2024-2025学年广东省惠州一中高二（上）段考数学试卷（9月份）（含解析）

这是一份2024-2025学年广东省惠州一中高二（上）段考数学试卷（9月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知向量a=(1,2)，b=(3,m)，若a⊥(a+b)，则m的值为( )
A. −4B. 4C. −6D. 6
2.已知复数z=2−i1+i，则复数z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是( )
A. 若a/​/α，b⊆α，则a/​/b
B. 若a/​/α，b/​/β，α/​/β，则a/​/b
C. 若a⊆α，b⊆β，a/​/b，则α/​/β
D. 若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b
4.已知事件A，B互斥，它们都不发生的概率为16，且P(A)=2P(B)，则P(B−)=( )
A. 59B. 49C. 518D. 1318
5.如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点C处，已知库底与水坝所成的二面角为120°，测得从D，C到库底与水坝的交线的距离分别为DA=30m，CB=40m，又已知AB=20 3m，则甲、乙两人相距( )
A. 50mB. 10 37mC. 60mD. 70m
6.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ca= 33，B=π6，△ABC的面积为 3，则b=( )
A. 2 3B. 4C. 2D. 6
7.已知圆锥的底面圆周在球O的球面上，顶点为球心O，圆锥的高为3，且圆锥的侧面展开图是一个半圆，则球O的表面积为( )
A. 12πB. 16πC. 48πD. 96π
8.某工业园区有A、B、C共3个厂区，其中AB=6 3km，BC=10km，∠ABC=90°，现计划在工业园区内选择P处建一仓库，若∠APB=120°，则CP的最小值为( )
A. 6kmB. 8kmC. 4 3kmD. 6 2km
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则( )
A. 平均数为3B. 标准差为85C. 众数为2D. 85%分位数为5
10.有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x表示第一次取到的小球的标号，用y表示第二次取到的小球的标号，记事件A：x+y为偶数，B：xy为偶数，C：x>2，则( )
A. P(B)=34B. A与B相互独立C. A与C相互独立D. B与C相互独立
11.如图，点P是棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1的表面上一个动点，则( )
A. 当P在平面BCC1B1上运动时，四棱锥P−AA1D1D的体积不变
B. 当P在线段AC上运动时，D1P与A1C1所成角的取值范围是[π3,π2]
C. 使直线AP与平面ABCD所成的角为45°的点P的轨迹长度为π+4 2
D. 若F是A1B1的中点，当P在底面ABCD上运动，且满足PF/​/平面B1CD1时，PF长度的最小值是 5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,1)，b=(−1,2)，则a在b方向上的投影向量坐标是______．
13.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E为PC的中点，则异面直线PD与BE所成角的余弦值为______．
14.已知向量a,b均为单位向量，且a⊥b，向量c满足|c|= 3，则(c−a)⋅(c−b)的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，四面体ABCD，E，F，G，H，K，M分别为棱AB，BC，CD，DA，BD，AC的中点．
(1)设AB=a，AC=b，AD=c，用向量a，b，c分别表示EG、FH、KM；
(2)若|EG|=|FH|=|KM|，求证AB⊥CD，AC⊥BD，AD⊥BC．
16.(本小题15分)
在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，连接AE．
(1)证明：AE⊥PC；
(2)连接DE，求DE与底面ABCD所成角的正切值；
(3)求二面角E−CD−A的平面角的正切值．
17.(本小题15分)
为了估计一批产品的质量状况，现对100个产品的相关数据进行综合评分(满分100分)，并制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品．
(1)求图中a的值，并求综合评分的平均数；
(2)用样本估计总体，以频率作为概率，按分层随机抽样的思想，先在该条生产线中随机抽取5个产品，再从这5个产品中随机抽取2个产品记录有关数据，求这2个产品中最多有1个一等品的概率；
(3)已知落在[50,60)的平均综合评分是54，方差是3，落在[60,70)的平均综合评分为63，方差是3，求落在[50,70)的总平均综合评分z−和总方差s2．
18.(本小题17分)
设△ABC三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(2csA+sin2C)=csinBsinC+b．
(1)求A的值；
(2)设c= 3，△ABC为锐角三角形，D是边AC的中点，求DB⋅AC的取值范围．
19.(本小题17分)
由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.对于凸多面体，有著名的欧拉公式：n−e+f=2，其中n为顶点数，e为棱数，f为面数．
我们可以通过欧拉公式计算立体图形的顶点、棱、面之间的一些数量关系.例如，每个面都是四边形的凸六面体，我们可以确定它的顶点数和棱数.一方面，每个面有4条边，六个面相加共24条边；另一方面，每条棱出现在两个相邻的面中，因此每条棱恰好被计算了两次，即共有12条棱；再根据欧拉公式，e=12，f=6，可以得到顶点数n=8．
(1)已知足球是凸三十二面体，每个面均为正五边形或者正六边形，每个顶点与三条棱相邻，试确定足球的棱数；
(2)证明：n个顶点的凸多面体，至多有3n−6条棱；
(3)已知正多面体的各个表面均为全等的正多边形，且与每个顶点相邻的棱数均相同.试利用欧拉公式，讨论正多面体棱数的所有可能值．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：向量a=(1,2)，b=(3,m)，
则a+b=(4,m+2)，
a⊥(a+b)，
则4×1+2(m+2)=0，解得m=−4．
故选：A．
根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了复数运算法则的运用，主要考查了复数几何意义的理解，属于基础题．
由复数的运算法则求出z的代数形式，由复数的几何意义得到对应的点的坐标，即可得到答案．
【解答】
解：因为z=2−i1+i=(2−i)(1−i)2=12−32i，
所以复数z在复平面内对应的点为(12,−32)，在第四象限．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：选项A：a/​/α，b⊆α，只有当a，b在同一平面内的时候，才有a/​/b，故不正确；
选项B：a/​/α，b/​/β，α/​/β，则a，b可相交、平行或异面，故不正确；
选项C：a⊆α，b⊆β，a/​/b，则α，β还可能是相交平面，故不正确；
选项D：两个平面垂直时，与它们垂直的两条直线一定是垂直的，所以若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b，故正确．
故选：D．
根据直线和平面的平行和垂直的性质定理对各选项逐一判断即可．
本题考查直线和平面的平行和垂直的性质定理，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：由题可知，P(A∪B)=P(A)+P(B)=1−16=56，
又P(A)=2P(B)，所以2P(B)+P(B)=56，解得P(B)=518，
所以P(B−)=1−P(B)=1318．
故选：D．
根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解．
本题主要考查据互斥事件，对立事件的概率关系，是基础题．
5.【答案】D
【解析】解：由题意得DC=DA+AB+BC，
∴|DC|2=(DA+AB+BC)2=DA2+AB2+BC2+2DA⋅AB+2BC⋅DA+2AB⋅BC，
又DA=30m，CB=40m，AB=20 3m，
∴|DC|2=302+(20 3)2+402+0+2×30×40×12+0=4900，即|DC|=70m，
故甲、乙两人相距70m，
故选：D．
利用向量法，DC=DA+AB+BC，结合向量的线性运算，即可得出答案．
本题考查向量的线性运算和平面向量的数量积，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：由于ca= 33，故a= 3c，
由于B=π6，△ABC的面积为 3，
故S△ABC=12acsinB= 3，
整理得12⋅c⋅ 3c⋅12= 3，解得c=2，a=2 3，
利用余弦定理b2=a2+c2−2accsB=12+4−2×2×2 3× 32=16−12=4，
解得b=2．
故选：C．
直接利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果．
本题考查的知识点：三角形的面积公式，余弦定理，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，球O的半径为R，
则πl=2πr，得l=2r，
又圆锥的高为3，可得3= l2−r2= 3r，r= 3，
圆锥的底面半径为 3，母线长为2 3，
∴R=2 3．
因此，球O的表面积为：4πR2=48π．
故选：C．
由题中条件得出圆锥的母线长l，根据圆锥的侧面展开图的弧长等于底面圆周长可计算出底面圆半径r，再利用勾股定理可计算出圆锥的高h，进而求出球O的半径，最后利用球体体积公式可得出答案．
本题考查球体的表面积的计算，考查外接球模型的应用，考查了计算能力，是中档题．
8.【答案】B
【解析】解：设∠BAP=θ，(0°12，即1p>12−1q≥12−13=16，
所以p