整式的积，此项不符合题意．
故选：C．
9. 如图，平行线之间有两个图形，阴影部分面积关系是（ ）
A. 无法比较B. ①与②相等
C. ①是②的2倍D. ①是②的3倍
【答案】C
【解析】设两平行线间的距离为h，
∴三角形面积为，梯形面积为，
∴①的面积是②的面积的2倍，
故选：C．
10. 如图，把三角形沿线段折叠，得到一个多边形，这个多边形的面积与原三角形面积的比是7：9，已知图2中阴影部分的面积为15平方厘米，那么原三角形的面积是（ ）平方厘米．
A. 26B. 27C. 28D. 29
【答案】B
【解析】由题意，可知：多边形中空白部分的面积是原三角形面积的，
多边形中阴影部分的面积是原三角形面积的，
则原三角形的面积是（平方厘米）
故选B．
二、填空题（本大题共8小题，共24分）
11. 小明把6个数分别写在3张卡片的正面和反面，每个面上写1个数，每张卡片正、反面上的2个数的和相等，然后他将卡片放在桌子上，发现正面写着28，40，49，反面上的数都只能被1和它自己整除，那么反面上的3个数的平均数是____．
【答案】12
【解析】因为反面上的数都只能被1和它自己整除，
所以反面上的数都是质数，
因为三张卡片正反两面的和相同，且28，40为偶数，49为奇数，
所以的反面只能是2，
所以正反两面的和为，
所以另外两个数分别为：，
所以反面上3个数的平均数是：；
故答案为：12．
12. 如图，四边形ABCD是轴对称图形，直线AC是它的对称轴，若，则的大小为_________．

【答案】130°
【解析】∵，
∴，
∵四边形ABCD是轴对称图形，
∴，
∴．
故答案为：130°．
13. （平移）如图所示的4根火柴棒形成象形汉字“口”，平移火柴棒后，“口”字能变成的象形汉字是图中的 ______．（填序号）
【答案】①
【解析】②③④号需要旋转才能得到，只有①只需要平移就能得到，
故答案为：①．
14. 一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“异能数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，，，则_____；若、为“异能数”，其中，，、，且，，，为整数）
规定：，若能被7整除，且，求的最大值为_____．
【答案】 ①. ②. （或）
【解析】当时，，
；
，
，
同理，
能被7整除，
，
，，或者，，
，
，
，
，
，或，，
，
当，，，时，最大，最大值为．
故答案为：，．
15. 4个数a，b，c，d排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为．若，则________．
【答案】
【解析】∵，，
∴，
即，
化简得，
解得．
故答案为∶ ．
16. 某部队进行军训从甲地到乙地，要翻越一座山，没有平路可走，去用了小时，返回时用了小时．已知走上坡每小时千米，走下坡时每小时千米．甲、乙两地的公路长________千米．
【答案】
【解析】设上山路为，下山路为
得；
解得：
故
故答案为：
17. 如图，直线、相交于点P，在这平面内，如果再画一条直线，那么它们的交点个数共有为______．
【答案】1个或2个或3个
【解析】当平行于或时，交点个数为2个；
当与和都不平行，交于P点时，交点的个数为1个；不交于同一点时，交点的个数为3个．
故答案为：1个或2个或3个．
18. 拿一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕EF，如果∠DFE=35º，则∠DFA=______
【答案】110°
【解析】根据折叠的性质结合平角的定义即可求得结果.
由题意得∠DFA=180°-∠DFE×2=180°-35º×2=110º.
三、解答题（本大题共8小题，共66分）
19. 已知，，求的值．
解：，
当，时，
原式
．
20. 阅读与思考
请仿照上面的方法，解答下列问题：
（1）分解因式：．
（2）分解因式：．
（3）若可分解为两个一次因式积，求整数p所有可能的值．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
（3）解：∵，
∴或或或
因此整数p的值可能为5或或1或．
21. （1）画出图形A先绕点O顺时针方向旋转，再向左平移6格后得到的图形．
（2）画出平行四边形①按放大后得到的图形．

（1）如图所示，即为所求作的图形；

（2）如图所示，即为所求作的图形．
22. 如图，在中，，于点E，，交于点F，的延长线交于点G，求证：
（1）；
（2）平分．
（1）证明：，
，
∵，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）证明：在和中，
，
，
∴．
平分．
23. 百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称A款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称B款）．有关人员开展了A，B两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：不满意，比较满意，满意，非常满意），下面给出了部分信息：
抽取的对A款聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：
84，86，86，87，88，89；
抽取的对B款聊天机器人的评分数据：
67，68，69，83，85，86，87，87，87，88，88，89，95，96，96，96，96，98，99，100；
抽取的对A，B款聊天机器人的评分统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中______，______，______；
（2）根据以上数据，你认为哪款聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）在此次测验中，有240人对A款聊天机器人进行评分、300人对B款聊天机器人进行评分，请通过计算，估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有多少人？
（1）解：由题意得：“满意”所占百分比为，
∴“比较满意”所占百分比为，
∴；
∵A款的评分非常满意有个，“满意”的数据：84，86，86，87，88，89；
∴把A款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是88、89，
∴，
在B款的评分数据中，96出现的次数最多，
∴；
故答案为：；
（2）解：A款聊天机器人更受用户喜爱，理由如下：
因为两款的评分数据的平均数都是88，但A款评分数据的中位数比B款高，所以A款聊天机器人更受用户喜爱．
（3）解：B款中“不满意”的有3人，所占百分比为，
估计此次测验中对聊天机器人不满意的共有（人）．
24. 定义新运算，如．计算的值．
解:∵，
∴

25. 甲、乙两种商品成本共200元，甲商品按的利润定价，乙商品按的利润定价．后来两种商品都按定价的打折出售，结果仍获得利润元．甲种商品的成本是多少元？
解：设甲种商品的成本是元，乙种商品的成本是元，
根据题意得：，
把代入第二个方程得到，，
所以，
所以，
答：甲种商品的成本是130元．
26. 如图，要利用一面墙（墙长为50米）建羊圈，用总长100米的围栏围成三个大小相同的矩形羊圈
（1）若总面积为400平方米，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？
（2）当羊圈的边长AB，BC各为多少米时，总面积S有最大值？最大值是多少？
（1）解：如图所示，根据题意，三个大小相同的矩形羊圈，
∴ ， ，
设 ， ，
∴ ，解方程组得， ， ，
∴ ，，即 或
∵墙长是 米，
∴要舍去，
∴ ， ，
故答案是：米，米
（2）解：根据题意，设 ，则 ，
∴ ，
∴当米时，米，面积 最大，最大为 平方米，
故答案是：米 ， 米，面积 最大，最大为平方米
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
得．
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式进行因式分解，我们把这种方法称为“十字相乘法”．
例如：将式子分解因式．
解：.
设备
平均数
中位数
众数
“非常满意”所占百分比
A
88
b
96
B
88
88
c