期末素养评估卷2024-2025学年青岛版数学九年级上册

这是一份期末素养评估卷2024-2025学年青岛版数学九年级上册，共11页。试卷主要包含了如果关于x的一元二次方程，国庆期间电影《志愿军等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．如果关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+m2﹣9＝0，有一个解是0，那么m的值是（ ）
A．3B．﹣3C．±3D．0或﹣3
2．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ）
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
3．国庆期间电影《志愿军：雄兵出击》上映的第一天票房约为2亿元，第二、三天单日票房持续增长，三天累计票房8.28亿元，若第二、三天单日票房增长率相同，设平均每天票房的增长率为x，则根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．2（1+x）＝8.28 B．2（1+x）2＝8.28
C．2（1+x）+2（1+x）2＝8.28 D．2+2（1+x）+2（1+x）2＝8.28
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，D是的中点．若∠B＝40°，则∠A的大小为（ ）
（5） （6） （7） （8）
A．50°B．60°C．70°D．80°
5．⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D点作⊙O的切线DE交AC的延长线于点E．有下面四个结论：①∠EDA＝∠B②DE∥BC③OD⊥BC④OD＝DE．其中正确结论的个数为（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
6．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半径OA＝1，点C是OB上一点，连接AC，沿AC将扇形折叠，使得点B落在AO的延长线上的点D处，连接CD，则图中阴影部分面积为（结果保留π）（ ）
A．B．C．D．
7．如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，1），（1，5），（5，1），（7，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（7，﹣2）B．（5，﹣1）C．（6，0）D．（7，3）
8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，若＝，AC＝9，则GF的长为（ ）
A．2B．3C．D．6
9．某通信公司准备逐步在歌乐山上建设5G基站．如图，某处斜坡CB的坡度（或坡比）为i＝1：2.4，通讯塔AB垂直于水平地面，在C处测得塔顶A的仰角为45°，在D处测得塔顶A的仰角为53°，斜坡路段CD长26米，则通讯塔AB的高度为（ ）．（参考数据：，，）
（10） （11） （13） （15）
A．米B．米C．56米D．66米
10．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，记S△ADE＝S1，S△CEF＝S2，S四边形BDEF＝S3，则下列关于S1，S2，S3的关系式正确的是（ ）
A．S3＝S1+S2 B．S3＝2 C．S3＝ D．＝+
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（x，8），且OP与x轴
正半轴的夹角α的正切值为，则x的值为 ．
12．若关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ．
13．如图，A、B、C、D为一个正多边形的顶点，O为正多边形的中心，若∠ADB＝20°，则这个正多边形的边数为 ．
14．已知扇形AOB的半径为6cm，圆心角的度数为120°，若将此扇形围成一个圆锥的侧面，则围成的圆锥的底面圆的半径为 cm．
15．已知：如图，在△ABC中，点E在边AB上，点F在AC边上，要使△AFE∽△ABC，则需要增加的一个条件是 ．（写出一个即可）
16．如图，在△ABC中，点A1，B1，C1分别是AC，BC，AB的中点，连接A1C1，A1B1，四边形A1B1BC1的面积记作S1，点A2，B2，C2分别是A1C，B1C，A1B1的中点，连接A2C2，A1B2，四边形A2B2B1C2的面积记作S2…，按规律进行下去，若S△ABC＝a，则S2021＝ ．
三．解答题（共8小题）
17．（8分）（1）解方程：x2﹣4x﹣2＝0
计算：sin245°+cs245°﹣tan30°•tan60°+．
18．（8分）某宾馆有40个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为200元时，房间会全部住满：当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．
（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为多少元？
（2）若宾馆某一天获利8400元，则房价定为多少元？
19．（8分）如图．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，已知点C的坐标为（﹣4，1）．
（1）以点O为位似中心，在给出的网格内画△A1B1C1使△A1B1C1与△ABC位似，并且点C1的坐标为（8，﹣2）；
（2）△ABC与△A1B1C1的相似比是 ．
20．（8分）独轮车（图1）俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，西汉时已在一些田间隘道上出现，北宋时正式出现独轮车名称，在北方，几乎与毛驴起同样的运输作用．如图2所示为从独轮车中抽象出来的几何模型．在△ABC中，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交AC于点P，PD是⊙O的切线，且PD⊥BC，垂足为点D．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）若PD＝2BD＝4，求⊙O的半径．
21．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，AD＝DE，AC，与OD相交于点E．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若，求DE的长．
22．（9分）如图，正方形ABCD的边长为4，点M为BC上的动点，过点M作MN⊥AM交DC于点N，连接AN．
（1）求证：△ABM∽△MCN；
（2）四边形ABCN的面积能否为，若能，求出此时BM的长，若不能，请说明理由．
23．（10分）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．
（1）求A，P之间的距离AP；
（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？
24．（12分）小明在复习第22章《相似形》时，关注到书上的这道例题，温故后进行了思考、操作、探究．
参考答案
6 ．12. a ．13. 九 ．14. 2 . 15. ∠AEF＝∠C，∠AFE＝∠B或 ．（写出一个即可） 16. a ．
17.解：（1）方程整理得：x2﹣4x＝2，
配方得：x2﹣4x+4＝6，即（x﹣2）2＝6，
开方得：x﹣2＝±，
解得：x1＝2+，x2＝2﹣；
原式＝+﹣1+＝．
18.解：（1）若每个房间定价增加30元，则这个宾馆这一天的利润为：
（元）；
（2）设每个房间的定价为a元，
根据题意，得：，
解得：a＝300或a＝320．
答：若宾馆某一天获利8400元，则房价定为300元或320元．
19.解：（1）△A1B1C1如图所示．
（2）△ABC与△A1B1C1的相似比是1：2．
故答案为：1：2．
20.（1）证明：连接OP，如图2，
∵PD是⊙O的切线，
∴OP⊥PD，
∵PD⊥BC，
∴OP∥BC，
∴∠OPA＝∠C，
∵OA＝OP，
∴∠OPA＝∠A，
∴∠A＝∠C；
（2）解：连接PB，如图2，
在Rt△PBD中，∵PD＝2BD＝4，
∴PB＝＝2，
∵AB为直径，
∴∠APB＝90°，
∵∠BDP＝∠BPC，∠DBP＝∠PBC，
∴△BDP∽△BPC，
∴BP：BC＝BD：BP，即2：BC＝2：2，
解得BC＝10，
∵∠A＝∠C，
∴BA＝BC＝10，
∴⊙O的半径为5．
21.（1）证明：∵AB是直径，OD⊥OC，
∴∠ACB＝90°，∠COD＝90°，
∵AD＝DE，
∴∠DEA＝∠DAE，
∵∠CEO＝∠DEA，∠CEO+∠ECO＝90°，∠ECO+∠OCB＝90°，
∴∠CEO＝∠OCB，即∠DEA＝∠OCB，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠DAE＝∠OBC，
∵∠OBC+∠CAB＝90°，
∴∠DAO＝∠DAE+∠CAB＝90°，即OA⊥DA，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线；
（2）解：∵OD⊥OC，AD⊥OA，
∴∠BOC+∠DOA＝90°，∠D+∠DOA＝90°，
∴∠BOC＝∠D，
∵，
∴，
设AD＝3x，则DE＝AD＝3x，OA＝4x，
在Rt△OAD中，（3x）2+（4x）2＝（3x+2）2，
解得：（舍去），
∴DE＝3x＝3．
22.（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∵∠AMN＝90°，
∴∠BAM+∠AMB＝∠AMB+∠CMN＝90°，
∴∠BAM＝∠CMN，
∴△ABM∽△MCN；
（2）解：∵正方形ABCD边长为4，
设BM＝x，
∴CM＝BC﹣BM＝4﹣x，
∵△ABM∽△MCN，
∴AB：CM＝BM：CN，
∴＝，
∴CN＝，
∵梯形ABCN面积为，
∴S梯形ABCN＝（CN+AB）•BC＝×[+4]×4＝10.5，
整理得：x2﹣4x+5＝0，
∵Δ＝16﹣20＜0，
∴梯形ABCN的面积不能为．
23.解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，
由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20海里，
设PC＝x海里，则BC＝x海里，
在Rt△PAC中，
∵tan30°＝＝＝，
∴x＝10+10，
∴PA＝2x＝（20+20）海里，
答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；
（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，
所以有触礁的危险；
设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，
当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，
有sin∠PBE＝＝＝，
∴∠PBD＝60°，
∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，
90°﹣15°＝75°，
因此，要小于75°才安全通过，
答：海监船由B处开始沿南偏东小于75°的方向航行能安全通过这一海域．
24.（1）解：设正方形PQRS的边长为x cm，
∵PQ∥BC，
∴∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB，
∴△APQ∽△ABC．
∴，
∴＝．
∴x＝，
∴正方形PQRS的边长为cm．
故答案为：．
（2）证明：∵QR⊥BC于点R，QP⊥QR交AB于点P，PS⊥BC于点S，
∴四边形PQRS是矩形，
∵Q′R′∥QR，
∴△BQ′R′∽△BQR，
∴Q′R′：QR＝BQ′：BQ，
同理：P′Q′：PQ＝BQ′：BQ，
∴Q′R′：QR＝P′Q′：PQ，
∵四边形P'Q'R'S'是正方形，
∴Q′R′＝P′Q′，
∴PQ＝QR，
∴PQRS是正方形．
（3）证明：∵△APQ∽△ABC，
∴＝，
∴+＝+＝1，
同理：+＝1，
∴+＝+，
∴．
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
内容
图示
温故
例1：如图，一块铁皮呈锐角三角形，它的边BC＝80cm，高AD＝60cm．要把该铁皮加工成矩形零件，使矩形的两边之比为2：1，且矩形长的一边位于BC上，另两个顶点分别在边AB，AC上．求这个矩形零件的边长．
解：如图，矩形PQRS为加工后的矩形零件，边SR在边BC上，顶点P，Q分别在边AB，AC上，△ABC的高AD交PQ于点E．设PS为x cm，则PQ为2x cm．
∵PQ∥BC，∴∠APQ＝∠ABC，∠AQP＝∠ACB，
∴△APQ∽△ABC．∴，即．
解方程，得x＝24.2x＝48．
答：这个矩形零件的边长分别是48cm和24cm．

思考
（1）正方形是特殊的矩形，如图1，若将矩形PQRS变成正方形PQRS，其余条件不改变，请直接写出正方形PQRS的边长为 cm．

操作
（2）能画出这类正方形吗？小明查阅资料，按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，△ABC中，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'R'S'，使S′，R'在BC边上，Q'在△ABC内，连结BQ'并延长交AC于点Q，画QR⊥BC于点R，QP⊥QR交AB于点P，PS⊥BC于点S，得到四边形PQRS．结合上述作图，请证明四边形PQRS是正方形．

探究
（3）小明继续探究：如图3，在正方形PQRS上又作了一个正方形P1Q1R1S1，使得边S1R1落在PQ上，点P1、Q1分别在边AB、AC上，P1Q1与AD交于点F，最终发现任意给定BC和AD的值（在实际意义范围内），都有恒成立，请给出证明．

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
C
C
C
A
B
B
B