2024-2025学年初中上学期九年级数学第一次月考卷（全解全析）（青岛版）

这是一份2024-2025学年初中上学期九年级数学第一次月考卷（全解全析）（青岛版），共16页。试卷主要包含了测试范围，难度系数，中，若，，是锐角，则的形状是，如图，一山坡的坡度等内容，欢迎下载使用。

（时间：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：青岛版九年级上册第1章~第2章。
5．难度系数：0.7。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1．观察如图每组图形，是相似图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】A．两图形形状不同，不符合题意；
B．两图形形状相同，符合题意；
C．两图形形状不同，不符合题意；
D．两图形形状不同，不符合题意．
故选：B．
2．如图，和位似，原点是位似中心，位似比为．若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】∵和位似，原点是位似中心，位似比为，点的坐标为，
∴点的坐标为(，，即，
故选：A．
3．如图，已知且，，则的长为（ ）

A．12B．13C．18D．21
【答案】D
【解析】解：∵，
，
，
，
解得：，
故选：D．
4．如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值是（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：如图，设网格中小正方形的边长为1，则，，

∴，
故选：D．
5．利用数学课本上的计算器计算，正确的按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】解：利用数学课本上的计算器计算，按键顺序是.
故选：B.
6．中，若，，是锐角，则的形状是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形
【答案】C
【解析】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故为等腰三角形．
故选：C
7．如图，一山坡的坡度．小明从山脚出发，沿山坡到达点，已知，的水平距离米，则小明上升的高度是（ ）

A．100米B．200米C．米D．米
【答案】A
【解析】解：∵山坡的坡度为，米．
∴解得：(米)，
则小明上升的高度是100米，
故选：A．
8．如图，在平行四边形中，是上的点，，连接交于点，则与的面积之比为（ ）
A． B． C．D．
【答案】C
【解析】解：∵四边形是平行四边形，∴，，
∴，
∵， ∴
∴．
故选：C．
9．小包同学想要测量学校旗杆的高度，如图，小包同学测得旗杆的影子长，通过上网搜索资料得知此时此处的太阳高度角，则旗杆的高度是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】解：在中，，
，
．
故选：A．
10．如图，矩形中，E为的中点，，，连接并延长，交的延长线于点F，、相交于点O．下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．①②④C．①③D．①②③
【答案】D
【解析】解：矩形中，，，
∵E为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴平分，故①正确；
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，故②正确；
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
在中，，，
∴，∴，∴，
∴，故③正确；
∴，
∵，，
∴，∴，
∴，故④错误．
故选：D.
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．
11．如图，同一时刻在阳光照射下，树AB的影子，小明的影子，已知小明的身高，则树高 ．
【答案】
【解析】解：设树高是x米，则，
解得：．
故答案为：．
12．若，则锐角等于 度．
【答案】15
【解析】解：∵，，
∴，
解得：，
故答案为：15．
13．如图，市政府准备修建一座高为的过街天桥，已知为天桥的坡面与地面的夹角，且 ，则坡面的长度为 ．
【答案】
【解析】解：由题知，，，
，
解得，
故答案为：．
14．如图，中，D、E分别是、上的点，要使，需添加一个条件是 ．（只要写一个条件）
【答案】或或
【解析】解：是公共角，
要使，可添加：或或等．
故答案为：或或等（此题答案不唯一）．
15．如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是 .
【答案】
【解析】解：设正方形零件的边长为．则，
由题可知，四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
故答案为：．
16．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ．
【答案】
【解析】解：的中点，，
∴，
，
，
，
，
的面积是，
，
推理，
，
，
同理，，，…，
（个）.
故答案为．
三、解答题：本题共 7 小题，共 72 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题10分）计算：
(1)；
(2)．
【解析】（1）解：
．
（2）解：
．
18．（本题9分）如图，在中，，，，求的值．
【解析】解：在中，，，，
由勾股定理得.
则.
19．（本题9分）如图，，相交于点，．求证：．
【解析】解：∵，，
∴，
∵，
∴.
20．（本题10分）如图，与交于点O，，，E为延长线上一点，过点E作，交的延长线于点F．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
【解析】（1）解：∵，
又∵，∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵，∴，∴，∴，
∴，∴的长为．
21．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．
(1)以原点O为位似中心，在第二象限内画出将放大为原来的2倍后的．
(2)画出绕C点逆时针旋转90°后得到的．
【解析】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求．
22．（本题12分）如图1，某款线上教学设备由底座，支撑臂AB，连杆BC，悬臂CD和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角提高拍摄效果．
图1 图2
(1)当悬臂与桌面l平行时，______ °；
(2)悬臂端点C到桌面l的距离约为多少？
(3)已知摄像头点D到桌面l的距离为时拍摄效果较好，那么此时悬臂与连杆的夹角的度数约为多少？（参考数据：，，）
【解析】（1）解：过点 B作直线，
∵，∴，
∵，∴，
，
故答案为：58.
（2）解：过点 C作，垂足为 F， 过点 B作， 垂足为N， 过点D作 垂足为M， 设与交于点G，如图，
则，，，，，，
∵，
在中，，
∴，
∴悬臂端点 C到桌面l的距离约为．
（3）解：过点D作， 垂足为E， 如图，
则，，，，，，
∵摄像头点 D到桌面l的距离为，
∴，
∴，
在中，，，

∴，，
在中，，
∴，
∴．
23．（本题12分）【问题呈现】
如图，和是有公共顶点的直角三角形，，点P为射线、的交点．探究，的位置关系．
【问题探究】
(1)如图1，若和是等腰直角三角形，求证：；
(2)如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由；
(3)【拓展应用】在（1）的条件下，，，将绕点A旋转使点E恰好落在线段上，请直接写出此时的长度．
【解析】（1）解：设交于点O，如图1.
∵和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，，∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
（2）解：成立，理由如下：
设交于点O，如图2，
∵， ，
∴，∴，
∵，
∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴，
即．
（3）解：如图，当点E在上时，

由（1）的结论可得，
又∵，∴，∴，
∵，∴，
∴，，
∴.