【专项练习】全套专题数学2023-2024：长沙市雨花区八年级下学期期末数学试卷含解析

这是一份【专项练习】全套专题数学2023-2024：长沙市雨花区八年级下学期期末数学试卷含解析，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）一组数据3，5，1，4，5的中位数是（ ）
A．1B．3C．4D．5
2．（3分）若b＜0，则一次函数y＝﹣x+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是s甲2＝0.12，s乙2＝0.25，s丙2＝0.35，s丁2＝0.46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
4．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．实根的个数与k的取值有关
D．没有实数根
5．（3分）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BC
B．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BC
D．AB∥CD，AD∥BC
6．（3分）如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
7．（3分）下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（ ）
A．（0，0）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
9．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（ ）
A．2或6B．2或8C．2D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）直线y＝4x﹣8与y轴的交点坐标为 ．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝10，则BC的长为 ．
13．（3分）小雅参加“我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分，若三项得分依次按2：4：4的比例确定最终成绩，则小雅的最终比赛成绩为 ．
14．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 小分支．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B处，则重叠部分△AFC的面积为 ．
16．（3分）若实数x、y满足（x2+y2）（1﹣x2﹣y2）+6＝0，则x2+y2＝ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0．
18．（6分）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，求：
（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长．
19．（6分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，5）和（﹣1，1）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＝﹣4时，求y的值．
20．（8分）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分10分）：
甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
②服务质量得分统计图（满分10分）：
③配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ ，n＝ ，比较大小：s甲2 s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由；
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可）
21．（8分）新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，且从2018年到2020年，每年旅游收入的年增长率相同．
（1）求旅游收入的年增长率；
（2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？
22．（9分）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是多少米？小明在书店停留了多少分钟？
（2）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？
（3）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，速度在安全限度内吗？
（4）小明出发多长时间离家1200米？
23．（9分）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点．以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求点C，D的坐标；
（2）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
24．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”；
（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值．
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分别交CH、AC、AD于点E、F、G，且∠ABC＝∠BEH，BG＝BC．
（1）求证：∠BAG＝∠CEB；
（2）若BC＝25，求DG的值；
（3）连接HF，证明：HA＝HF﹣HE．
快递公司统计量
配送速度得分
服务质量得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.9
m
n
7
s甲2
乙
7.9
8
8
7
s乙2
2023-2024：长沙市雨花区八年级下学期期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）一组数据3，5，1，4，5的中位数是（ ）
A．1B．3C．4D．5
【分析】利用中位数的定义求解即可．
【解答】解：把数据3，5，1，4，5从小到大排列得1，3，4，5，5，
∴数据3，5，1，4，5的中位数是4．
故选：C．
【点评】本题考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个，则找中间两位数的平均数．
2．（3分）若b＜0，则一次函数y＝﹣x+b的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案．
【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+b中k＝﹣1＜0，b＜0，
∴一次函数的图象经过二、三、四象限，
故选：C．
【点评】要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．
3．（3分）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.2环，方差分别是s甲2＝0.12，s乙2＝0.25，s丙2＝0.35，s丁2＝0.46，在本次射击测试中，这四个人成绩最稳定的是（ ）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】根据方差越小成绩越稳定，即可判断．
【解答】解：∵s甲2＝0.12，s乙2＝0.25，s丙2＝0.35，s丁2＝0.46，
∴s甲2＜s乙＜2s丙2＜s丁2，
∴本次射击测试中，成绩最稳定的是甲．
故选：A．
【点评】本题考查了方差的性质，掌握方差越小成绩越稳定是关键．
4．（3分）已知关于x的一元二次方程2x2+kx﹣1＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．实根的个数与k的取值有关
D．没有实数根
【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断Δ＞0，然后利用判别式的意义对各选项进行判断．
【解答】解：∵Δ＝k2﹣4×2×（﹣1）＝k2+8＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5．（3分）如图，下列四组条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．AB＝CD，AD＝BCB．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC
【分析】根据平行四边形的判定定理分别进行分析即可．
【解答】解：A、根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
B、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题；
C、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可判定四边形ABCD为平行四边形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理．
6．（3分）如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可．
【解答】解：连接AC，设每个小正方形的边长都是a，
根据勾股定理可以得到：AC＝BC＝a，AB＝a，
∵（a）2+（a）2＝（a）2，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝45°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
7．（3分）下面四个点中有一个点和其它三个点不在同一个正比例函数图象上，这个点是（ ）
A．（0，0）B．（﹣1，2）C．（1，﹣2）D．（1，2）
【分析】设正比例函数解析式为y＝kx，则：k＝，然后再利用点的坐标进行判断即可．
【解答】解：设正比例函数解析式为y＝kx，
则：k＝，
A、∵A（0，0），
∴k不受取值影响，
B、∵B（﹣1，2），∴k＝﹣2，
C、∵C（1，﹣2），∴k＝﹣2，
D、∵D（1，2），∴k＝2，
故ABC三点横纵坐标的商相等，因此这三点在同一正比例函数图象上，
故选：D．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，关键是掌握正比例函数图象上点的横纵坐标的商等于k．
8．（3分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是AC，AB的中点，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24B．18C．12D．9
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得BC＝2EF，然后根据菱形的四条边都相等列式计算即可得解．
【解答】解：∵E、F分别是AC、AB的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴BC＝2EF＝2×3＝6，
∴菱形ABCD的周长＝4×6＝24．
故选：A．
【点评】本题考查了菱形的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．
9．（3分）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米．则小巷的宽度为（ ）
A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米
【分析】先根据题意求得∠ACB，∠ACB的度数，再求得CB，AC，DE的长，从而利用勾股定理求得AB的长；然后再利用勾股定理求得BD的长，进而利用线段的和差关系，求得CD即可．
【解答】解：如图，∠ACB＝∠ACB＝90°，CB＝0.7m，AC＝2.5m，DE＝2m．
在Rt△ABC中，AB＝＝＝2.5（m）．
∵AB＝BE，
∴BE＝2.5（m），
∴BD＝＝＝1.5（m），
∴CD＝CB+BD＝0.7+1.5＝2.2（m），即小巷的宽度为2.2米．
故选：C．
【点评】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．
10．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，且（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，则m＝（ ）
A．2或6B．2或8C．2D．6
【分析】利用根与系数的关系表示出x1x2与x1+x2，已知等式整理后代入计算即可求出m的值．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx+m2﹣4m﹣1＝0有两个实数根x1，x2，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣4m﹣1）≥0，即m≥﹣，且x1x2＝m2﹣4m﹣1，x1+x2＝2m，
∵（x1+2）（x2+2）﹣2x1x2＝17，
∴x1x2+2（x1+x2）+4﹣2x1x2＝17，即2（x1+x2）+4﹣x1x2＝17，
∴4m+4﹣m2+4m+1＝17，即m2﹣8m+12＝0，
解得：m＝2或m＝6．
故选：A．
【点评】此题考查了根的判别式，以及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．（3分）直线y＝4x﹣8与y轴的交点坐标为 （0，﹣8） ．
【分析】根据一次函数直线与y轴相交时，x＝0，进行计算即可．
【解答】解：令x＝0，则y＝﹣8，
∴直线y＝4x﹣8与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；
故答案为：（0，﹣8）．
【点评】此题主要考查了一次函数与x、y轴的交点，关键是掌握一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．
12．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝10，则BC的长为 16 ．
【分析】根据三角形外角的性质可得∠B＝∠BAD，从而得到BD＝AD＝10，再由勾股定理可得CD＝6，即可求解．
【解答】解：∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝2∠B，
∴∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD＝10，
∵∠C＝90°，AC＝8，
∴CD＝＝＝6，
∴BC＝BD+CD＝10+6＝16．
故答案为：16．
【点评】本题主要考查了勾股定理，涉及到等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定定理，勾股定理是解题的关键．
13．（3分）小雅参加“我为团旗添光彩”主题演讲比赛，形象、表达、内容三项得分分别是8分、8分、9分，若三项得分依次按2：4：4的比例确定最终成绩，则小雅的最终比赛成绩为 8.4分 ．
【分析】利用加权平均数的计算方法可求出结果．
【解答】解：根据题意得：（分）．
故小雅的最终比赛成绩为8.4分．
故答案为：8.4分．
【点评】本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．
14．（3分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出 9个 小分支．
【分析】等量关系为：主干1+支干数目+支干数目×支干数目＝91，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设每个支干长出x个小分支，则1+x+x2＝91，
解得：x1＝9，x2＝﹣10（舍去），
∴每个支干长出9个小分支．
故答案为：9个．
【点评】考查一元二次方程的应用，得到总数91的等量关系是解决本题的关键．
15．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B处，则重叠部分△AFC的面积为 10 ．
【分析】因为BC为AF边上的高，要求△AFC的面积，求得AF即可，求证△AFD≌△CFB′，得B′F＝DF，设DF＝x，则在Rt△AFD中，根据勾股定理求x，由此可得答案．
【解答】解：由旋转的性质及矩形的性质可得：∠D＝∠B′＝90°，AD＝CB′，
在△AFD和△CFB′中，
，
△AFD≌△CFB′，
∴DF＝B′F，
设DF＝x，则AF＝8﹣x，
在Rt△AFD中，（8﹣x）2＝x2+42，
解之得：x＝3，
∴AF＝AB﹣FB′＝8﹣3＝5，
∴S△AFC＝•AF•B′C＝×5×4＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了勾股定理的正确运用，本题中设D′F＝x，根据直角三角形AFD′中运用勾股定理求x是解题的关键．
16．（3分）若实数x、y满足（x2+y2）（1﹣x2﹣y2）+6＝0，则x2+y2＝ 3 ．
【分析】设x2+y2＝z，则原方程换元为 z2﹣z﹣6＝0，可得z1＝3，z2＝﹣2，即可求解．
【解答】解：设x2+y2＝z，则原方程换元为 z（1﹣z）+6＝0，
整理得：z2﹣z﹣6＝0，
∴（z﹣3）（z+2）＝0，
解得：z1＝3，z2＝﹣2，
即 x2+y2＝3或x2+y2＝﹣2（不合题意，舍去），
∴x2+y2＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程：4（x+2）2﹣9（x﹣3）2＝0．
【分析】方程左边利用平方差公式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：方程变形得：[2（x+2）+3（x﹣3）][2（x+2）﹣3（x﹣3）]＝0，
即（5x﹣5）（﹣x+13）＝0，
解得：x1＝1，x2＝13．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
18．（6分）已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，求：
（1）Rt△ABC的面积；
（2）斜边AB的长．
【分析】（1）利用三角形的面积公式，两直角边长之积的一半；
（2）根据勾股定理直接计算．
【解答】解：（1）S△ABC＝BC•AC＝×5×12＝30；
（2）AB＝＝＝13．
【点评】本题考查了勾股定理，找到直角边和斜边是解题的关键．
19．（6分）已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，5）和（﹣1，1）两点．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当x＝﹣4时，求y的值．
【分析】（1）把（1，5）和（﹣1，1）两点坐标代入y＝kx+b中，建立方程组，求出k，b的值即可得结果．
（2）令（1）中求得的解析式中x＝﹣4，求出y即可．
【解答】解（1）把（1，5）和（﹣1，1）两点坐标代入y＝kx+b中得，
，
解得，
∴一次函数的解析式为：y＝2x+3．
（2）当x＝﹣4时，y＝2×（﹣4）+3＝﹣5，
∴当x＝﹣4时，y的值为﹣5．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式以及知自变量的值求函数值，熟练掌握待定系数法是解题关键．
20．（8分）快递业为商品走进千家万户提供了极大便利，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势．网店店主小刘打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小刘收集了10家网店店主对两家快递公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
①配送速度得分（满分10分）：
甲：7，6，9，6，7，10，8，8，9，9；乙：8，8，6，7，9，7，9，8，8，9．
②服务质量得分统计图（满分10分）：
③配送速度和服务质量得分统计表：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：m＝ 8 ，n＝ 9 ，比较大小：s甲2 ＜ s乙2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（2）综合上表中的统计量，你认为小刘应选择哪家公司？请说明理由；
（3）为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为小刘还应收集什么信息？（列出一条即可）
【分析】（1）根据中位数、众数和方差的概念即可解答；
（2）综合分析表中的统计量，即可解答；
（3）根据已有的数据，合理提出建议即可，答案不唯一．
【解答】解：（1）将甲数据从小到大排列为：6，6，7，7，8，8，9，9，9，10，
从中可以看出一共10个数据，第5个和第6个数据均为8，所以这组数据的中位数为（8+8）÷2＝8，即m＝8，
其中9出现的次数最多，所以这组数据的众数为9，即n＝9，
从折线统计图中可以看出，甲的服务质量得分分布于5﹣8，乙的服务质量得分分布于4﹣10，
从中可以看出甲的数据波动更小，数据更稳定，即s甲2＜s乙2，
故答案为：8，9，＜．
（2）小刘应选择甲公司，理由如下：
配送速度方面，甲乙两公司的平均分相同，中位数相同，但甲的众数高于乙公司，这说明甲在配送速度方面可能比乙公司表现的更好，
服务质量方面，二者的平均相同，但甲的方差明显小于乙，说甲的服务质量更稳定，因此应该选择甲公司．
（3）根据题干可知，不同的快递公司在配送速度、服务、收费和投递范围等方面各具优势，
所以除了配送速度和服务质量，还应该收集两家公司的收费情况和投递范围（答案不唯一，言之有理即可）．
【点评】本题主要考查了中位数、众数和方差的概念，理解并掌握它们的概念和意义并能结合题干分析问题是解题的关键．
21．（8分）新农村建设有效促进了乡村旅游业的发展，某镇2018年实现旅游收入1500万元，到2020年该项收入达到2160万元，且从2018年到2020年，每年旅游收入的年增长率相同．
（1）求旅游收入的年增长率；
（2）若该镇旅游收入的年增长率保持不变，预计2021年旅游收入达到多少万元？
【分析】（1）设旅游收入的年增长率为x，利用2020年旅游收入金额＝2018年旅游收入金额×（1+年增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出旅游收入的年增长率；
（2）利用预计2021年旅游收入金额＝2020年旅游收入金额×（1+年增长率），即可预计出2021年旅游收入金额．
【解答】解：（1）设旅游收入的年增长率为x，
依题意得：1500（1+x）2＝2160，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：旅游收入的年增长率为20%．
（2）2160×（1+20%）＝2592（万元）．
答：预计2021年旅游收入达到2592万元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
22．（9分）小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．
根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的路程是多少米？小明在书店停留了多少分钟？
（2）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？
（3）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学途中哪个时间段小明的骑车速度最快，速度在安全限度内吗？
（4）小明出发多长时间离家1200米？
【分析】（1）根据图象即可求得；
（2）根据图象可知；
（3）根据图象可知，从12分钟至14分钟小明的骑车速度最快，根据“路程÷时间＝速度”即可判断；
（4）设小明出发t分钟时，小明离家1200米，根据图象以及列方程即可求解．
【解答】解：（1）根据图象可知，小明家到学校的路程是1500米，
12﹣8＝4（分钟），
故小明在书店停留了4分钟；
（2）1500+（1200﹣600）×2＝2700（米），
故本次上学途中，小明一共行驶了2700米；
（3）根据图象可知，从12分钟至14分钟小明的骑车速度最快，
（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450（米/分钟），
∵450＞300，
∴小明的骑车速度超过了安全限度．
（4）设小明出发t分钟时，小明离家1200米，
①根据图象可知，t＝6；
②根据题意，得600+450（t﹣12）＝1200，
解得t＝，
∴小明出发6分钟或分钟时，小明离家1200米．
【点评】本题考查了一次函数的实际应用，理解图象上各点的含义并求出速度是解题的关键．
23．（9分）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点．以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．
（1）求点C，D的坐标；
（2）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）在直角三角形AOB中，由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；过C作y轴垂线，过D作x轴垂线，分别交于点E，F，可得三角形CBE与三角形ADF与三角形AOB全等，利用全等三角形对应边相等，确定出C与D坐标即可；
（2）作出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，连接BD，BM，此时△MDB周长最小，求出此时M的坐标即可．
【解答】解：（1）对于直线y＝x+1，令x＝0，得到y＝1；令y＝0，得到x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），B（0，1），
作CE⊥y轴，DF⊥x轴，可得∠CEB＝∠AFD＝∠AOB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝AB＝AD，∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴∠DAF+∠BAO＝90°，∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠DAF+∠ADF＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠BAO＝∠ADF＝∠CBE，
∴△BCE≌△DAF≌△ABO，
∴BE＝DF＝OA＝2，CE＝AF＝OB＝1，
∴OE＝OB+BE＝2+1＝3，OF＝OA+AF＝2+1＝3，
∴C（﹣1，3），D（﹣3，2）；
（2）存在，
找出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，此时△BMD周长最小，
∵B（0，1），
∴B′（0，﹣1），
设直线B′D的解析式为y＝kx+b，
把B′与D坐标代入得：，
解得：，
即直线B′D的解析式为y＝﹣x﹣1，
令y＝0，得到x＝﹣1，
即M（﹣1，0）．
【点评】此题考查一次函数图象上点的坐标，掌握待定系数法确定一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理是解本题的关键．
24．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两个根是x1＝2，x2＝4，则方程x2﹣6x+8＝0是“倍根方程”．
（1）通过计算，判断x2﹣3x+2＝0是否是“倍根方程”；
（2）若关于x的方程（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，求代数式m2+2m+2的值；
（3）已知关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x+32＝0（m是常数）是“倍根方程”，请直接写出m的值．
【分析】（1）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝1，然后根据新定义进行判断；
（2）利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝m，再根据新定义m＝4或m＝1，然后把m＝4或m＝1代入所求的代数式中进行分式的运算即可；
（3）设方程的根的两根分别为α、2α，根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α⋅2α＝32，然后求出α，再计算对应的m的值．
【解答】解：（1）x2﹣3x+2＝0，（x﹣2）（x﹣1）＝0，x﹣2＝0或x﹣1＝0，
所以x1＝2，x2＝1，
则方程x2﹣3x+2＝0是“倍根方程”；
（2）（x﹣2）（x﹣m）＝0，x﹣2＝0或x﹣m＝0，
解得x1＝2，x2＝m，
∵（x﹣2）（x﹣m）＝0是“倍根方程”，
∴m＝4或m＝1，
当m＝4时，m2+2m+2＝16+8+2＝26；
当m＝1时，m2+2m+2＝1+2+2＝5，
综上所述，代数式m2+2m+2的值为26或5；
（3）根据题意，设方程的根的两根分别为α、2α，
根据根与系数的关系得α+2α＝m﹣1，α⋅2α＝32，
解得α＝4，m＝13或α＝﹣4，m＝﹣11，
∴m的值为13或﹣11．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝．也考查了阅读理解能力．
25．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点C作CH⊥AB，过点B作AC的垂线，分别交CH、AC、AD于点E、F、G，且∠ABC＝∠BEH，BG＝BC．
（1）求证：∠BAG＝∠CEB；
（2）若BC＝25，求DG的值；
（3）连接HF，证明：HA＝HF﹣HE．
【分析】（1）首先推导出AD∥BC，得到∠ABC+∠BAG＝180°，然后推导出∠CEB+∠ABC＝180°，进而得证；
（2）首先证得△BAG≌△CEB（AAS），然后推导出AC＝BC＝25，过点A作AK∥BG交CB延长线于K，由AG∥BK，可知四边形AGBK为平行四边形，得到△ACK为等腰直角三角形，故CK＝25，AG＝BK＝25﹣25，DG＝50﹣25；
（3）过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N，由△BAG≌△CEB，得出CE＝AB，由AAS证得△ABF≌△ECF得出AF＝EF，由ASA证得△ANF≌△EHF得出HE＝AN，HF＝NF，则△HFN是等腰直角三角形，得出HN＝HF，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAG＝180°，
∵∠ABC＝∠BEH，
∴∠CEB+∠ABC＝180°，
∴∠BAG＝∠CEB；
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠AGB＝∠EBC，
在△BAG和△CEB中，
，
∴△BAG≌△CEB（AAS），
∴CE＝AB，∠ABG＝∠ECB，
∵∠ABG+∠BAC＝∠ECB+∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC＝25，
过点A作AK∥BG交CB延长线于K，由AG∥BK，可知四边形AGBK为平行四边形．
∴△ACK为等腰直角三角形，
∴CK＝25，
∴AG＝BK＝25﹣25，
∴DG＝50﹣25；
（3）连接HF，过点F作FN⊥HF，交BA延长线于N，（或延长HA至N，使AN＝HE）
由（2）知，CE＝AB，AC＝BC，
∵CH⊥AB，
∴∠ACH＝∠ECB＝∠ABG，
在△ABF和△ECF中，
，
∴△ABF≌△ECF（AAS），
∴AF＝EF，
∵∠HFN＝∠EFA＝90°，
∴∠AFN＝∠EFH，
∵∠BAC＝∠ABC，∠ABC＝∠BEH，
∴∠NAF＝∠HEF，
在△ANF和△EHF中，
，
∴△ANF≌△EHF（ASA），
∴HE＝AN，HF＝NF，
∴△HFN是等腰直角三角形，
∴HN＝HF，
∴HA+AN＝HA+HE＝HF，
∴HA＝HF﹣HE．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质、证明三角形全等与等腰直角三角形是解题的关键．
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服务质量得分
平均数
中位数
众数
平均数
方差
甲
7.9
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n
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乙
7.9
8
8
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