上海市青浦高级中学2024-2025学年高三上学期9月考试数学试卷（原卷版）

这是一份上海市青浦高级中学2024-2025学年高三上学期9月考试数学试卷（原卷版），共4页。

考试时间：120分钟 满分：150分
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1. 直线的倾斜角为_________．
2. 在的展开式中，含的系数为______．
3. 已知集合，集合，则__________．
4. 若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________.
5. 已知x，，则“”是“”的____________________条件．
6. 已知，的最小值为______．
7. 从1，2，3，4，5这五个数字中任意选取两个不同的数字组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为_______．
8. 已知函数，且，则方程的解为______________．
9. 已知集合，，若，则m的取值范围是______．
10. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判，则前4局中乙恰好当一次裁判的概率是__________．
11. 设为坐标原点，是以为焦点抛物线上任意一点，是线段上的点且，则直线斜率的取值范围是__________．
12. 对于定义在上的函数，若同时满足：
（1）对任意的，均有；
（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数为“等均”函数．下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的序号是__________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分．第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 若实数、满足，下列不等式中恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
14. 在2022北京冬奥会单板滑雪U型场地技巧比赛中，6名评委给选手打出了6个各不相同的原始分，经过“去掉其中一个最高分和一个最低分”处理后，得到4个有效分．则经处理后的4个有效分与6个原始分相比，一定会变小的数字特征是（ ）
A. 平均数B. 中位数C. 众数D. 方差
15. 如图所示，在正方体中，是棱上一点，若平面与棱交于点，则下列说法中正确的是（ ）
A. 存在平面与直线垂直
B. 四边形可能是正方形
C. 不存平面与直线平行
D. 任意平面与平面垂直
16. 已知无穷数列的各项均为实数，为其前n项和，若对任意正整数都有，则下列各项中可能成立的是（ ）
A. ，，，…，为等差数列，，，，…，为等比数列
B. ，，，…，等比数列，，，，…，为等差数列
C. ，，，…，为等差数列，，，…，，…为等比数列
D. ，，，…，为等比数列，，，…，，…为等差数列
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD为梯形，，，，．
（1）在侧面PBC中能否作出一条线段，使其与AD平行？如果能，请写出作图过程并给出证明；如果不能，请说明理由；
（2）若四棱锥的体积是，求直线BP与平面PCD所成角的大小．
18. 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求的通项公式；
（2）证明：．
19. 汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法（如下图所示）将报警时间划分为4段，分别为准备时间、人的反应时间、系统反应时间、制动时间，相应的距离分别为、、、.当车速为v（米/秒），且时，通过大数据统计分析得到下表（其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，）
（1）请写出报警距离d（米）与车速v（米/秒）之间函数关系式，并求时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间.（精确到0.1秒）
（2）若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时〈精确到1千米/小时〉？
20. 已知椭圆:的左、右点分别为点在椭圆上，且
(1)求椭圆的方程；
(2)过点(1,0)作斜率为的直线交椭圆于M、N两点，若求直线的方程；
(3)点P、Q为椭圆上两个动点，为坐标原点，若直线的斜率之积为求证:为定值.
21. 设函数，直线l是曲线在点处的切线．
（1）当时，求单调区间；
（2）求证：l不经过；
（3）当时，设点，，，B为l与y轴的交点，与分别表示和的面积．是否存在点A使得成立？若存在，这样的点A有几个？
阶段
0、准备
1、人的反应
2、系统反应
3、制动
时间
秒
秒
距离
米
米