广东省汕头市澄海中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题

这是一份广东省汕头市澄海中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了若，则的大小关系为，已知，，，则下列结论正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
第一部分 选择题
一、单选题（每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．记为等比数列的前项和，若，则（ ）
A．B．C．D．
3．在中，是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．B．C．D．1
4．函数在上没有最小值，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（ ）
A．13B．C．26D．
6．由未来科学大奖联合中国科技馆共同主办的“同上一堂科学课”——科学点燃青春：未来科学大奖获奖者对话青少年活动于2023年9月8日在全国各地以线上线下结合的方式举行．现有某市组织5名获奖者到当地三个不同的会场与学生进行对话活动，要求每个会场至少派一名获奖者，每名获奖者只去一个会场，则不同的派出方法有（ ）
A．240种 B．150种 C．120种 D．60种
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．若，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D． 若，则
10．在棱长为1的正方体中，是线段的中点，以下关于直线的结论正确的有（ ）
A．与平面平行
B．与直线垂直
C．与直线所成角为
D．与平面的距离为
11．已知直线是曲线上任一点处的切线，直线是曲线上点处的切线，则下列结论中正确的是（ ）
A．当时，
B．存在，使得
C．若与交于点时，且三角形为等边三角形，则
D．若与曲线相切，切点为，则
第二部分 非选择题
三、填空题（每小题5分，共15分. 温馨提示: 请把答案填在答题卷相应横线上.）
12．若的展开式中的系数为15，则 ．
13．在数列中，，则通项公式 ．
14．斐波那契数列，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：且中，则B中所有元素之和为奇数的概率为 ．
四、解答题（本题共5小题，共77分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．温馨提示: 考生请注意在答题卷规定区域内用黑色笔作答,超出指定区域答题不给分.）
15．（本小题满分13分）如图，在平面四边形ABCD中，，．

(1)若，，求的值；
(2)若，，求四边形ABCD的面积．
16．（本小题满分15分）某足球队为评估球员的场上作用，对球员进行数据分析.球员甲在场上出任边锋、前卫、中场三个位置，根据过往多场比赛，其出场率与出场时球队的胜率如下表所示.
(1)当甲出场比赛时，求球队输球的概率；
(2)当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，求球员甲担当边锋的概率；
(3)如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在场上的哪个位置？请说明理由.
17．（本小题满分15分）如图，将圆沿直径折成直二面角，已知三棱锥的顶点在半圆周上，在另外的半圆周上，，另记.
(1)若，求证： ；
(2)若，，直线与平面所成的角为，求点到直线的距离.
18．（本小题满分17分）设F为抛物线的焦点，点P在H上，点，若．
(1)求的方程；
(2)过点F作直线l交H于A、B两点，过点B作x轴的平行线与H的准线交于点C，过点A作直线CF的垂线与H的另一交点为D，直线CB与AD交于点G，求的取值范围．
19．（本小题满分17分）定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系．
(1)判断函数和是否具有C关系；
(2)若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围；
(3)若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围．
场上位置
边锋
前卫
中场
出场率
0.3
0.5
0.2
球队胜率
0.8
0.6
0.7
2023-2024学年度第二学期期中考试高二级数学科试卷参考答案
1．A【详解】由，得，所以，
所以复数z在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限.故选：A
2．C【详解】根据题意，设等比数列的公比为，若，即，
故．故选：C．
3．B【详解】中，是的中点，是的中点，
则，
所以，所以.故选：B
4．C【详解】函数中，当时，，
由在上没有最小值，得，解得，所以的取值范围是.故选：C
5．A【详解】圆化成标准方程为，
圆C的半径为，O在圆C上，因为，所以AB是圆C的一条直径．
当时，面积取得最大值，则最大值为．故选：A.
6．B【详解】依题意，5名获奖者按去到三个不同会场，有种方法，
5名获奖者按去到三个不同会场，有种方法，
所以不同的派出方法有（种）. 故选：B
7．D【详解】设，，则，即，
则，从而，，所以，
如图，取的中点为，则，
在中，.在中，由余弦定理得，，
化简得，则.故选：D
8．C【详解】设，则，
∴时，，在上单调递增．∴，即，∴，．
设，则，
∴当时，，即在上单调递增．∴，，
∴，即．综上，.故选：C．
9．AC【详解】对A，因为，所以，则，故A正确；
对B，当，则，故B错误；
对C, 若，即，则，故，故C正确；
对D，因为，而，则，
所以，即，故D错误；故选：AC.
10．ABD【详解】因为且，所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，所以平面，同理可证平面，
又，平面，
所以平面平面，而平面，故平面，选项A正确；
因为平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，而平面，故，选项B正确；
由于，所以与所成角就是直线与直线所成角，
因为，，，
所以，
所以，即与直线所成角为，选项C不正确；
由选项A可知，与平面的距离就是点到平面的距离．
设点到平面的距离为，由，得，
即，解得，即与平面的距离为，选项D正确. 故选：ABD．
11．AD【详解】由题意得，由，得，如图，可知与交点是
可得，，
由，得，所以直线的斜率为，
由，得，所以直线的斜率为，
即直线的斜率等于直线的斜率，所以，故A对；
因为，所以不存在，使得，故B错；
如图，设的倾斜角分别为，因为三角形为等边三角形，所以，
又，
所以当，，
整理得，所以（负值舍去）；
当，，
整理得，所以（负值舍去）；所以，
又由题意可得关于直线对称，为等边三角形，故C错误；
若与曲线相切，切点为，则，
即，又在上，所以，所以，即，故D对；故选：AD
12．3【详解】的展开式中的项为，则，故.
13．【详解】因为，即
则，，……，，，
所以，
即，
又因为，所以，故答案为：
14．【详解】由斐波那契数列规律可知，集合中的元素有674个偶数，1350个奇数，
记A中所有偶数组成的集合为C，所有奇数组成的集合为D，集合C的子集为E，
集合D中含有奇数个元素的子集为F，则所有元素之和为奇数的集合B可看成，
显然集合E共有个，集合F共有个，
所以所有元素之和为奇数的集合B共有个，
又集合A的非空子集共有个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为.
故答案为：
15．(13分)【详解】（1）在中，，，则， ……1分
， ……3分
在中，由正弦定理得，
. ……5分
（2）在和中，由余弦定理得
，
， ……7分
得，又，得， ……9分
则，， ……11分
四边形ABCD的面积
. ……13分
16．（15分）【详解】（1）用表示“甲出任边锋”，表示“甲出任前卫”，表示“甲出任中场”，用表示“球队赢球”. ……2分
则甲出场时，球队赢球的概率为：
所以甲出场比赛时，球队输球的概率为：. ……6分
（2）因为. 所以.
即当甲出场比赛时，在球队获胜的条件下，球员甲担当边锋的概率为. ……9分
（3）因为，. ……13分
因为. ……14分
所以如果某场比赛该足球队获胜，那么球员甲最有可能在前卫. ……15分
17．【详解】（1）由题意知平面平面，平面平面，
，且平面，故平面， ……2分
又平面，故；
又，且平面，
故平面，而平面，
故； ……5分
（2）以O为坐标原点，所在直线为轴，过点O作平面的垂线作为z轴，
建立空间直角坐标系，如图：由于，， ……6分
则，由题,则，
则， ……8分
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则可得， ……10分
由于直线与平面所成的角为，
故，
解得，结合，则， ……12分
故，
由，则，
故点到直线的距离为. ……15分
18．（17分）【详解】（1）依题意，点的坐标为，
又，，所以点的横坐标为， ……2分
由拋物线的定义得，所以，
所以拋物线的方程为. ……4分
（2）由（1）知点的坐标为，设直线的方程为， ……5分
联立，消去，得，易知， ……6分
设，则，故， ……8分
因为的准线为，因为直线平行于轴，
所以点的坐标为，则直线的斜率为，
所以直线的斜率为，其方程为， ……10分
因为点的纵坐标为，所以点的横坐标为， ……11分
所以， ……14分
因为，则，所以， ……16分
即的取值范围是. ……17分
19．【详解】（1）与是具有C关系，理由如下：
根据定义，若与具有C关系，则在与的定义域的交集上存在，使得，
因为，，，
所以，
令，即，解得，所以与具有C关系. ……4分
（2）令，因为，，所以，
令，则，故，
因为与不具有C关系，所以在上恒为负或恒为正，
又因为开口向下，所以在上恒为负，即在上恒成立，
当时，显然成立；当时，在上恒成立，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，所以，
综上：，即. ……10分
（3）因为和，令，则，
因为与在上具有C关系，所以在上存在零点，
因为，
当且时，因为，所以，
所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，显然当时，，
当时，因为在上单调递增，且，
故在上存在唯一零点，设为，则，
所以当；当；又当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上存在唯一极小值点，
因为，所以，
又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上具有C关系，
综上：，即. ……17分