北京市第二十七中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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Ⅰ卷
一．选择题（共10个小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）
1. 设集合，集合，则（ ）
A. B. 2，3C. D.
2. 已知命题：，，那么命题的否定是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
3. 设，，则下列不等式中一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
5. 不等式的解集是，则的值是（ ）
A. B. 3C. D. 5
6. 若函数是偶函数，且在区间上单调递减，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数在以下哪个区间内一定存在零点（ ）
A. B. C. D.
8. 已知、，则“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
9. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
10. 黎曼函数是由德国数学家黎曼发现并提出的，它是一个无法用图象表示的特殊函数，此函数在高等数学中有着广泛应用．在的定义为：当（，且p、q为互质的正整数）时，：当或或x为内的无理数时，，下列说法错误的是（ ）
（注：p、q为互质正整数（），即为已约分的最简真分数）（ ）
A 当时，
B 若，则
C. 当时，的图象关于直线对称
D. 存在大于1的实数m，使方程（）有实根
二．填空题（共6个小题，每题5分，共30分．请将正确答案填在答题卡相应的题号处）
11. 函数的定义域为______.
12. 已知正数满足，则的最大值是______．
13. 不等式的解集为___________.
14. 能够说明“若a，b，m均为正数，则”是假命题的一组整数a，b的值依次为___________.
15. 已知函数（）．
①当时的值域为__________；
②若在区间上单调递增，则的取值范围是__________．
16. 设函数，，且函数，定义域均为，记：①；②；③；④．
（1）若，满足条件④，则a的取值范围为______．；
（2）若，恰满足条件①、条件②、条件③、条件④一个，则a的取值范围为______．
Ⅱ卷
三．解答题（共6个小题，共80分．请将解题过程和答案写在答题卡相应的题号处）
17. 已知集合，
（1）求集合；
（2）已知，求，．
18. 已知函数
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）用定义证明函数在区间上是单调递增函数．
19. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，；
（1）已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间；
（2）求函数的解析式；
（3）若关于x的方程有2个不相等的实数根，求实数t的取值范围．（只需写出结论）
20. 已知函数，．
（1）当时，求函数的零点；
（2）当时，若时，关于的方程有解，求实数m的取值范围；
（3）当时，求关于x的不等式的解集．
21. 近年来，某企业每年消耗电费约24万元，为了节能减排，决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供电设备的工本费(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．假设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费(单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积(单位:平方米)之间的函数关系是为常数).记为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年共将消耗的电费之和．
（1）试解释的实际意义，并建立关于的函数关系式；
（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？
22. 设k是正整数，集合A至少有两个元素，且.如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有，则称A具有性质.
（1）试判断集合和否具有性质？并说明理由；
（2）若集合，求证：A不可能具有性质；
（3）若集合，且同时具有性质和，求集合A中元素个数的最大值.