高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系精品课时练习

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知识点01： SKIPIF 1 < 0 图（韦恩图）
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为 SKIPIF 1 < 0 图。
SKIPIF 1 < 0 图和数轴一样，都是用来解决集合问题的直观的工具。利用 SKIPIF 1 < 0 图，可以使问题简单明了地得到解决。
对 SKIPIF 1 < 0 图的理解
(1)表示集合的 SKIPIF 1 < 0 图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.
(2)用 SKIPIF 1 < 0 图表示集合的优点是能够呈现清晰的视觉形象,即能够直观地表示集合之间的关系,缺点是集合元素的公共特征不明显.
知识点02：子集
1子集：
一般地，对于两个集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，如果集合 SKIPIF 1 < 0 中任意一个元素都是集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合 SKIPIF 1 < 0 为集合 SKIPIF 1 < 0 的子集
（1）记法与读法：记作 SKIPIF 1 < 0 (或 SKIPIF 1 < 0 )，读作“ SKIPIF 1 < 0 含于 SKIPIF 1 < 0 ”(或“ SKIPIF 1 < 0 包含 SKIPIF 1 < 0 ”)
（2）性质：
①任何一个集合是它本身的子集，即 SKIPIF 1 < 0 .
②对于集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 图表示：
2集合与集合的关系与元素与集合关系的区别
符号“ SKIPIF 1 < 0 ”表示集合与集合之间的包含关系,而符号“ SKIPIF 1 < 0 ”表示元素与集合之间的从属关系.
【即学即练1】（2023·全国·高三专题练习）写出集合 SKIPIF 1 < 0 的所有子集．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】集合 SKIPIF 1 < 0 的所有子集有： SKIPIF 1 < 0
知识点03：集合相等
一般地,如果集合 SKIPIF 1 < 0 的任何一个元素都是集合 SKIPIF 1 < 0 的元素,同时集合 SKIPIF 1 < 0 的任何一个元素都是集合 SKIPIF 1 < 0 的元素,那么集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 相等,记作 SKIPIF 1 < 0 .也就是说,若 SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ,则 SKIPIF 1 < 0 .
（1） SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 图表示
（2）若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关
【即学即练2】（2023秋·辽宁沈阳·高一沈阳二中校考阶段练习）下面说法中不正确的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】对于A，因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B，因集合 SKIPIF 1 < 0 的元素为有序数对，而 SKIPIF 1 < 0 的元素为实数，两个集合的对象不同，B不正确；对于C，因集合 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都表示大于2的数形成的集合，即 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；对于D，由列举法表示集合知 SKIPIF 1 < 0 正确，D正确.故选：B
知识点04：真子集的含义
如果集合 SKIPIF 1 < 0 ，但存在元素 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，我们称集合 SKIPIF 1 < 0 是集合 SKIPIF 1 < 0 的真子集;
（1）记法与读法：记作 SKIPIF 1 < 0 ，读作“ SKIPIF 1 < 0 真包含于 SKIPIF 1 < 0 ”(或“ SKIPIF 1 < 0 真包含 SKIPIF 1 < 0 ”)
（2）性质：
①任何一个集合都不是是它本身的真子集.
②对于集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
（3） SKIPIF 1 < 0 图表示：
【即学即练3】（2023·全国·高三专题练习）满足条件： SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 的集合M的个数为______.
【答案】7
【详解】由 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 可知，M中的元素个数多于 SKIPIF 1 < 0 中的元素个数，不多于 SKIPIF 1 < 0 中的元素个数，因此M中的元素来自于b,c,d中，即在b,c,d中取1元素时，M有3个；取2个元素时，有3个；取3个元素时，有1个，故足条件： SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 的集合M的个数有7个，故答案为：7.
知识点05：空集的含义
我们把不含任何元素的集合，叫做空集，记作： SKIPIF 1 < 0
规定：空集是任何集合的子集，即 SKIPIF 1 < 0 ;
性质：①空集只有一个子集，即它的本身， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【即学即练4】（2023·甘肃庆阳·高一校考阶段练习）有下列四个命题：①＝{0}；② SKIPIF 1 < 0 {0}；③{1} SKIPIF 1 < 0 {1，2，3}；④{1}∈{1，2，3}；其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】空集是不含任何元素的集合，空集是任何集合的子集，故①错误，②正确；
SKIPIF 1 < 0 ，故③正确，④错误，正确的个数为2.故选：B
题型01 判断两个集合的包含关系
【典例1】（2023·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】对于A：集合 SKIPIF 1 < 0 为点集，含有元素 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 含有两个元素 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不包含于 SKIPIF 1 < 0 ，故A错误；对于B： SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；对于C： SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；对于D：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；故选：A
【典例2】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一统考期末）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题意知，，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【典例3】（2023·高三课时练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的关系满足（ ）
A． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 .故选：B．
【典例4】（2023·高一单元测试）设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则集合 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的关系是______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
显然 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 中元素都属于 SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 中元素 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023春·江西新余·高一新余市第一中学校考阶段练习）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则这三个集合间的关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】依题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，{偶数} SKIPIF 1 < 0 ，
因此集合 SKIPIF 1 < 0 中的任意元素都是集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素，即有 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 中的每一个元素都是集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
题型02 判断子集（真子集）的个数
【典例1】（2023·陕西咸阳·统考三模）设集合 SKIPIF 1 < 0 ，则集合 SKIPIF 1 < 0 的真子集个数是（ ）
A．6B．7C．8D．15
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以集合A的真子集个数是 SKIPIF 1 < 0 ，故选：B．
【典例2】（2023·高一单元测试）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则满足条件 SKIPIF 1 < 0 的集合 SKIPIF 1 < 0 的个数为_____个.
【答案】31
【详解】集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的真子集，故有 SKIPIF 1 < 0 ，故答案为：31
【变式1】（2023·江西吉安·统考模拟预测）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，满足这样的集合 SKIPIF 1 < 0 的个数（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】B
【详解】根据题意可知，集合 SKIPIF 1 < 0 还应包含集合 SKIPIF 1 < 0 中除元素1，2之外的其他元素；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中有三个元素，则 SKIPIF 1 < 0 可以是 SKIPIF 1 < 0 ；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中有四个元素，则 SKIPIF 1 < 0 可以是 SKIPIF 1 < 0 ；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中有五个元素，则 SKIPIF 1 < 0 可以是 SKIPIF 1 < 0 ；即这样的集合 SKIPIF 1 < 0 的个数为7个.故选：B
【变式2】（2023·全国·高一专题练习）集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的子集的个数为（ ）
A．4B．8C．15D．16
【答案】D
【详解】集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 个子集.故选：D．
题型03 求集合中子集（真子集）
【典例1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若使 SKIPIF 1 < 0 成立的实数 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的一个真子集可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】由题意集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ,则M的一个真子集可以是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故选：BC.
【典例2】（2023·高一课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 若用列举法表示，则集合 SKIPIF 1 < 0 是________.
【答案】{∅，{1}，{2}，{1,2}}
【详解】由题意得，A＝{1,2}，B＝{x|x⊆A}，则集合B中的元素是集合A的子集：∅，{1}，{2}，{1,2}，
所以集合B＝{∅，{1}，{2}，{1,2}}，故答案为：{∅，{1}，{2}，{1,2}}.
【变式1】（多选）（2023秋·福建宁德·高一福建省霞浦第一中学校考期末）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的真子集，则集合N可以是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，则集合 SKIPIF 1 < 0 中至少包含2，4两个元素，又不能等于或多于 SKIPIF 1 < 0 ，2，3，4， SKIPIF 1 < 0 中的元素，所以集合 SKIPIF 1 < 0 可以是 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,故选：ABC
题型04空集的概念集判断
【典例1】（2023·河北·高三学业考试）下列集合中，结果是空集的是( )
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】A选项： SKIPIF 1 < 0 ，不是空集；B选项： SKIPIF 1 < 0 {x|x>6或x<1}，不是空集；C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x|x>6且x<1}= SKIPIF 1 < 0 .故选：D
【典例2】（2023春·宁夏银川·高二银川一中校考期中）下列各式中：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ；⑥ SKIPIF 1 < 0 .正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】①集合之间只有包含、被包含关系，故错误；②两集合中元素完全相同，它们为同一集合，则 SKIPIF 1 < 0 ，正确；③空集是任意集合的子集，故 SKIPIF 1 < 0 ，正确；④空集没有任何元素，故 SKIPIF 1 < 0 ，错误；⑤两个集合所研究的对象不同，故 SKIPIF 1 < 0 为不同集合，错误；⑥元素与集合之间只有属于、不属于关系，故错误；∴②③正确.故选：B.
【变式1】（2023·上海·高一专题练习）下列六个关系式：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ；⑥ SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的个数是（ ）
A．1B．3C．4D．6
【答案】C
【详解】①正确，集合中元素具有无序性；
②正确，任何集合是自身的子集；
③错误， SKIPIF 1 < 0 表示空集，而 SKIPIF 1 < 0 表示的是含 SKIPIF 1 < 0 这个元素的集合，所以 SKIPIF 1 < 0 不成立.
④错误， SKIPIF 1 < 0 表示空集，而 SKIPIF 1 < 0 表示含有一个元素0的集合，并非空集，所以 SKIPIF 1 < 0 不成立；
⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；
⑥正确，由元素与集合的关系知， SKIPIF 1 < 0 ．故选：C.
【变式1】（多选）（2023·全国·高一校联考阶段练习）下列关系中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】选项A：空集中没有元素，故A错误；选项B： SKIPIF 1 < 0 中只有一个元素 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；选项C，D：空集是任意集合的子集，故C，D正确，故选：BCD
题型05 空集的性质及应用
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是____.
【答案】m≥1
【详解】∵M＝∅，∴2m≥m＋1，∴m≥1.故答案为m≥1
【典例2】（2023·高一课时练习）不等式组 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是_____________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：∵不等式组 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，故不等式组 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，故不满足条件；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 求得 SKIPIF 1 < 0 ；由 SKIPIF 1 < 0 ，求得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，不等式组 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，满足条件；
若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，不等式组 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 ，不满足条件，
综上可得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2022秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合 SKIPIF 1 < 0 为空集，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为集合 SKIPIF 1 < 0 为空集，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
题型06 判断两个集合是否相等
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】对AD，两集合的元素类型不一致，则 SKIPIF 1 < 0 ，AD错；对B，由集合元素的无序性可知， SKIPIF 1 < 0 ，B对；对C，两集合的唯一元素不相等，则 SKIPIF 1 < 0 ，C错；故选：B
【典例2】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下列与集合 SKIPIF 1 < 0 表示同一个集合的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以根据集合的表示方法知A，C与集合M表示的是同一个集合，集合 SKIPIF 1 < 0 的元素是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 两个数， SKIPIF 1 < 0 的元素是 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 这两个等式，与集合M的元素是有序数对(可以看做点的坐标或者对应坐标平面内的点)不同,故BD错误.故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）下面说法中，正确的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【详解】解：方程 SKIPIF 1 < 0 中x的取值范围为R，所以 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，所以A正确；
SKIPIF 1 < 0 表示直线 SKIPIF 1 < 0 上点的集合，而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误；集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 都表示大于2的实数构成的集合，所以C正确；由于集合的元素具有无序性，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确．故选：ACD．
题型07 根据两个集合相等求参数
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 等于（ ）
A．1或2B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 C．2D．1
【答案】C
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，与集合元素互异性矛盾，故 SKIPIF 1 < 0 不正确.经检验可知 SKIPIF 1 < 0 符合.故选：C
【典例2】（2023秋·广东广州·高一秀全中学校考期末）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由已知得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
【变式1】（2023秋·广东江门·高一统考期末）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若P=Q，则 SKIPIF 1 < 0 _________.
【答案】-2
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若P=Q，则有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故答案为：-2.
题型08根据集合的包含关系求参数
【典例1】（2023·吉林·统考模拟预测）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 或1B．0或1C．1D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】解：由集合 SKIPIF 1 < 0 ，对于方程 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，此时方程无解，可得集合 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 ，要使得 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 ，则满足 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .故选：B.
【典例2】（2023春·上海宝山·高一上海交大附中校考期中）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值是_________．
【答案】-3
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的解，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .经检验， SKIPIF 1 < 0 符合题意，所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023秋·湖北黄石·高一校联考期末）已知集合 SKIPIF 1 < 0
（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0
【详解】分析：利用一元二次不等式的解法，化简集合 SKIPIF 1 < 0 化简集合 SKIPIF 1 < 0 （1）利用集合相等的定义可得结果；（2）利用子集的定义可得结果.
详解：由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 可得， SKIPIF 1 < 0 集合 SKIPIF 1 < 0
（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即实数 SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023春·山东滨州·高二校考阶段练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则使 SKIPIF 1 < 0 成立的实数a的取值范围是_____．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023·高一课时练习）已知A={﹣1，1}，B={x|x2﹣ax+b＝0}，若B⊆A，求实数a，b的值．
【答案】a＝2，b＝1或a＝﹣2，b＝1或a＝0，b＝﹣1或a2﹣4b＜0．
【详解】因为B={x|x2﹣ax+b＝0}，且B⊆A，
①当B中有一个元素时，B＝{1}或B＝{﹣1}
当B＝{1}时， SKIPIF 1 < 0 ，解得a＝2，b＝1；
当B＝{﹣1}时， SKIPIF 1 < 0 ，解得a＝﹣2，b＝1；
②当B中有两个元素时，B＝A，即B＝{﹣1，1}， SKIPIF 1 < 0 ，解得a＝0，b＝﹣1；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，只需满足a2﹣4b＜0，
题型09 新定义题
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）给定集合 SKIPIF 1 < 0 ，对于 SKIPIF 1 < 0 ，如果 SKIPIF 1 < 0 ，那么 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个“好元素”，由 SKIPIF 1 < 0 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有_________个．
【答案】6
【详解】若不含好元素，则集合S中的3个元素必须为连续的三个数，故不含好元素的集合共有 SKIPIF 1 < 0 ，共有6个.故答案为：6．
【典例2】（2023·高一课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 是整数集的一个非空子集，对于 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一个“孤立元”，给定 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有_________个．
【答案】7
【详解】由集合的新定义知，没有与之相邻的元素是“孤立元”，集合 SKIPIF 1 < 0 不含“孤立元”，则集合 SKIPIF 1 < 0 中的三个数必须连在一起，所以符合题意的集合是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共7个．故答案为：7.
本节重点方法（数轴辅助法）
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示，
或
要使 SKIPIF 1 < 0 ，只需 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，满足要求；
当 SKIPIF 1 < 0 时，根据题意作出如图所示的数轴，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ．

综上，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .故答案为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
本节数学思想方法（分类讨论法）
【典例1】（2023·高一课时练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则方程为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 时，则方程为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，不合题意，舍去，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，则由题意知 SKIPIF 1 < 0 ，
则1,4为方程 SKIPIF 1 < 0 两根，根据韦达定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述 SKIPIF 1 < 0 的范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023·高一课时练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
综合①②，得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
（2）（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
本节易错题（忽略空集）
【典例1】（2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试）集合 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得 SKIPIF 1 < 0 ，即实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值构成的集合为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】∵集合 SKIPIF 1 < 0 ，∴集合 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 三种情况，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ；∴实数m的取值构成的集合为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
1.2集合间的基本关系
A夯实基础
一、单选题
1．（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）已知集合 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则集合A的子集的个数为（ ）
A．15B．16C．31D．32
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可知，集合 SKIPIF 1 < 0 中含有5个元素，所以集合 SKIPIF 1 < 0 的子集个数为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.
2．（2023·全国·高一专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则a的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：A
3．（2023春·湖北孝感·高一统考开学考试）下面五个式子中：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ，正确的有（ ）
A．②③④B．②③④⑤C．②④⑤D．①⑤
【答案】C
【详解】解：①中， SKIPIF 1 < 0 是集合 SKIPIF 1 < 0 中的一个元素， SKIPIF 1 < 0 ，所以①错误；
②中，空集是任一集合的子集，所以②正确；
③中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集， SKIPIF 1 < 0 ，所以③错误；
④中，任何集合是其本身的子集，所以④正确；
⑤中， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的元素，所以⑤正确.故选：C.
4．（2023春·云南红河·高二校考阶段练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以由数轴法可知 SKIPIF 1 < 0 .故选：C．
5．（2023·北京东城·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以实数m的取值集合为 SKIPIF 1 < 0 .故选：C
6．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考阶段练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．1B．2C．1或2D．0
【答案】A
【详解】因为集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 .
二、多选题
7．（2023秋·四川泸州·高一统考期末）给出下列四个结论，其中正确的结论有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．集合 SKIPIF 1 < 0 是无限集 D．集合 SKIPIF 1 < 0 的子集共有4个
【答案】BCD
【详解】对于A： SKIPIF 1 < 0 是指不含任何元素的集合，故A错误；对于B：若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C：有理数有无数个，则集合 SKIPIF 1 < 0 是无限集，故C正确；对于D：集合 SKIPIF 1 < 0 元素个数为2个，故集合 SKIPIF 1 < 0 的子集共有 SKIPIF 1 < 0 个，故D正确．故选：BCD．
8．（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则下列命题中正确的是（ ）
A．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 D．若 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确. SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故D不正确.若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确.当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确.故选：ABC．
三、填空题
9．（2023·全国·高一专题练习）已知集合M满足 SKIPIF 1 < 0  SKIPIF 1 < 0 则集合M的个数为______．
【答案】7
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 可以为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 共计7个，故答案为：7.
10．（2023·高一单元测试）已知集合 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个子集，则 SKIPIF 1 < 0 的取值集合为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意，集合 SKIPIF 1 < 0 有且仅有两个子集，则集合 SKIPIF 1 < 0 只有一个元素，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意.
综上所述， SKIPIF 1 < 0 的取值集合为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
11．（2023·高一课时练习）设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是集合 SKIPIF 1 < 0 中元素，
所以将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）得 SKIPIF 1 < 0 是集合 SKIPIF 1 < 0 中元素，
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，此时 SKIPIF 1 < 0 符合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时，① SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 符合题意；
② SKIPIF 1 < 0 ，此时不满足集合元素的互异性，舍去；
综上 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|0【答案】实数a的取值范围 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 时，A＝R，B＝{x|－ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因为B⊆A，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因为B⊆A，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故综上可知，实数a的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．（2023秋·四川眉山·高一校考期末）若集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 之间的关系表示最准确的为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互不包含
【答案】C
【详解】对于集合 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故选：C.
2．（2023·全国·高三专题练习）设a，b是实数，集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ，故选：D
3．（多选）（2023·全国·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【答案】BCD
【详解】因为集合 SKIPIF 1 < 0 仅有 SKIPIF 1 < 0 个子集，所以集合 SKIPIF 1 < 0 中仅有一个元素，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，满足要求；当 SKIPIF 1 < 0 时，因为集合 SKIPIF 1 < 0 中仅有一个元素，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，满足要求，故选：BCD.
4．（2023春·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1或x>4}，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是________．
【答案】a<－4或a>2
【详解】①当a>3即2a>a＋3时，A＝ SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ；. ②当a SKIPIF 1 < 0 3即2a SKIPIF 1 < 0 a＋3时，若 SKIPIF 1 < 0 ，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得a<－4或22.
故答案为：a<－4或a>2
5．（2023·全国·高三专题练习）设集合A={ SKIPIF 1 < 0 }，B={x SKIPIF 1 < 0 }，且A SKIPIF 1 < 0 B，则实数k的取值范围是______________(写成集合形式).
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 知，集合B为A的非空子集或空集，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
C综合素养
1．（2023·全国·高三专题练习）设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中a， SKIPIF 1 < 0 ，下列说法正确的是（ ）
A．对任意a， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集，对任意的b， SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的子集
B．对任意a， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集，存在b，使得 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集
C．存在a，使得 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的真子集，对任意的b， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集
D．存在a，使得 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的子集，存在b，使得 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集
【答案】B
【详解】解：对于集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
可得当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，可得对任意a， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的子集；
综上有，对任意a， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集，存在b，使得 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集.故选：B.
2．（2023·全国·高三专题练习）设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ⊆ SKIPIF 1 < 0 ，则对应的实数对 SKIPIF 1 < 0 有
A． SKIPIF 1 < 0 对B． SKIPIF 1 < 0 对C． SKIPIF 1 < 0 对D． SKIPIF 1 < 0 对
【答案】D
【详解】解：因为集合 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
①当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，成立，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，成立，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，成立，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，成立，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，共4对．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
3．（多选）（2023春·福建龙岩·高一福建省永定第一中学校考开学考试）若集合A具有以下性质：①集合中至少有两个元素；②若 SKIPIF 1 < 0 ，则xy， SKIPIF 1 < 0 ，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则称集合A是“紧密集合”以下说法正确的是（ ）
A．整数集是“紧密集合”
B．实数集是“紧密集合”
C．“紧密集合”可以是有限集
D．若集合A是“紧密集合”，且x， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】A选项：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，而 SKIPIF 1 < 0 ，故整数集不是“紧密集合”，A错误；
B选项：根据“紧密集合”的性质，实数集是“紧密集合”，B正确；
C选项：集合 SKIPIF 1 < 0 是“紧密集合”，故“紧密集合”可以是有限集，C正确；
D选项：集合 SKIPIF 1 < 0 是“紧密集合”，当 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，D错误．故选：BC.
4．（2023·上海·高三专题练习）设非空集合 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 中所有元素和为偶数时（集合为单元素时和为元素本身），称 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的偶子集，若集合 SKIPIF 1 < 0 ，则其偶子集 SKIPIF 1 < 0 的个数为___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】集合 SKIPIF 1 < 0 中只有 SKIPIF 1 < 0 个奇数时，则集合 SKIPIF 1 < 0 的可能情况为： SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，共 SKIPIF 1 < 0 种，若集合 SKIPIF 1 < 0 中只有 SKIPIF 1 < 0 个奇数时，则集合 SKIPIF 1 < 0 ，只有一种情况，
若集合 SKIPIF 1 < 0 中只含 SKIPIF 1 < 0 个偶数，共 SKIPIF 1 < 0 种情况；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中只含 SKIPIF 1 < 0 个偶数，则集合 SKIPIF 1 < 0 可能的情况为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，共 SKIPIF 1 < 0 种情况；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中只含 SKIPIF 1 < 0 个偶数，则集合 SKIPIF 1 < 0 ，只有 SKIPIF 1 < 0 种情况.
因为 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的偶子集，分以下几种情况讨论：
若集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素全为偶数，则满足条件的集合 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 ；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素全为奇数，则奇数的个数为偶数，共 SKIPIF 1 < 0 种；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素是 SKIPIF 1 < 0 个奇数 SKIPIF 1 < 0 个偶数，共 SKIPIF 1 < 0 种；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素为 SKIPIF 1 < 0 个奇数 SKIPIF 1 < 0 个偶数，共 SKIPIF 1 < 0 种；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素为 SKIPIF 1 < 0 个奇数 SKIPIF 1 < 0 个偶数，共 SKIPIF 1 < 0 种；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素为 SKIPIF 1 < 0 个奇数 SKIPIF 1 < 0 个偶数，共 SKIPIF 1 < 0 种；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素为 SKIPIF 1 < 0 个奇数 SKIPIF 1 < 0 个偶数，共 SKIPIF 1 < 0 种；
若集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素为 SKIPIF 1 < 0 个奇数 SKIPIF 1 < 0 个偶数，共 SKIPIF 1 < 0 种.
综上所述，满足条件的集合 SKIPIF 1 < 0 的个数为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
5．（2023·全国·高一专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的取值范围是___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解：分两种情况考虑：
①若B不为空集，可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
②若B为空集，符合题意，可得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 .综上，实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .课程标准
学习目标
①理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集、真子集;
②理解与掌握空集的含义，在解题中把握空集与非空集合、任意集合的关系。
1．能利用集合间的包含关系解决两个集合间的问题。
2． 在解决集合问题时，易漏集合的特殊形式，比如集合是空集时参数所具备的意义。
3. 能利用Venn图表达集合间的关系。
4.判断集合之间的关系时，要从元素入手。
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
相同点
都表示无
都是集合
都是集合
不同点
SKIPIF 1 < 0 表示集合；
SKIPIF 1 < 0 是实数
SKIPIF 1 < 0 不含任何元素
SKIPIF 1 < 0 含有一个元素 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 不含任何元素
SKIPIF 1 < 0 含有一个元素，该元素为： SKIPIF 1 < 0
关系
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或者 SKIPIF 1 < 0