海南省农垦中学2024-2025学年高三上学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）

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1. 集合，则（ ）
A. B. RC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化简集合A,B，根据交集的定义计算．
【详解】因为集合，
化简，所以.
故选：C．
2. 若f (x)是幂函数，且满足＝3，则f 等于（ ）
A. 3B. －3C. D. －
【答案】C
【解析】
【分析】设出函数解析式，根据已知条件求得函数解析式，再求函数值即可.
【详解】设f (x)＝xα，则＝2α＝3，∴f .
故选：.
【点睛】本题考查幂函数函数值的求解，属简单题.
3. 已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A. 34B. 39C. 42D. 45
【答案】B
【解析】
【分析】根据等差数列的片段和性质即可求解.
【详解】由成等差数列，
则，即，故.
故选：B
4. 攒尖式屋顶是中国古代传统建筑的一种屋顶样式，如图所示的建筑屋顶是圆形攒尖，可近似看作一个圆锥，已知该圆锥的底面直径为，高为，则该屋顶的面积约为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题中条件求出母线，再运用圆锥侧面积公式求出侧面积，即为屋顶的面积.
【详解】
由题知，圆锥底面圆半径，高，
则母线，
因此圆锥的侧面积为.
即屋顶的面积为，
故选：B.
5. 如图为函数y=fx在上的图象，则的解析式只可能是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，结合函数在给定区间上的符号，利用排除法求解即可．
【详解】对于B.的定义域为R，且
，故为偶函数；
对于D.的定义域为R，且
，故为偶函数；
由图象，可知为奇函数，故排除B、D；
对于A.当时，则，而，此时，由图像知道排除A；
故选：C.
6. 李明开发的小程序经过t天后，用户人数，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（ ）（取）
A. 31B. 32C. 33D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】依题意知，从而求得，再令，结合对数运算可求得结果.
【详解】∵经过t天后，用户人数，
又∵小程序发布经过10天后有2000名用户，∴，
即，可得，∴①
当用户超过50000名时有，
即，可得，∴②
联立①和②可得，即，故，
∴用户超过50000名至少经过的天数为34天.
故选：D.
7. 已知，则的大小关系正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可
【详解】， ，
令，则，
当时，，当时，，
所以在上递增，在上递减，
因为，
所以，，
因为，
所以，
所以
故选：D
8. 若函数定义域为，且f2x+1偶函数，fx-1关于点成中心对称，则（ ）
A. 56B. 57C. 58D. 59
【答案】B
【解析】
【分析】根据的奇偶性、对称性得到函数的周期，再通过赋值和分组求和即可求解.
【详解】的图象向左平移个单位得到的图象，在将横坐标缩小为原来的一半，
得到f2x+1的图象，由于f2x+1偶函数，图象关于直线对称，
所以的图象关于直线对称.
由于的图象向右平移个单位得到fx-1的图象，
由于fx-1关于点成中心对称，所以的图象关于点2,3成中心对称.
则，
，所以是周期为的周期函数.
，所以，
，则，
所以.
故选：B
【点睛】思路点睛：有关抽象函数奇偶性、对称性等问题，可以考虑利用图象变换的知识将已知条件转化为相对于的已知条件.一个函数，如果函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形，则可以考虑函数具有周期性.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. “体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2024年巴黎奥运会，已知运动员甲特训的成绩分别为：9，12，8，16，16，18，20，16，12，13，则这组数据的（ ）
A. 众数为12B. 平均数为14C. 中位数为14.5D. 第85百分位数为16
【答案】BC
【解析】
【分析】由众数，中位数，平均数，第百分位数的定义求出即可.
【详解】成绩从小到大排列为：.
A：出现次数最多的数为，故A错误；
B：平均数，故B正确；
C：中位数：，故C正确；
D：第85百分位数为第，即第位，为，故D错误；
故选：BC
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 函数（且）的图象恒过定点
B. 若命题“”为真命题，则实数的取值范围是
C. 将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象
D. 的零点所在的一个区间为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对A，根据对数函数的定义即可求解；对B，由二次函数的性质可判断；对C，根据三角函数的平移原则即可判断；对D，根据函数单调性结合零点存在性定理即可判断.
【详解】对于A，令，解得，，
所以恒过定点，故选项A正确；
对于B，因为，，为真命题，则，解得，故B错误；
对于C，函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，故C正确；
对于D，因为在上均单调递增，
则在上单调递增，
又，，则根据零点存在性定理知其零点所在的一个区间为，故D正确.
故选：ACD
11. 已知函数，对任意的都有，且，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 是奇函数
C. y=fx是上的增函数D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】令可求，可判断A；令，可判断函数的奇偶性，可判断B；推出，取反例验证可判断C；令，可得数列的递推公式，再求的通项公式可判断D.
【详解】对A：令，则，故A正确；
对B：令，则，
由A可知：，所以函数为奇函数，故B正确；
对C：由，
设，则，
则.
由f'x>0；由f'x<0.
所以上单调递减，在上单调递增.故C错误；
对D：令，可得：由得：，
又，所以是以为首项，以1为公差的等差数列.
所以，故D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：对于函数方程问题，赋值法是解决问题的突破口.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知复数的实部为，且为纯虚数，则复数___________.
【答案】##
【解析】
【分析】解设复数，根据复数定义和纯虚数定义，直接求解参数即可.
【详解】由题设，（，），
则，
所以，，故.
故答案为：
13. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且的面积，若的平分线交于点D，则________．
【答案】##
【解析】
【分析】根据三角形的面积公式和余弦定理求得以及，利用正弦定理求得，进而求得.
【详解】依题意，
所以，
所以，所以为锐角，且.
由余弦定理得，
是的平分线，由正弦定理得，
由于，所以，
所以，而，
，
在三角形中，由正弦定理得，
解得.
故答案为：
14. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数解，则实数的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用导数研究函数的单调性并求得最值，求解方程得到或．画出函数图象，数形结合得答案．
【详解】设，则，
由，解得，
当时，，函数为增函数，当时，，函数为减函数．
当时，函数取得极大值也是最大值为（）．
方程化为．
解得或．
如图画出函数图象：可得的取值范围是．
故答案为：
【点睛】本题主要考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
四、解答题，本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，平面四边形ABCD内接于一个圆，且，，为钝角，.
（1）求；
（2）若，求△BCD的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.
（2）先求得，利用余弦定理求得，利用三角形的面积公式求得三角形的面积.
【小问1详解】
因为为钝角，，所以，
由余弦定理得，
整理得，解得（负根舍去），
由正弦定理得.
【小问2详解】
由于圆的内接四边形对角互补，所以且为锐角，则，
在三角形中，由余弦定理得：
，，
解得（负根舍去），
所以三角形的面积为.
16. 已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求的解析式；
（2）求当时，函数的值域．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答.
（2）由（1）的结论，求出函数的解析式，结合二次函数求出值域..
【小问1详解】
由函数是上的奇函数，则有，解得，即，
，，
即，，解得，经验证得，时，是奇函数，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
当时，，因此当时，，当时，，
所以所求值域为.
17. 已知数列{an}满足：，．
（1）证明：数列是等比数列并求数列{an}的前项和为．
（2）设，求数列{bn}的前项和．
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【解析】
【分析】（1）要证数列是等比数列，只需证明等于同一个常数即可，根据构造即可得证；求出数列{an}的通项公式，利用分组求和法即可求出数列{an}的前项和；
（2）求出数列{bn}得通项公式，利用错位相减法即可求得数列{bn}的前项和．
【详解】（1）证明：因为，
所以，即，
，
所以数列是以2为首项2为公比的等比数列，
则 ，故，
所以
；
（2）解：，
则①
②
①②得：


所以.
18. 如图，三棱锥中，正三角形所在平面与平面垂直，为的中点，是的重心，，G到平面的距离为1，.
（1）证明：平面；
（2）证明：是直角三角形；
（3）求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（1）连接PG并延长交BC于D，连接OD、OG，由，利用线面平行的判定推理即得.
（2）平面平面ABC，可得平面ABC，结合，可得结论.
（3）建立空间直角坐标系，求出法向量，可得平面PAB与平面PBC夹角的余弦值.
【小问1详解】
在三棱锥中，连接PG并延长交BC于D，连接OD、OG，
由G为的重心，得D为BC的中点，又O是AC中点，
则，又平面POG，平面POG，
所以平面.
【小问2详解】
由是正三角形，O是AB的中点，得，
又平面平面ABC，平面平面，平面PAC，
则平面ABC，又平面ABC，于是，
又，又平面POD，，因此平面POD，
又平面POD，则，又由（1）知，于是，
所以是直角三角形.
【小问3详解】
在平面内过B作于F，平面平面ABC，平面平面，则平面PAC，
由G为的重心，且G到平面PAC的距离为1，得B到平面PAC的距离为3，即，
在中，，则，在中，，
以O为原点，直线OC，OP分别为y，z轴，过点O且垂直于平面PAC的直线为x轴，建立空间直角坐标系，
则，
设平面PAB的法向量为，，
则，令，得，
设平面PBC的法向量为，，
则，令，得，
因此，
所以平面PAB与平面PBC夹角的余弦值为.
19. 已知函数．
（1）求曲线y=fx在处的切线方程.
（2）讨论函数的单调性；
（3）设函数．证明：存在实数，使得曲线y=gx 关于直线对称.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求出切点，求导，由导数的几何意义得到切线斜率，进而得到切线方程；
（2）求定义域，求导，分，两种情况，得到函数的单调性；
（3）求的定义域，根据对称得到，再得到，从而得到关于直线对称.
【小问1详解】
切点为.
因为，所以切线的斜率为，
所以曲线在处的切线方程为，
化简得；
【小问2详解】
由题意可知，则Fx的定义域为，
，，
当时，，则Fx在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则Fx上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，Fx在上单调递减；
当时，Fx在上单调递减，在上单调递增；
【小问3详解】
证明：函数，
函数的定义域为．
若存在，使得曲线y=gx关于直线对称，
则关于直线对称，所以
由
．
可知曲线y=gx关于直线对称．
【点睛】知识点点睛：函数的对称性：
若，则函数关于中心对称，
若，则函数关于对称，