2023年 江苏省 南通市 数学 中考真题 解析版

这是一份2023年 江苏省 南通市 数学 中考真题 解析版，共26页。

1．本试卷共6页，满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡上指定的位置．
3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 计算，正确的结果是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据有理数的乘法进行计算即可求解．
【详解】解：，
故选：D．
【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解题的关键．
2. 2023年5月21日，以“聚力新南通、奋进新时代”为主题的第五届通商大会暨全市民营经济发展大会召开，40个重大项目集中签约，计划总投资约元．将用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为，其中，为整数．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键．
3. 如图所示的四个几何体中，俯视图是三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据俯视图是从上边看到的图形即可得到答案．
【详解】三棱柱的俯视图是三角形，故选项A符合题意；
圆柱的俯视图是圆，故选项B不符合题意；
四棱锥的俯视图四边形中间有一个点，故选项C不符合题意；
圆锥的俯视图是圆中间有一点，故选项D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟记常见几何体的三视图是解题的关键．
4. 如图，数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数的点应在（ ）

A. 线段上B. 线段上C. 线段上D. 线段上
【答案】C
【解析】
【分析】根据判断即可．
【详解】，
，
由于数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5，
的点应在线段上，
故选：C．
【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算的方法是解题的关键．
5. 如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据平行线的性质求出的度数，再由得出的度数，根据补角的定义即可得出结论．
【详解】解：如图，

，，
，
，
，
，
故选A．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
6. 若，则的值为（ ）
A. 24B. 20C. 18D. 16
【答案】D
【解析】
【分析】根据得到，再将整体代入中求值．
【详解】解：，
得，
变形为，
原式．
故选：D．
【点睛】本题考查代数式求值，将变形为是解题的关键．
7. 如图，从航拍无人机看一栋楼顶部的仰角为，看这栋楼底部的俯角为，无人机与楼的水平距离为，则这栋楼的高度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作，垂足为，根据题意可得，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，
根据题意可得，
在中，，
，
在中，，
，
．
故则这栋楼的高度为．
故选：B．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，锐角三角函数的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．
8. 如图，四边形是矩形，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点，连接，，．若，，则的正切值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，交于点，根据矩形的性质以及以点，为圆心，线段，长为半径画弧得到，，设，故，在中求出的值，从而得到，从而得到，即可求得答案．
【详解】解：设，交于点，
由题意得，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
设，
故，
在中，，
即，
解得，
，
，
，
，
．

故选：C．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题中得到是解题的关键．
9. 如图，中，，，．点从点出发沿折线运动到点停止，过点作，垂足为．设点运动的路径长为，的面积为，若与的对应关系如图所示，则的值为（ ）

A. 54B. 52C. 50D. 48
【答案】B
【解析】
【分析】根据点运动的路径长为，在图中表示出来，设，在直角三角形中，找到等量关系，求出未知数的值，得到的值．
【详解】解：当时，由题意可知，
，
在中，由勾股定理得，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
当时，由题意可知，，
设，
，
在中，由勾股定理得，
在中由勾股定理得，
中，由勾股定理得，
即，
解得，
，
，
．

故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理，根据勾股定理列出等式是解题的关键，运用了数形结合的思想解题．
10. 若实数，，满足，，则代数式的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】联立方程组，解得，设，然后根据二次函数的性质，即可求解．
【详解】解：依题意，，
解得：
设
∴
∵
∴有最大值，最大值为
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解二元一次方程组，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
11. 计算：=_____．
【答案】
【解析】
【分析】直接进行同类二次根式的合并即可．
【详解】解：．
故答案为：
12. 分解因式：=_______________．
【答案】a（a﹣b）．
【解析】
【详解】解：=a（a﹣b）．
故答案为a（a﹣b）．
【点睛】本题考查因式分解-提公因式法．
13. 在△ABC中（如图），点D、E分别为AB、AC的中点，则S△ADE：S△ABC＝_____．
【答案】1：4####0.25
【解析】
【分析】根据题意得出DE是△ABC的中位线，根据三角形中位线的性质得出DEBC， DE=BC，证出△ADE∽△ABC，相似比为1∶2，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到答案．
【详解】∵点D、E分别为AB、AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DEBC， DE=BC
∴△ADE∽△ABC，相似比为：DE∶BC=1∶2
∴S△ADE∶S△ABC=12∶22=1∶4
故答案为：1∶4
【点睛】本题的解题关键在于利用三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半这一性质，证出三角形相似，以及相似比为1∶2，在利用相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，解出本题．
14. 某型号汽车行驶时功率一定，行驶速度（单位：m/s）与所受阻力（单位：N）是反比例函数关系，其图象如图所示．若该型号汽车在某段公路上行驶时速度为，则所受阻力为__________．

【答案】2500
【解析】
【分析】根据题意得知函数成反比例函数，由图中数据可以求出反比例函数的解析式，再将代入求的值．
【详解】解：设功率为，由题可知，即，将，代入解得，
即反比例函数为：，
将代入，
得，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数，熟练掌握将自变量代入解析式求得函数值是解题的关键．
15. 如图，是的直径，点，在上．若，则__________度．

【答案】
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，可得，，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，

∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，熟练掌握圆周角定理的推论是解题的关键．
16. 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》．现有勾股数a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇数，则___________（用含的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】根据直角三角形的性质，直角边小于斜边得到，为直角边，为斜边，根据勾股定理即可得到的值．
【详解】解：由于现有勾股数a，b，c，其中，均小于，
，为直角边，为斜边，
，
，
得到，
，
，
是大于1的奇数，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，分清楚，为直角边，为斜边是解题的关键．
17. 已知一次函数，若对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，则的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意和一次函数的性质可得到，然后求解即可．
【详解】解：一次函数，
随的增大而增大，
对于范围内任意自变量的值，其对应的函数值都小于，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质，明确题意，列出正确的不等式是解题的关键．
18. 如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________．

【答案】
【解析】
【分析】设的交点为，的中点分别是，连接，先证，由此得当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，再证四边形是矩形，且，根据勾股定理的，进而求得的最小值．
【详解】解：设的交点为，的中点分别是，连接，
互相垂直，
和为直角三角形，且分别为斜边，
，
，
当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得，
当点在线段上时，最小，最小值为线段的长，
分别为的中点，
是的中位线，
，
同理，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
在中，，
，
的最小值为，
的最小值为．

故答案为：．
【点睛】此题只要考查了矩形的判定和性质，三角形的性质，三角形的中位线定理，线段的性质，勾股定理等，熟练掌握矩形的判定和性质，三角形的中位线定理，理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，两点之间线段最短是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）解方程组：
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）运用加消元法解二元一次方程；
（2）先进行分式的乘法运算，再计算减法得到结果．
【详解】（1）解：，得
把代入，得
这个方程组的解为
（2）解：原式．
【点睛】本题主要考查解二元一次方程组和分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
20. 某校开展以"筑梦天宫、探秘苍穹"为主题的航天知识竞赛，赛后在七、八年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩，进行整理、分析，得出有关统计图表．

（1）若该校八年级共有300名学生参赛，估计优秀等次的约有____________人；
（2）你认为七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好些?请从两个方面说明理由．
【答案】（1）90 （2）答案不唯一，见解析
【解析】
【分析】（1）求出优秀等次的频率，再求出总人数，用样本估计总体；
（2）根据平均数，中位数，众数，方差进行评价．
【小问1详解】
解：，
故答案为：90；
【小问2详解】
解：答案不唯一，如：七年级学生的竞赛成绩更好些．
理由：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而七年级学生成绩的方差小，成绩更稳定；
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而七年级学生成绩的优秀及良好占比更高．
八年级学生竞赛成绩更好些．
理由：七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而八年级学生成绩的中位数高于七年级；
七、八年级抽取的学生竞赛成绩的平均数相同，而八年级学生成绩的众数高于七年级．
【点睛】本题考查方差、中位数、众数、条形图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21. 如图，点，分别在，上，，，相交于点，．
求证：．
小虎同学的证明过程如下：
证明：∵，
∴．
∵，
∴．第一步
又，，
∴第二步
∴第三步

（1）小虎同学的证明过程中，第___________步出现错误；
（2）请写出正确的证明过程．
【答案】（1）二 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据证明过程即可求解．
（2）利用全等三角形判定及性质即可求证结论．
【小问1详解】
解：则小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二．
【小问2详解】
证明：∵，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
22. 有同型号的，两把锁和同型号的，，三把钥匙，其中钥匙只能打开锁，钥匙只能打开锁，钥匙不能打开这两把锁．
（1）从三把钥匙中随机取出一把钥匙，取出钥匙的概率等于___________；
（2）从两把锁中随机取出一把锁，从三把钥匙中随机取出一把钥匙，求取出的钥匙恰好能打开取出的锁的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图求概率即可求解．
【小问1详解】
解：共有三把钥匙，取出钥匙的概率等于；
故答案为：．
【小问2详解】
解：据题意，可以画出如下的树状图：

由树状图知，所有可能出现的结果共有种，这些结果出现的可能性相等．
其中取出的钥匙恰好能打开取出的锁(记为事件)的结果有种．
∴．
【点睛】本题考查的是根据概率公式求概率，用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
23. 如图，等腰三角形的顶角，和底边相切于点，并与两腰，分别相交于，两点，连接，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，从而可得和都是等边三角形，最后利用等边三角形的性质可得，即可解答；
（2）连接交于点，利用菱形的性质可得，，，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，最后根据图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积，进行计算即可解答．
【小问1详解】
证明：连接，

和底边相切于点，
，
，，
，
，，
和都是等边三角形，
，，
，
四边形是菱形；
【小问2详解】
解：连接交于点，

四边形是菱形，
，，，
在中，，
，
，
图中阴影部分的面积扇形的面积菱形的面积
，
图中阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰三角形的性质，菱形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
24. 推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息—
信息二
甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用?
【答案】（1）x的值为600
（2）该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元
【解析】
【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可；
（2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案．
【小问1详解】
解：由题意列方程，得．
方程两边乘，得．
解得．
检验：当时，．
所以，原分式方程的解为．
答：x的值为600．
【小问2详解】
解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元．
则．
，
．
1400>0，
随的增大而增大．
当时，取得最小值，最小值为56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．
【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
25. 正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点．

（1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________；
（2）过点作，垂足为，连接，求的度数；
（3）在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值．
【答案】（1）
（2）的度数为或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案；
（2）当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案；
当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案；
（3）由平行的性质得到分线段成比例．
【小问1详解】
．
正方形，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：①当点在边上时（如图），
过点作，垂足为，延长交于点．
，
四边形是矩形．
．
，，
，
为等腰直角三角形，．
．
．
．
，
．
为等腰直角三角形，．
．

②当点边上时（如图），
过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，
同理，．
．
为等腰直角三角形，．
．

综上，的度数为45°或135°．
【小问3详解】
解：当点在边延长线上时，点在边上（如图），
设，则．
．
．
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的分线段成比例以及全等三角形的判定和性质是解题的关键．
26. 定义：平面直角坐标系中，点，点，若，，其中为常数，且，则称点是点的“级变换点”．例如，点是点的“级变换点”．
（1）函数的图象上是否存在点的“级变换点”?若存在，求出的值；若不存在，说明理由；
（2）点与其“级变换点” 分别在直线，上，在，上分别取点，．若，求证：；
（3）关于x的二次函数的图象上恰有两个点，这两个点的“1级变换点”都在直线上，求n的取值范围．
【答案】（1）存在，
（2）见解析 （3）n的取值范围为且
【解析】
【分析】（1）根据“级变换点”定义求解即可；
（2）求出点的坐标为，得到直线，的解析式分别为和，根据进行证明．
（3）由题意得，二次函数的图象上的点的“1级变换点”都在函数的图象上，得到函数的图象与直线必有公共点．分当时和当，时分类讨论即可．
【小问1详解】
解：函数的图象上存在点的“级变换点”
根据“级变换点”定义，点的“级变换点”为，
把点代入中，
得，解得．
【小问2详解】
证明：点为点的“级变换点”，
点坐标为．
直线，的解析式分别为和．
当时，．
，
．
，
．
．
【小问3详解】
解：由题意得，二次函数的图象上的点的
“1级变换点”都在函数的图象上．
由，整理得．
，
函数的图象与直线必有公共点．
由得该公共点为．
①当时，由得．
又得，
且．
②当，时，两图象仅有一个公共点，不合题意，舍去．
综上，n的取值范围为且．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，根据题意理解新定义是解题的关键．
工程队
每天施工面积（单位：）
每天施工费用（单位：元）
甲
3600
乙
x
2200