2024-2025学年初中上学期八年级数学第一次月考卷（人教版）（全解全析）A4版

这是一份2024-2025学年初中上学期八年级数学第一次月考卷（人教版）（全解全析）A4版，共24页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分，测试范围等内容，欢迎下载使用。

（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：第十一章~第十二章（人教版）。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单选题
1．已知三条线段的长分别是3，7，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．11B．10C．9D．7
【答案】C
【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．
【详解】解：∵三条线段的长分别是3，7，m，它们能构成三角形，
∴7-3∴4∴整数m的最大值是9．
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
2．在△ABC和△DEF中，下列条件不能判断这两个三角形全等的是（ ）
A．∠A=∠D，BC=EF，AB=DEB．∠A=∠D，AB=DE，AC=DF
C．AB=DE，AC=DF，BC=EFD．∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF
【答案】A
【分析】根据全等三角形的判定方法：SSS,SAS,ASA,AAS,HL，进行判断即可；
【详解】解：A、利用SSA，不能判断两个三角形全等，符合题意；
B、利用SAS，得到两个三角形全等，不符合题意；
C、利用SSS，得到两个三角形全等，不符合题意；
D、利用HL，得到两个三角形全等，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
3．若一个多边形截去一个角后，变成四边形，则原来的多边形的边数可能为（ ）
A．4或5B．3或4C．3或4或5D．4或5或6
【答案】C
【分析】根据多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边；据此求解即可．
【详解】解：当多边形是五边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是四边形时，截去一个角时，可能变成四边形；
当多边形是三角形时，截去一个角时，可能变成四边形；
所以原来的多边形的边数可能为：3或4或5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了多边形，解题的关键是理解多边形截去一个角的位置可得：比原多边形可能少1条边，可能边的条数不变，也可能增加1条边．
4．已知直线a∥b，把Rt△ABC如图所示放置，点B在直线b上，∠ABC＝90°，∠A＝30°，若∠1＝28°，则∠2等于（ ）
A．28°B．32°C．58°D．60°
【答案】C
【分析】先利用外角与内角的关系求出∠4，再利用平行线的性质求出∠2．
【详解】解：如图，
∵∠3＝∠1＝28°，∠4＝∠3+∠A，∠A＝30°，
∴∠4＝28°+30°＝58°．
∵a∥b，
∴∠2＝∠4＝58°．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
5．如图所示，点H是△ABC内一点，要使点H到AB、AC的距离相等，且S△ABH=S△BCH，点H是（ ）
A．∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点
B．∠BAC的角平分线与AB边上中线的交点
C．∠ABC的角平分线与AC边上中线的交点
D．∠ABC的角平分线与BC边上中线的交点
【答案】A
【分析】根据点H到AB、AC的距离相等可得点H在∠BAC的角平分线上，由S△ABH=S△BCH可得AC边上的中线上，即可求解．
【详解】解：由点H到AB、AC的距离相等可得点H在∠BAC的角平分线上，
由S△ABH=S△BCH可得AC边上的中线上，
则点H是∠BAC的角平分线与AC边上中线的交点，
故选：A
【点睛】此题考查了角平分线的判定以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
6．如图，点F，A，D，C在同一直线上，EF∥BC，且EF=BC，DE∥AB．已知AD=3,CF=11,则AC的长为（）

A．5B．6C．7D．6．5
【答案】C
【分析】根据题意得出△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质求解即可．
【详解】解：∵EF∥BC,DE∥AB，
∴∠F=∠C,∠FDE=∠CAB,
在△ABC和△DEF中，
∠CAB=∠FDE∠C=∠FBC=EF
∴△ABC≌△DEF(AAS),
∴AC=DF,
∴AC-AD=DF-AD,
即CD=AF，
∵AD=3,CF=11,
∴CD+AF=8,
∴CD=4,
∴AC=AD+CD=7,
故选：C．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用AAS证明△ABC≌△DEF是解题的关键．
7．如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了96米回到点P．则α=（ ）
A．30°B．45°C．60°D．不存在
【答案】B
【分析】本题主要考查了多边形外角和定理，先根据题意求出小林左转8次回到了点P，再根据八边形外角和为360度进行求解即可．
【详解】解：由题意得，小林一共左转了96÷12=8次回到了点P，
∴小林从P点出发又回到点P正好走了一个八边形，
∴α=360°÷8=45°，
故选；B．
8．如图△ABC中，AD是中线，AB=5，AC=3，则AD的取值范围是（ ）．

A．3【答案】C
【分析】延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，利用SAS证明△ADC≌△EDB，得BE=AC=3，再利用三角形三边关系即可求解．
【详解】解：如图，延长AD至点E，使DE=AD，连接BE，
∵AD是BC上的中线，
∴BD=CD，
在△ADC和△EDB中，
BD=CD∠BDE=∠CDAED=AD，
∴△ADC≌△EDBSAS，
∴BE=AC=3，
∴5-3∴1故选：C．

【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，作辅助线构造全等三角形是解题的关系．
9．如图所示，△ABC中，点D、E、F分别在三边上，E是AC的中点，AD、BE、CF交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是（ ）

A．25B．.30C．35D．40
【答案】B
【分析】由于BD=2DC，那么结合三角形面积公式可得S△ABD=2S△ACD，而S△ABC=S△ABD+S△ACD，可得出S△ABC=3S△ACD，而E是AC中点，故有S△AGE=S△CGE，于是可求S△ACD，从而易求S△ABC．
【详解】．解：BD＝2DC，
∴S△ABD＝2S△ACD，
∴S△ABC＝3S△ACD，
∵E是AC的中点，
∴S△AGE＝S△CGE，
又∵S△GEC＝3，S△GDC＝4，
∴S△ACD＝S△AGE+S△CGE+S△CGD＝3+3+4＝10，
∴S△ABC＝3S△ACD＝3×10＝30．
故选B．

【点睛】此题考查三角形的面积公式、三角形之间的面积加减计算．解题关键在于注意同底等高的三角形面积相等，面积相等、同高的三角形底相等．
10．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S△ABP=S△AEP+S△DBP，其中正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线定义可判断①；由PF⊥AD结合①的结论可得∠APB=∠FPB=135°，利用角平分线和公共边可证得△ABP≌△FBPAAS，可得∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，可判断②；由∠BAP=∠BFP，结合AD平分∠BAC，可知∠PAH=∠BAP=∠BFP，可证得△APH≌△FPDASA，可得AH=FD，由AB=FD+BD=AH+BD可判断③；由全等三角形的性质可得S△APH=S△FPD，S△ABP=S△FBP=S△DBP+S△FPD=S△DBP+S△APH，进而可判断④．
【详解】解：∵在△ABC中，AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，
∴∠BAD=12∠BAC，∠ABE=12∠ABC
∵∠ACB=90°，
∴∠BAC+∠ABC=90°，
∴∠BAD+∠ABE=12∠BAC+∠ABC=45°，
∴∠APB=180°-∠BAD+∠ABE=135°，故①正确；
∴∠BPD=45°，
又∵PF⊥AD，
∴∠FPB=90°+45°=135°，
∴∠APB=∠FPB，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABP=∠FBP，
∵BP=BP，
∴△ABP≌△FBPAAS，
∴∠BAP=∠BFP，AB=FB，PA=PF，故②正确；
∵AD平分∠BAC，
∴∠PAH=∠BAP，
∴∠PAH=∠BAP=∠BFP，
∵∠APH=∠FPD=90°，PA=PF，
∴△APH≌△FPDASA，
∴AH=FD，
又∵AB=FB，
∴AB=FD+BD=AH+BD．故③正确；
∵△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，
∴S△APH=S△FPD，S△ABP=S△FBP=S△DBP+S△FPD=S△DBP+S△APH，
∵S△APH>S△AEP，
∴S△ABP=S△DBP+S△APH>S△DBP+S△AEP，故④不正确；
综上，正确的有①②③，共3个，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，角平分线与三角形内角和定理．根据三角形内角和定理以及角平分线定义∠APB=135°，再由此证明△ABP≌△FBP，△APH≌△FPD，是解决问题的关键．
二、填空题
11．若一个多边形的边数是这个多边形从一个顶点发出的对角线条数的2倍，则这个多边形是 边形．
【答案】六
【分析】设此多边形有n条边，则从一个顶点引出的对角线有(n-3)条，根据“一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍”列出方程，解方程即可．
【详解】解：设此多边形有n条边，由题意，
得n=2(n-3)，
解得n=6，
∴这个多边形是六边形．
故答案为：六．
【点睛】此题考查多边形的对角线；解题关键在于理解题意找出等量关系列出方程．
12．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于 ．

【答案】360°/360度
【分析】结合已知图形，根据三角形的内角和定理进行角的计算即可；
【详解】
解：∵∠A+∠F=180°-∠AOF,∠B+∠C=180°-∠BGC,∠D+∠E=180°-∠DHE,
∠AOF+∠BGC+∠DHE=180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F
=180°-∠AOF+180°-∠BGC+180°-∠DHE
=540°-(∠AOF+∠BGC+∠DHE)
=540°-180°
=360°；
故答案为：360°；
【点睛】本题考查三角形的内角和定理，结合已知条件将∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F化为180°-∠AOF+180°-∠BGC+180°-∠DHE解题的关键．
13．如图，在△ABC中，AD是高线，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=50°，∠C=70°，∠EAD度数为 ．
【答案】5°/5度
【分析】本题主要考查了几何图形中角的计算，理解三角形内角和定理、三角形高和角平分线的定义，准确推理计算是解题的关键．
根据三角形高和角平分线的定义、三角形内角和定理，先求出∠EAC、∠DAC的度数，再计算∠DAE=∠EAC-∠DAC即可．
【详解】解：∵在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠BAC=50°，∠C=70°，
∴∠EAC=12∠BAC=12×50°=25°，∠DAC=180°-90°-∠C=90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠EAC-∠DAC=5°．
故答案为：5°
14．如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，BC=DC，CE⊥AD于点E，AD=12，AB=7，则DE的长为 ．

【答案】52
【分析】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，证明Rt△ACF≌Rt△ACEHL，则AE=AF=AB+BF，证明Rt△BCF≌Rt△DCEHL，则DE=BF，得到AD=AB+2DE，即可得到DE的长．
【详解】解：过点C作CF⊥AB交AB的延长线于点F，

∵AC平分∠BAD，CE⊥AD于点E，CF⊥AB于F，
∴CE=CF，
∵AC=AC，
∴Rt△ACF≌Rt△ACEHL，
∴AE=AF=AB+BF，
∵CE=CF，BC=DC，
∴Rt△BCF≌Rt△DCEHL
∴DE=BF，
∴AD=AE+DE=AB+BF+DE=AB+2DE，
∴12=7+2DE
∴DE=52，
故答案为：52
15．如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为 ．
【答案】20°．
【分析】延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，在△ABF和△PCF中根据三角形的内角和定理可得∠P+∠PCF=∠A+∠ABF，再根据三角形的外角性质得到∠P+∠PBE=∠PCD－∠D，再根据PB、PC是角平分线即可推出2∠P=∠A－∠D，问题即得解决．
【详解】解：延长PC交BD于E，设AC、PB交于F，如图，
∵∠A+∠ABF+∠AFB=∠P+∠PCF+∠PFC=180°，∠AFB=∠PFC，
∴∠P+∠PCF=∠A+∠ABF，
∵∠P+∠PBE=∠PED，∠PED=∠PCD－∠D，
∴∠P+∠PBE=∠PCD－∠D，
∴2∠P+∠PCF+∠PBE=∠A－∠D+∠ABF+∠PCD，
∵PB、PC是角平分线，
∴∠PCF=∠PCD，∠ABF=∠PBE，
∴2∠P=∠A－∠D，
∵∠A=50°，∠D=10°，
∴∠P=20°．
故答案为：20°．
【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理、三角形的外角性质和角平分线的定义等知识，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键．
16．如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=15cm，AC=6cm．动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB．若点E的运动时间为t秒t>0，则当t= 秒时，△DEB与△BCA全等．
【答案】3或7或10
【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是要分情况讨论．分情况，当E在线段AB上，或当E在线段AB延长线上，由HL即可求解．
【详解】解：∵ CA⊥AB，BM⊥AB，∠CAB=∠DBE=90°，
∵ ED=CB，当E在线段AB上时，若BE=AC，
∴ Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，
∵ AE=3tcm，
∴ BE=AB-AE=15-3tcm，
∴ 15-3t=6，
∴ t=3；
若BE=AB，
∴ Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，
∴ AE=0，
∴ t=0（舍去），
当E在线段AB延长线上时，若BE=AC，
∴ Rt△DEB≌Rt△BCA(HL)，
∵ AE=3t=AB+BE=15+6=21 (cm)，
∴ t=7，
若BE=AB，
∴ Rt△DEB≌Rt△CBA(HL)，
∵ AE=3t=AB+BE=15+15=30(cm)，
∴ t=10，
∴当t=3或7或10秒时，△DEB与△BCA全等．
故答案为：3或7或10．
三、解答题
17．如图，正方形ABCD的四个顶点都是格点，E点是格点，且在BC边上．仅用无刻度直尺在给定网格中完成画图．

(1)找到格点F，并连接AF，使AF=AE，且AF⊥AE；
(2)连接EF，过A作AG⊥EF于G点；
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）在CD延长线上取格点F，连接AF、DF，使得DF=BE，会有DF⊥AD，即∠ADF=∠ABE=90°，结合AD=AB，可证△ADF≌△ABESAS，则AF=AE，∠DAF=∠BAE，故∠DAF+∠DAE=∠BAE+∠DAE，即∠FAE=∠BAD=90°，则AF⊥AE，故格点F即为所求；
（2）连接EF，在点E的左侧，过点E的水平网格线上取格点P；在点F的右侧，过点F的水平网格线上取格点Q，使得EP=FQ，会有EP∥FQ，连接PQ交EF于点G，连接AG，根据“两直线平行，内错角相等”，可得∠PEG=∠QFG、∠EPG=∠FQG，可证△EPG≌△FQGASA，可得EG=FG，即点G为EF的中点，根据AF=AE、等腰三角形三线合一的性质，可得AG⊥EF，故AG即为所求．
【详解】（1）如图，格点F即为所求；

（2）如图，AG即为所求．

【点睛】本题主要考查了网格作图，涉及了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形三线合一的性质等，灵活运用知识点作图是解题的关键．
18．已知△ABC的三边a，b，c满足a+b=3c-4，a-b=2c-6，且a>b．
(1)求c的取值范围；
(2)若△ABC的周长为12，求c的值．
【答案】(1)3(2)c=4
【分析】（1）根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边得出|2b，则a-b=2c-6>0，故3（2）由△ABC的周长为12，得a+b+c=12，又因为a+b=3c-4，所以c=4，即可作答．
【详解】（1）解：由题意有a-b∴2c-6∴2又∵a>b
∴a-b=2c-6>0
故c>3
又因为2∴3（2）解：∵△ABC周长为12
∴a+b+c=12
又∵a+b=3c-4，
∴3c-4+c=12
∴c=4，
【点睛】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．
19．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O，AB=DC，AC=BD．求证：△ABO≌△DCO．

【答案】见解析
【分析】连接BC，首先证明出△ABC≌△DCBSSS，得到∠A=∠D，然后证明出△ABO≌△DCOAAS．
【详解】解：连接BC，
∴在△ABC与△DCB中

AB=DCBC=CBAC=DB
∴△ABC≌△DCBSSS
∴∠A=∠D
∴在△ABO与△DCO中
∠A=∠D∠AOB=∠DOCAB=DC
∴△ABO≌△DCOAAS
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握证明三角形全等的方法是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，BD、CE分别是△ABC的高，在BD上取一点P，使BP=AC，在CE的延长线上取一点Q，使CQ=AB，连接AQ与AP．
(1)求证：△ABP≌△QCA；
(2)判断AP与AQ的位置关系并证明你的结论．
【答案】(1)见解析
(2)AP⊥AQ，见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
（1）由同角的余角相等得到一对角相等，再由已知两对边相等，利用SAS即可得证；
（2）AP与AQ垂直，理由为：根据（1）的结论得到∠BAP=∠Q，∠Q+∠QAE=90°，利用等角的余角相等即可得证．
【详解】（1）证明：∵∠ADB=∠AEC=90°，
∴∠ABP+∠BAD=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠ABP=∠QCA，
在△ABP和△QCA中，
BP=AC∠ABP=∠QCACQ=AB，
∴△ABP≌△QCASAS；
（2）解：AP⊥AQ，理由为：
由（1）得∠BAP=∠Q，∠Q+∠QAE=90°，
∴∠BAP+∠QAE=90°，
则AQ⊥AP．
21．图1是一个平分角的仪器，其中OD=OE，FD=FE．
(1)如图2，将仪器放置在△ABC上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边AB，AC上，沿AF画一条射线AP，交BC于点P．AP是∠BAC的平分线吗？请判断并说明理由．
(2)如图3，在（1）的条件下，过点P作PQ⊥AB于点Q，若PQ=5，AC=8，△ABC的面积是45，求AB的长和BP:CP的值．
【答案】(1)AP是∠BAC的平分线，理由见解析
(2)AB=10，BP:CP=5:4
【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，能够熟练运用角平分线的性质得是解题关键．
(1)利用三条对应边相等证明△ADF≌△AEF来得到∠DAF=∠EAF即可证明．
(2) 过点P作PG⊥AC于点G，利用角平分线上的点到角两边的距离相等得到△APC的高PG=5，再运用割补法及三角形的面积计算公式解题即可．
【详解】（1）解：AP是∠BAC的平分线，理由如下：
∵ OD=OE，FD=FE，AF=AF，
∴ △ADF≌△AEFSSS，
∴ ∠DAF=∠EAF，
∴ AP平分∠BAC；
（2）如图，过点P作PG⊥AC于点G，
∵ AP平分∠BAC，PQ⊥AB，
∴ PG=PQ=5，
∵ S△ABC=S△ABP+S△ACP=12AB·PQ+12AC·PG，
∴ 12AB×5+12×8×5=45，
∴ AB=10，
设△ABC的BC边上的高为h，
∵ S△ABP=12AB·PQ=12×10×5=12BP·h=25，S△AcP=12AC·PG=12×8×5=12BC·h=20，
∴ 12BP·h12CP·h=2520，即BP:CP=5:4．
22．定义：如果一个三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
(1)若△ABC是“准互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，则∠B=_____°；
(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．
①如图，若AD是∠BAC的角平分线，请你判断△ABD是否为“准互余三角形”？并说明理由．
②点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度数．
【答案】(1)17
(2)①△ABD是“准互余三角形”，理由见解析； ②121°或118°．
【分析】（1）根据“准互余三角形”的定义可得2∠B+∠A=90°，代入数据求出∠B即可；
（2）①由直角三角形的性质可得∠CAB+∠ABC=90°，结合角平分线的定义可得2∠DAB+∠ABC=90°，进而可得△ABD是“准互余三角形”；
②根据△ABE是“准互余三角形”可得2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，求出∠EAB=31°或∠EAB=34°，然后分别利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】（1）解：∵∠C>90°，∠A=56°，且△ABC是“准互余三角形”，
∴2∠B+∠A=90°，
∴∠B=17°，
故答案为：17；
（2）解：①△ABD是“准互余三角形；
理由：∵∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAB=2∠DAB，
∴2∠DAB+∠ABC=90°，
∴△ABD是“准互余三角形”；
②∵点E是边BC上一点，△ABE是“准互余三角形”，
∴2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，
∵∠ABC=28°，
∴2∠EAB+28°=90°或∠EAB+2×28°=90°，
∴∠EAB=31°或∠EAB=34°，
当∠EAB=31°，∠ABC=28°时，∠AEB=180°-31°-28°=121°，
当∠EAB=34°，∠ABC=28°时，∠AEB=180°-34°-28°=118°，
∴∠AEB的度数为：121°或118°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，理解“准互余三角形”的定义是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
23．（1）如图，把△ABC沿DE折叠，使点A落在点A1处，试探究∠1、∠2与∠A的关系；
（2）如图2，若∠1=140°,∠2=80°，作∠ABC的平分线BN，与∠ACB的外角平分线CN交于点N，求∠BNC的度数；
（3）如图3，若点A1落在△ABC内部，作∠ABC，∠ACB的平分线交于点A1，此时∠1,∠2, ∠BA1C满足怎样的数量关系？并给出证明过程．

【答案】（1）∠1=2∠A+∠2；（2）15°；（3）∠1+∠2=4∠BA1C-360°，理由见详解
【分析】（1）由折叠的性质可知∠A=∠A1，根据外角定理得到∠1=∠A+∠AMD，∠AMD=∠A1+∠2，代入即可得到∠1=2∠A+∠2；
（2）先根据（1）的结论求出得到∠A=30°，再由角平分线的定义得到∠NBC=12∠ABC，∠NCH=12∠ACH，再根据三角形外角定理进行角的转化即可得到∠N=12∠A=15°；
（3）由折叠的性质可知∠AED=∠A1ED,∠ADE=∠A1DE，根据三角形内角和定理证明∠1+∠2=2∠A，根据角平分线的性质得到∠ABC=2∠A1BC，∠ACB=2∠A1CB，进而证明∠A=2∠BA1C-180°，代入即可得到∠1+∠2=4∠BA1C-360°．
【详解】解：（1）∠1=2∠A+∠2，理由如下：
如图1，AC与DA1交于点M．

由折叠的性质可知∠A=∠A1，
∵∠1为△ADM外角，
∴∠1=∠A+∠AMD，
∵∠AMD为△EMA1外角，
∴∠AMD=∠A1+∠2，
∴∠1=∠A+∠A1+∠2=2∠A+∠2；
（2）由（1）得∠1=2∠A+∠2，
∵∠1=140°,∠2=80°，
∴2∠A+80°=140°，
∴∠A=30°,
∵∠ABC的平分线BN，与∠ACB的外角平分线CN交于点N，
∴∠NBC=12∠ABC，∠NCH=12∠ACH，
∵∠NCH为△NBC的外角，∠ACH为△ABC的外角，
∴∠N=∠NCH-∠NBC=12∠ACH-12∠ABC=12∠ACH-∠ABC=12∠A=15°；
（3）解：∠1+∠2=4∠BA1C-360°，理由如下；
由折叠的性质可知∠AED=∠A1ED,∠ADE=∠A1DE，
∴∠1=180°-∠ADA1=180°-2∠ADE，∠2=180°-∠AEA1=180°-2∠AED，
∴∠1+∠2=360°-2∠ADE-2∠AED=360°-2∠ADE+∠AED，
∵∠ADE+∠AED=180°-∠A，
∴∠1+∠2=360°-2180°-∠A=2∠A，
∵∠ABC,∠ACB的平分线交于点A1，
∴∠ABC=2∠A1BC，∠ACB=2∠A1CB，
∵∠ABC+∠ACB=2∠A1BC+∠A1CB=360°-2∠BA1C，
∴∠A=180°-∠ABC+∠ACB=180°-360°-2∠BA1C=2∠BA1C-180°，
∴∠1+∠2=2∠A=22∠BA1C-180°=4∠BA1C-360°．
【点评】本题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，熟知三角形内角和定理和三角形外角的性质并进行角的转化是解题的关键．
24．【初步探索】
（1） 如图1， 在四边形ABCD中， AB=AD，∠B=∠ADC=90°， E， F分别是BC，CD上的点， 且EF=BE+FD， 探究图中∠BAE，∠FAD，∠EAF之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G， 使DG=BE． 连接AG， 先证明△ABE≌△ADG， 再证明△AEF≌△AGF， 可得出结论， 则他的结论应是 ．
【灵活运用】
（2）如图2， 若在四边形ABCD中， AB=AD，∠B+∠D=180°，E，F分别是BC，CD上的点，且EF=BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3， 已知在四边形 ABCD 中， ∠ABC+∠ADC=180°，AB=AD， 若点E在CB的延长线上， 点F在CD的延长线上， 且仍然满足EF=BE+FD， 请写出∠EAF 与∠DAB的数量关系，并给出证明过程．
【答案】（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF；（2）成立，见解析；（3）∠EAF=180°-12∠DAB，见解析
【分析】（1）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，可判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF，据此得出结论；
（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先判定△ABE≌△ADG，进而得出∠BAE=∠DAG，AE=AG，再判定△AEF≌△AGF，可得出∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
（3）在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，先判定△ADG≌△ABE，再判定△AEF≌△AGF，得出∠FAE=∠FAG，最后根据∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，推导得到2∠FAE+∠DAB=360°，即可得出结论．
【详解】解：（1）∠BAE+∠FAD=∠EAF，理由如下：
如图1，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠ADC=90°，
∴∠ADG=180°-∠ADC=90°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADGBE=DG，
∴△ABE≌△ADGSAS，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
∵EF=BE+DF，DG=BE，
∴EF=BE+DF=DG+DF=GF，
在△AEF和△AGF中，
AE=AGAF=AFEF=GF，
∴△AEF≌△AGFSSS，
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF．
故答案为：∠BAE+∠FAD=∠EAF；
（2）上述结论仍然成立，理由如下：
如图2，延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，
∵∠B+∠ADF=180°，∠ADG+∠ADF=180°，
∴∠B=∠ADG，
在△ABE和△ADG中，
AB=AD∠B=∠ADGBE=DG，
∴△ABE≌△ADGSAS，
∴∠BAE=∠DAG，AE=AG，
在△AEF和△AGF中，
AE=AGAF=AFEF=GF，
∴△AEF≌△AGFSSS，
∴∠EAF=∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF；
（3）如图3，在DC延长线上取一点G，使得DG=BE，连接AG，
∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠ABE=180°，
∴∠ADC=∠ABE，
在△ABE和△ADG中，AB=AD∠ABE=∠ADCBE=DG，
∴△ABE≌△ADGSAS，
∴AG=AE，∠DAG=∠BAE，
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF，AF=AF，
在△AEF和△AGF中，AE=AGAF=AFEF=GF，
∴△AEF≌△AGFSSS，
∴∠FAE=∠FAG，
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°，
∴2∠FAE+∠GAB+∠BAE=360°，
∴2∠FAE+∠GAB+∠DAG=360°，
即2∠FAE+∠DAB=360°，
∴∠EAF=180°-12∠DAB．
【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等．