上海专用高中数学高一上学期第一次月考卷（沪教版2020必修第一册第一章~第二章）含答案解析.zip

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：沪教版2020必修第一册第一章~第二章。
5．难度系数：0.65。
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．用描述法表示正偶数集 .
【答案】
【解析】因为偶数可以表示为，
所以正偶数集为，
故答案为：.
2．已知集合，，则 .
【答案】
【解析】由集合，，
则.
故答案为：.
3．已知，则x的范围为 .
【答案】
【解析】由可得：，即，
则，解得：.
故答案为：
4．设全集，，，则实数 ．
【答案】
【解析】由题设知：，
所以或，显然时中元素不满足互异性，而满足题设，
所以.
故答案为：.
5．若正实数a、b的几何平均值为，则2a与b的算术平均值的最小值为 ．
【答案】8
【解析】因为，所以，
又因为，，所以,当且仅当，即时，等号成立．
故答案为：8.
6．设：，：，是的充分条件，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】∵：，：，是的充分条件，
则，则，
∴实数m的取值范围是.
故答案为：．
7．如图，用长度为米的材料围成一个矩形场地，场地中间用该材料加两道与矩形的边平行的隔墙，若使矩形的面积最大，则隔墙的长度是 米．
【答案】
【解析】设隔墙的长度为（），矩形面积为，则另外一边长为，
则，
当且仅当，即时，最大．
故答案为：.
8．如果集合满足，则满足条件的集合的个数为 （填数字）．
【答案】3
【解析】由题意知集合中必须包含0，2两个元素，但集合；
∴满足条件的集合为：，，；
∴满足条件的集合的个数为3．
故答案为：3．
9．若非空集合不是单元素集，则其中所有元素之和 .
【答案】2
【解析】由题意可知：集合有两个元素，设为，即，
则方程有两个不相等的实数根，则，
所以.
故答案为：2.
10．集合的子集个数为 .
【答案】
【解析】因为，所以当时，不成立，
当时，成立，
当时，成立，
当时，成立，
当时，成立，
当时，成立，
当时，成立，
当时，不成立，
所以满足题意的为，，
所以集合的子集个数为：.
故答案为：.
11．关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】令，得，
由绝对值的几何意义知，
表示数轴上的数2对应的点到原点的距离与数a对应的点到原点的距离之和，
则，
即的最小值为，又不等式的解集为R，
所以不等式在R上恒成立，
有，
当时，显然成立，
当时，有，解得，
即实数a的取值范围为.
故答案为：.
12．集合，，都是非空集合，现规定如下运算：且．假设集合，，，其中实数，，，，，满足：（1），；；（2）；（3）．计算 ．
【答案】或
【解析】，得；，得；
∴，；同理，
∴．由(1)(3)可得．
∴，，．
或．
故答案为：或.
二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)
13．用反证法证明命题“ab可以被5整除，那么a、b中至少有一个能被5整除”时假设的内容应该是（ ）
A．a、b都不能被5整除B．a、b都能被5整除
C．a、b不都能被5整除D．b能被5整除
【答案】A
【解析】“至少有一个”的否定是“一个也没有”，即“a，b都不能被5整除”.
故选：A.
14．当时，函数的最小值是（ ）
A．B．4C．5D．9
【答案】A
【解析】∵，∴，,
∴，
当且仅当，即时取等号．
故选：A.
15．已知集合，集合，若，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】因为或，解得或，
即，
因为，所以，
当时，，满足要求.
当时，则，由，
可得，即.
当时，则，由，
可得，即，
综上所述，，
故选:B.
16．设数集，且M、N都是集合的子集，如果把叫做集合的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据题意，M的长度为，N的长度为，当集合M∩N的长度为最小值时， M与N应分别在区间[0，1]的左右两端，故M∩N的长度的最小值是，
故选C．
三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)
17．已知集合，．
(1)若，求；
(2)“”是“”的充分非必要条件，求实数a的取值范围．
【解析】（1）因为，，（3分）
当时，则，所以. （6分）
（2）因为“”是“”的充分非必要条件，所以是的真子集，又，，
所以，解得，即实数a的取值范围为. （14分）
18．已知集合，集合．
(1)若，求；
(2)若，且，求p的值．
【解析】（1）因为，所以,即1是方程的根，
所以，解得，
所以由方程解得或，
所以, （3分）
又由解得或，
所以,所以. （6分）
（2）由题可知是方程的两个根，
因为，所以，解得或， （8分）
由韦达定理得，
因为，
即解得或，
又因为或，所以. （14分）
19．第19届杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件.
(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
(2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价.
【解析】（1）设定价为元，则销售量为万件，
由已知可得，， （2分）
整理可得，，解得，
所以，该商品每件定价最多为50元. （6分）
（2）由已知可得，，.
因为，所以， （12分）
当且仅当，即时，等号成立，
所以，.
所以，当该商品改革后的销售量至少应达到万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，商品的每件定价为20元. （14分）
20．已知非空实数集，满足：任意，均有；任意，均有．
(1)直接写出中所有元素之积的所有可能值；
(2)若由四个元素组成，且所有元素之和为3，求；
(3)若非空，且由5个元素组成，求的元素个数的最小值．
【解析】（1）已知非空实数集满足：任意，均有，且在实数范围内无解，所以，
所以，又，
则集合中的元素是以的形式，三个数为一组出现，组和组不相交，且，
又，则S中所有元素之积的所有可能值为或； （4分）
（2）已知非空实数集满足：任意，均有，且
所以，且，又，
则集合中的元素是以的形式，四个数为一组出现，组和组不相交，且，
若由四个元素组成，则，且所有元素之和为3，
所以，整理得，
解得或， （8分）
当或或或时，，
综上，； （10分）
（3）由（1）（2）集合的元素个数分别是以和为最小正周期循环，
且当时，同一周期内其余元素不相等，
因而和互素，所以和中的各组最多只能有一个公共元素，
因为有五个元素，若要使的元素个数最小，要使相同的元素尽量在同一个周期内，
若，此时从中选出5个元素属于，此时T包含12个元素，中包含个元素， （14分）
若，此时从中选出5个元素属于，此时S包含15个元素，中包含，
所以的元素个数最小值为13. （18分）
21．集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”．
(1)判断集合、是否为“可分集合”（不用说明理由）；
(2)求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；
(3)若集合是“可分集合”，证明是奇数．
【解析】（1）解：对于，去掉后，不满足题中条件，故不是“可分集合”，
对于，集合所有元素之和为.
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意；
当去掉元素时，剩下的元素之和为，剩下元素可以组合、这两个集合，显然符合题意.
综上所述，集合是“可分集合”. （4分）
（2）证明：不妨设，
若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有①，或者②，
若去掉元素，将集合分成两个交集为空集的子集，
且两个子集元素之和相等，则有③，或者④，
由①③得，矛盾，由①④得，矛盾，
由②③得矛盾，由②④得矛盾，
故当时，集合一定不是“可分集合”． （10分）
（3）设中所有元素之和为，由题意得均为偶数，
故的奇偶性相同，
①若为奇数，则为奇数，易得为奇数，
②若为偶数，此时取，可得仍满足题中条件，集合也是“可分集合”，
若仍是偶数，则重复以上操作，最终可得各项均为奇数的“可分集合”，由①知为奇数
综上，集合中元素个数为奇数. （18分）