重庆市第八中学校2024-2025学年八年级上学期开学数学试题（原卷版+解析版）

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一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）
1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．不轴对称图形，故A不符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．是轴对称图形，故D符合题意．
故选：D．
2. 在下列实数，，，（相邻两个7之间依次多一个0）中，无理数有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查无理数，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可．
【详解】解：在，，，（相邻两个7之间依次多一个0）中，无理数有，，（相邻两个7之间依次多一个0），共3个；
故选C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的加减法，二次根式的除法，即可判断．
【详解】解：A、 和 不是同类二次根式，不能合并，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，二次根式的加减法，二次根式的除法，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的加减法，二次根式的除法法则是解题的关键．
4. 估计的值在（ ）
A. 4和5之间B. 5和6之间C. 6和7之间D. 7和8之间
【答案】B
【解析】
【分析】利用平方法可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查实数的估算，掌握平方法估算实数是解题的关键．
5. 若，，则等于（ ）
A. 25B. 1C. 21D. 29
【答案】D
【解析】
【分析】先把变形为，然后把，代入计算即可．
【详解】解：，
当，时，原式．
故选：D．
【点睛】本题考查了完全平方公式，掌握是解题的关键．
6. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 打开电视，正在播放奥运赛事
B. 袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球
C. 掷一枚质地均匀的硬币正面朝上
D. 2024年全年有367天
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事是必然事件，不一定发生的事是随机事件，一定不会发生的事是不可能事件，进行判断即可．
【详解】解：A、打开电视，正在播放奥运赛事，是随机事件，不符合题意；
B、袋中只有10个球，且都是红球，任意摸出一个球是红球，是必然事件，符合题意；
C、掷一枚质地均匀的硬币正面朝上，是随机事件，不符合题意；
D、2024年全年有367天，是不可能事件，不符合题意；
故选B．
7. 如图，在△ABC和△DEF中，点B、F、C、D在同一条直线上，已知∠A＝∠D，AB＝DE，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（ ）
A. ∠B＝∠EB. AC＝DFC. ∠ACD＝∠BFED. BC＝EF
【答案】D
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定方法进行判断．
【详解】解：∵∠A＝∠D，AB＝DE，
∴当添加∠B＝∠E时，根据 ASA 判定△ABC≌△DEF；
当添加AC＝DF时，根据 SAS 判定△ABC≌△DEF；
当添加∠ACD＝∠BFE时，则∠ACB＝∠DFE，根据 AAS 判定△ABC≌△DEF．
故选：D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等．
8. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ）
A. 2，3，4B. 1，，C. 4，6，8D. 5，12，15
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案．
【详解】解：A、∵，
∴，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵，
∴，
∴能构成直角三角形，
故B符合题意；
C、∵，
∴，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵，
∴，
∴不能构成直角三角形，
故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断三边的关系，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
9. 如图，在平面直角坐标系中，垂直x轴，垂直y轴，且，，则点P的坐标为（ ）
A. B. 2,3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查点到坐标轴的距离，象限内点的符号特征，根据图象，得到点在第四象限，根据点到坐标轴的距离为点的横纵坐标的绝对值，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，且点在第四象限，
∴，
∴点P的坐标为；
故选D．
10. 如图，AD，AE分别为△ABC高线和角平分线，DF⊥AE于点F，当∠ADF＝69°，∠C＝65°时，∠B的度数为（ ）
A. 21°B. 23°C. 25°D. 30°
【答案】B
【解析】
【分析】依据三角形内角和定理即可得到∠DAF和∠CAD的度数，再根据角平分线的定义，即可得到∠BAC的度数，最后依据三角形内角和定理即可得到∠B的度数．
【详解】解：∵DF⊥AE，∠ADF＝69°
∴∠DAF＝21°，
∵AD⊥BC，∠C＝65°，
∴∠CAD＝25°，
∴∠CAE＝∠DAF+∠CAD＝21°+25°＝46°，
又∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠CAE＝92°，
∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣92°﹣65°＝23°，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形内角和定理：三角形内角和是180°．
二、填空题：（本大题4个小题，每小题4分，共16分）
11. 太阳的主要成分是氢，氢原子的半径约为．这个数用科学记数法可以表示为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】用科学记数法可以表示为．
故答案为：．
12. 不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：由题意，从装有10个球的不透明袋子中，随机取出1个球，则它是绿球的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查求简单事件的概率，理解题意是解答的关键．
13. 若，则的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查算术平方根的非负性，根据非负性求出的值，再代入代数式计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2．
14. 直线与坐标轴围成的的面积是______．
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，先求出的坐标，再利用面积公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴的面积为；
故答案为：8．
三、解答题：（本大题5个小题，15题12分，16题6分，17题8分，18题8分，19题10分，共44分）
15. 计算：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【答案】（1）9 （2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【解析】
【分析】本题考查整式的运算，零指数幂，负整数指数幂以及二次根式的运算：
（1）进行乘方，零指数幂和负整数指数幂的运算即可；
（2）先化简，再合并同类二次根式即可；
（3）先化简计算括号内，再进行乘法运算即可；
（4）根据二次根式的运算法则和运算顺序进行计算即可；
（5）根据幂的运算法则，进行计算，再合并同类项即可；
（6）利用乘法公式进行计算即可．
【小问1详解】
解：原式
【小问2详解】
原式；
【小问3详解】
原式；
【小问4详解】
原式；
【小问5详解】
原式；
【小问6详解】
原式．
16. 先化简，再求值：，其中．
【答案】化简结果为，计算结果为-15.
【解析】
【分析】先利用整式的混合运算将括号内的式子化简，再根据多项式除以单项式法则得出化简结果，最后再将代入进行计算即可.
【详解】
当时，
原式
【点睛】本题主要考查了整式的化简求值，其中包括完全平方公式、平方差公式、去括号法则，整式的除法等.灵活运用整式的混合运算法则是解题的关键.
17. 如图，在中，，为延长线上一点．
（1）用直尺和圆规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，与边，分别交于点，，在线段上截取，使得，连接；（保留作图痕迹，不写作法和结论）
（2）在（1）所作图形中，连接，，求证：．（请补全下面的证明过程）
证明：∵，，
∴，
∴．
∵是的垂直平分线，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
【答案】（1）作图见解析
（2）；；；
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法可得直线，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质填空即可．
【小问1详解】
解：如图所示．
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
∴．
∵是垂直平分线，
∴，
∴．
∵，
∴．
在中，，，
∴．
在和中，
∴．
∴．
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查作图—复杂作图，考查了作线段的垂直平分线，作一条线段等于已知线段，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质．解题的关键是掌握尺规作图，等边对等角，全等三角形的判定与性质．
18. 国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时，为了了解这项政策的落实情况，有关部门就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校随机抽查了部分学生，再根据活动时间t（h）进行分组（A组：，B组：，C组：，D组：），绘制成如图所示的两幅不完整统计图．
请根据图中信息回答问题：
（1）此次抽查的学生数为______人；
（2）求A组对应的圆心角度数______，补全条形统计图；
（3）从抽查的学生中随机询问一名学生，该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是______；
（4）若当天在校学生数为6000人，请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有多少人？
【答案】（1）300 （2），图见解析
（3）
（4）3600人
【解析】
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求概率，利用样本估计总体：
（1）组学生的人数除以所占的百分比，进行求解即可；
（2）360度乘以组学生所占的比例求出圆心角的度数，求出两组的人数，补全条形图即可；
（3）利用概率公式直接计算即可；
（4）利用样本估计总体的思想，进行求解即可．
【小问1详解】
解：（人）；
故答案为：300；
【小问2详解】
组人数为：，则组人数为：，
∴A组对应的圆心角度数为，补全图形图如图：
故答案为：；
【小问3详解】
此次抽查的学生有300人，随机询问一人，有300种等可能结果，其中活动时间低于1小时的有种结果，
∴；
故答案为：；
【小问4详解】
（人）；
答：估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有3600人．
19. 如图，在中，点D是边上一点，，作，使，且，连接．
（1）求证：；
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的角度问题：
（1）证明，得到，即可得证；
（2）根据三角形的内角和定理和全等三角形的性质，即可得出结果．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
B卷（共50分）
四、选择题：（本大题共2个小题，每小题4分，共8分）．
20. 如图，在中，，高，高交于点H．若，，则的长度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定、全等三角形对应边相等的性质．解决本题的根据是证明．先由已知得到，根据三角形面积求出，证明，即可求得继而可得答案．
【详解】解：，，
∴为等腰直角三角形，
，
∵，
∴，
，，，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故选：B．
21. （多选）已知，，则下列说法，正确的有（ ）
A. 若不含二次项，则
B. 若不含二次项，则
C. 若的值与x的取值无关，则
D. 若，则恒成立
【答案】AD
【解析】
【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，多项式乘以多项式不含某一项问题，完全平方公式，根据整式的加减运算法则，多项式乘以多项式的法则，完全平方公式，逐一进行计算后，判断即可．
【详解】解：，
∵不含二次项，
∴，
∴，故选项A正确，符合题意；
，
∵不含二次项，
∴，
∴，故选项B错误，不符合题意；
，
∵式子的值能与的值无关，
∴，
∴a=2，故选项C错误，不符合题意；
当时，，
∴
，故选项D正确，符合题意；
故选：AD
五、填空题：（本大题共3个小题，每小题4分，共12分）
22. 如图，分别以长方形的为边向外作正方形和正方形，延长交于点I，若正方形和正方形的面积和为27，长方形的面积为，则正方形的周长为______．
【答案】28
【解析】
【分析】本题主要考查完全平方公式与几何图形的综合，设，，则，，进而得到，结合正方形的周长公式可得结论
【详解】解：设，，则，，
正方形和正方形的面积和为，
∴，即，
∴，
则正方形的周长为，
故答案为：28．
23. 如图，已知，点P是射线上的一个动点，点M是射线上的一个定点，为点P到边的距离，则当最小时，______．
【答案】2
【解析】
【分析】作点关于的对称点，连接，得到，进而得到当，，三点共线时，最小，推出为等边三角形，为等腰三角形，利用含30度角的直角三角形的性质，进行求解即可．
【详解】解：作点关于的对称点，连接，则：，
∴，，
∴为等边三角形，当，，三点共线时，最小，
∴，
∵为点P到边的距离，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴；
故答案为：2．
【点睛】本题考查利用轴对称解决线段最小问题，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，确定点的位置，是解题的关键．
24. 如图，中，于点D，过点A作，且，AB上有一点F，连接，若，，，则______．
【答案】5
【解析】
【分析】在上截取，连接，过点作，先证明，得到，，再证明，得到，进而得到，推出，设，则，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，即可得出结果．
【详解】解：在上截取，连接，过点作，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中
，
∴，
∴，，
在和中
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：5．
【点睛】本题考查中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，正确的添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键．
六、解答题：（本大题共3个小题，每题10分，共30分）
25. 已知图形的相邻两边垂直，，，，．当动点M以的速度沿图1的边框按的路径运动时，的面积S随时间t的变化如图2所示．回答下列问题：

（1）直接写出______；______；______；
（2）当点M在边上运动时，求S与t的关系式；
（3）点M的运动过程中，当时间t为何值时，面积为？请直接写出t的值．
【答案】（1）5；24；9
（2）
（3）或
【解析】
【分析】本题主要考查了动点问题函数图像，根据函数图像获得信息，解题的关键是树形结合，熟练掌握三角形的面积公式．
（1）根据图形的边长，求出即可；根据函数图像结合点M在图形上的运动轨迹，以及三角形的面积公式求出a、b的值即可；
（2）先求出点M在上运动时，点M到的距离，然后根据三角形面积公式求出S与t的函数关系式即可；
（3）分情况讨论：当点M在上运动时，当点M在CD上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，当点M在上运动时，分别求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵图形的相邻两边垂直，，，，，
∴，，
当点M从点B运动到点C时，的面积逐渐增大，到达点C时，面积最大，当点M从点C向点D运动时，的面积不变，当点M从点D向点E运动时，的面积逐渐减小，当点M从点E向点F运动时，的面积不变，当点M从点F向点A运动时，的面积逐渐减小，
∴，；
【小问2详解】
解：当点M在上运动时，点M到的距离为：
，
∴此时的面积为：
．
【小问3详解】
解：当点M在上运动时，，
解得：；
当点M在CD上运动时，的面积为，不可能是；
当点M在上运动时，，
解得：，
∵，
∴符合题意；
当点M在上运动时，的面积为，不可能是；
当点M在上运动时，的面积小于，不可能是；
综上分析可知：当或时，面积为．
26. 如图，在中，，于D，点E为上一点，且，，垂足为F，连接．
（1）求证：；
（2）点G为上一点，连接，若，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三线合一：
（1）证明，即可得证；
（2）取的中点，连接，证明，进而得到，，推出，，进而得到，得到两点重合，得到，即可得证．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：取的中点，连接，则：，
∵，，
∴，平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
又∵，
∴，
∴，，
∴，即：，
∴，
∵，且都在上，
∴点重合，
∴，
∴．
27. 在中，，，点D为射线上的点，连接，且，将沿翻折至所在平面内得到，连接．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，当时，以为直角边作等腰，，点M为的中点，射线交射线于点N，连接，求证：；
（3）如图3，若，当时，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）3
【解析】
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出，根据折叠得出，，从而得出，，根据三角形内角和定理和对顶角性质得出，证明为等边三角形，即可得出结果；
（2）延长，取，连接，证明为等边三角形，得出，，证明，得出，证明，得出；
（3）延长，取，延长交的延长线于点N，根据折叠得出，，，，证明为等边三角形，得出，，证明为等边三角形，得出，证明，得出，求出，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
根据折叠可知：，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴；
【小问2详解】
证明：延长，取，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
根据折叠可知：，，，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵为等腰直角三角形，，
又∵为的中点，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵为的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：延长，取，延长交延长线于点N，如图所示：
根据折叠可知：，，，，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
又∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，中位线性质，四边形内角和，折叠的性质，解题的关键是做出辅助线，构造全等三角形，熟练掌握相关的判定和性质．