+云南省昆明市官渡区长丰中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

这是一份+云南省昆明市官渡区长丰中学2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（2分）下列各式，化简后能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2分）使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A到原点的距离为（ ）
A．3B．C．D．1
5．（2分）若等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则底边上的高为（ ）
A．6B．7C．9D．12
6．（2分）如图，平行四边形ABCD周长是28cm，△ABC的周长是22cm（ ）
A．14cmB．12cmC．10cmD．8cm
7．（2分）关于的叙述正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示的点
B．＝
C．与最接近的整数是2
D．＝
8．（2分）若＝1﹣2a，则a的取值范围为（ ）
A．a＜B．aC．aD．a
9．（2分）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠DB．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC
10．（2分）平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）
A．4cm和6cmB．20cm和30cm
C．6cm和8cmD．8cm和12cm
11．（2分）△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2B．a2：b2：c2＝1：2：3
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝∠B﹣∠C
12．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝16，则△ABO的周长是（ ）
A．10B．14C．20D．22
13．（2分）如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，则这个点E表示的实数是（ ）
A．+1B．C．﹣1D．1﹣
14．（2分）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上（ ）
A．B．C．D．
15．（2分）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，分别交边OA，OB于点D，E，E为圆心，大于，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，则点G的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）
二、填空题（每小题2分，共8分）
16．（2分）已知，求＝ ．
17．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠D＝ ．
18．（2分）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，b，那么a+b的值是 ．
19．（2分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为14，腰AC的长为25，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，则△CDM周长的最小值为 ．
三、解答题（本题共8个小题，满分62分）
20．（7分）计算：
（1）；
（2）．
21．（6分）已知：△ABC．
求作：平行四边形ABCD．
小聪同学的做法如下：
①以点C为圆心，AB长为半径作弧；
②以点A为圆心，BC长为半径作弧；
③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD．
四边形ABCD即为所求平行四边形．
（1）请你根据小聪的做法，使用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
（2）作图依据是：
22．（7分）已知y＝﹣x+6，当x分别取1，2，3，…，求所对应y值的总和．
23．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，CD＝1，，BD＝2．
（1）求证：△BCD是直角三角形．
（2）求△ABC的面积．
24．（8分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向160km的B处，以每小时40km的速度向南偏东60°的BF方向移动
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到台风的影响，求A城受台风影响的时间有多长？
25．（8分）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OC＝4
26．（8分）小明在解方程＝2时采用了下面的方法：
（﹣）（）＝﹣（）2
＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16
∵﹣＝2，
∴＝8．
将这两式相加可得解得x＝﹣1．
经检验x＝﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下列方程：
（1）；
（2）．
27．（12分）如图，在△ABC中，AB＝BC，D是线段AC上一点（AD＞CD），连接BD，交BD于点E，交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠CAE＝α，求∠CBD的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点P在线段AF上，AP＝BD，连接DP，用等式表示线段AB，BP，并证明你的结论．
2023-2024学年云南省昆明市官渡区长丰中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题2分，共30分）
1．（2分）下列各式，化简后能与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据同类二次根式的定义即可求出答案．
【解答】解：与是同类二次根式即可合并，
由于＝2，2与，
∴2与可以合并，
故选：C．
【点评】本题考查同类二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式，本题属于基础题型．
2．（2分）使二次根式在实数范围内有意义的x的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．
【解答】解：根据题意得，x﹣2≥0，
解得x≥7，
在数轴上表示如下：
．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次根式的被开方数是非负数，属于基础题．
3．（2分）下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式性质对A选项进行判断；
根据二次根式的减法对B选项进行判断；
根据二次根式的乘法对C选项进行判断；
根据二次根式的除法对D选项进行判断．
【解答】解：A．因为，不符合题意；
B．因为，不符合题意；
C．因为•＝，不符合题意；
D．因为，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质以及二次根式的加减乘除运算法则，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
4．（2分）已知点A的坐标为（2，﹣1），则点A到原点的距离为（ ）
A．3B．C．D．1
【分析】易得点A的横纵坐标的绝对值与到原点的距离构成直角三角形，利用勾股定理求解即可．
【解答】解：点A的坐标为（2，﹣1）到原点O的距离：OA＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是熟知“平面内一点到原点的距离等于其横纵坐标的平方和的算术平方根”这一知识点．
5．（2分）若等腰三角形的腰长为13，底边长为10，则底边上的高为（ ）
A．6B．7C．9D．12
【分析】在等腰三角形的腰和底边高线所构成的直角三角形中，根据勾股定理即可求得底边上高线的长度．
【解答】解：如图：
AB＝AC＝13，BC＝10．
△ABC中，AB＝AC；
∴BD＝DC＝BC＝6；
Rt△ABD中，AB＝13；
由勾股定理，得：AD＝＝．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理；熟练掌握等腰三角形的性质，由勾股定理求出AD是解决问题的关键．
6．（2分）如图，平行四边形ABCD周长是28cm，△ABC的周长是22cm（ ）
A．14cmB．12cmC．10cmD．8cm
【分析】平行四边形的周长为相邻两边之和的2倍，即2（AB+BC）＝28cm，则AB+BC＝14cm，而△ABC的周长＝AB+BC+AC＝22cm，所以AC＝22﹣14＝8cm．
【解答】解：∵▱ABCD的周长是28cm，
∴AB+BC＝14cm，
∵△ABC的周长是22cm，
∴AC＝22﹣（AB+BC）＝8cm，
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，在应用平行四边形的性质解题时，要根据具体问题，有选择地使用，避免混淆性质，以致错用性质．
7．（2分）关于的叙述正确的是（ ）
A．在数轴上不存在表示的点
B．＝
C．与最接近的整数是2
D．＝
【分析】根据数轴上的点与实数是一一对应的关系，实数的加法法则，二次根式的化简的计算法则计算即可求解．
【解答】解：A、数轴上的点既可以表示有理数，所以在数轴上存在表示，故选项错误；
B、＝7；
C、与最接近的整数是3；
D、＝2．
故选：D．
【点评】考查了实数与数轴，实数的加法，二次根式的化简，关键是熟练掌握计算法则计算即可求解．
8．（2分）若＝1﹣2a，则a的取值范围为（ ）
A．a＜B．aC．aD．a
【分析】根据二次根式的性质得＝|2a﹣1|，则|2a﹣1|＝1﹣2a，根据绝对值的意义得到2a﹣1≤0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵＝|2a﹣1|，
∴|5a﹣1|＝1﹣7a，
∴2a﹣1≤3，
∴a≤．
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式的性质：＝|a|．也考查了绝对值的意义．
9．（2分）下列条件中，不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠C，∠B＝∠DB．AB∥CD，AB＝CD
C．AB＝CD，AD∥BCD．AB∥CD，AD∥BC
【分析】根据平行四边形的判定（①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形）判断即可．
【解答】
解：A、∵∠A＝∠C，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确；
B、∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确；
C、根据AB＝CD，不一定推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，正确；
故选：C．
【点评】本题考查了平行四边形的判定的应用，注意：平行四边形的判定定理有：①有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，④对角线互相平分的四边形是平行四边形，⑤有两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
10．（2分）平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）
A．4cm和6cmB．20cm和30cm
C．6cm和8cmD．8cm和12cm
【分析】根据平行四边形的性质知，平行四边形的对角线互相平分，则对角线的一半和已知的边组成三角形，再利用三角形的三边关系可逐个判断．
【解答】解：因为平行四边形的对角线互相平分，一边与两条对角线的一半构成三角形
A、根据三角形的三边关系可知：2+3＜10；
B、10+10＞15；
C、6+4＜10；
D、4+4＝10．
故选：B．
【点评】主要考查了平行四边形的性质．要掌握平行四边形的构造，四边形的两邻边和对角线构成三角形，判断对角线的范围可利用此三角形的三边关系来判断．
11．（2分）△ABC在下列条件下不是直角三角形的是（ ）
A．b2＝a2﹣c2B．a2：b2：c2＝1：2：3
C．∠A：∠B：∠C＝3：4：5D．∠A＝∠B﹣∠C
【分析】根据勾股定理的逆定理即可判断选项A，选项B；根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D．
【解答】解：A．∵b2＝a2﹣c5，
∴b2+c2＝a5，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B．∵a2：b2：c4＝1：2：3，
∴a2+b2＝c2，
即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝3：4：7，
∴最大角∠C＝×180°＝75°＜90°，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
D．∵∠A＝∠B﹣∠C，
∴∠A+∠C＝∠B，
又∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，
∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
12．（2分）如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD＝16，则△ABO的周长是（ ）
A．10B．14C．20D．22
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO＝CO，BO＝DO，DC＝AB＝6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，
∵AC+BD＝16，
∴AO+BO＝8，
∴△ABO的周长是：14．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AO+BO的值是解题关键．
13．（2分）如图，矩形ABCD的边AD长为2，AB长为1，以A点为圆心，对角线AC长为半径画弧，则这个点E表示的实数是（ ）
A．+1B．C．﹣1D．1﹣
【分析】首先根据勾股定理计算出AC的长，进而得到AE的长，再根据A点表示﹣1，可得E点表示的数．
【解答】解：∵AD长为2，AB长为1，
∴AC＝＝，
∵A点表示﹣1，
∴E点表示的数为：﹣1，
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
14．（2分）如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解答】解：∵＝3，
∵BC＝，
∴BC边上的高＝，
故选：C．
【点评】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2解答．
15．（2分）如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，分别交边OA，OB于点D，E，E为圆心，大于，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，则点G的坐标为（ ）
A．（﹣1，2）B．（，2）C．（3﹣，2）D．（﹣2，2）
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO＝，依据∠AGO＝∠AOG，即可得到AG＝AO＝，进而得出HG＝﹣1，可得G（﹣1，2）．
【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），6），
∴AH＝1，HO＝2，
∴Rt△AOH中，AO＝＝，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG＝∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO＝∠EOG，
∴∠AGO＝∠AOG，
∴AG＝AO＝，
∴HG＝﹣1，
∴G（﹣8，
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线的作法，勾股定理以及平行四边形的性质的运用，解题时注意：求图形中一些点的坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．
二、填空题（每小题2分，共8分）
16．（2分）已知，求＝ ．
【分析】根据二次根式有意义求出x，y的值即可．
【解答】解：∵，
∴x﹣3≥0，4﹣x≥0，
解得：x＝3，
∴y＝6，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解题的关键．
17．（2分）在平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝240°，则∠D＝ 60° ．
【分析】根据平行四边形的性质计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠D+∠C＝180°，
∵∠A+∠C＝240°，
∴∠A＝∠C＝120°，
∴∠D＝180°﹣∠C＝60°，
故答案为：60°．
【点评】本题考查平行四边形的性质，熟记平行四边形对角线相等和邻补角互补是解题的关键．
18．（2分）如图，我国古代数学家赵爽的“勾股图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，b，那么a+b的值是 5 ．
【分析】由题意可得，a2+b2＝13，（a﹣b）2＝1，进而可得2ab＝12，再根据（a+b）2＝a2+2ab+b2即可求解．
【解答】解：由题意可得，a2+b2＝13，（a﹣b）4＝1，
由（a﹣b）2＝3可得，a2﹣2ab+b8＝1，
∴13﹣2ab＝8，
∴2ab＝12，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，
∴a+b＝6，
故答案为：5．
【点评】本题考查了勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和2ab的值是解题的关键．
19．（2分）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为14，腰AC的长为25，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，则△CDM周长的最小值为 31 ．
【分析】连接AM，由线段垂直平分线的性质可得AM＝CM，进而得到△CDM周长＝AM+MD+CD，又由等腰三角形的性质可得当点A、M、D三点共线时，AD⊥BC，利用勾股定理求出AD，即可求解．
【解答】解：连接AM，
∵EF为AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，
∴△CDM周长＝CM+MD+CD＝AM+MD+CD，
∵AB＝AC，点D为BC边的中点，
当点A、M、D三点共线时，
此时AM+MD＝AD最短，即△CDM的周长最小，
∵AD⊥BC，点D为BC边的中点，
∴∠ADC＝90°，，
∴，
∴△CDM的周长最小值＝AD+CD＝24+7＝31，
故答案为：31．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，等腰三角形的性质，垂线段最短，勾股定理，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
三、解答题（本题共8个小题，满分62分）
20．（7分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）先利用二次根式的除法和乘法法则运算，然后化简后合并即可．
【解答】解：（1）原式＝4+5+5
＝6；
（2）原式＝2+3+2﹣
＝2+3+2﹣
＝7+2．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．
21．（6分）已知：△ABC．
求作：平行四边形ABCD．
小聪同学的做法如下：
①以点C为圆心，AB长为半径作弧；
②以点A为圆心，BC长为半径作弧；
③两弧在BC上方交于点D，连接AD，CD．
四边形ABCD即为所求平行四边形．
（1）请你根据小聪的做法，使用直尺和圆规完成作图（保留作图痕迹）；
（2）作图依据是： 两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【分析】（1）根据作图过程即可补全图形；
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形即可求解．
【解答】解：（1）如图即为补全的图形；
（2）作图依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、平行四边形的判定，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定方法．
22．（7分）已知y＝﹣x+6，当x分别取1，2，3，…，求所对应y值的总和．
【分析】根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．
【解答】解：y＝﹣x+2
＝|x﹣5|﹣x+6，
当x≤6时，
y＝﹣（x﹣5）﹣x+6
＝﹣3x+11，
当x＞5时，
y＝x﹣5﹣x+3
＝1．
∴当x分别取1，6，3，…，2022时，
对应y值的总和为：（﹣2+11）+（﹣3+11）+（﹣6+11）+（﹣8+11）+（﹣10+11）+5+1……+1
＝2+7+5+6+1+1×2017
＝2042．
【点评】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确找出规律计算，本题属于中等题型．
23．（6分）如图，△ABC中，AB＝AC，CD＝1，，BD＝2．
（1）求证：△BCD是直角三角形．
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据勾股定理的逆定理直接得出结论；
（2）设腰长为x，在直角三角形ADB中，利用勾股定理列出x的方程，求出x的值，进而利用三角形的面积公式求出答案．
【解答】解：（1）∵CD＝1，，BD＝5，
∴CD2+BD2＝BC5，
∴△BDC是直角三角形；
（2）设腰长AB＝AC＝x，
在Rt△ADB中，
∵AB2＝AD2+BD2，
∴x2＝（x﹣1）3+22，
解得x＝，
即△ABC的面积＝AC•BD＝×．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用勾股定理求出腰长，此题难度不大．
24．（8分）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向160km的B处，以每小时40km的速度向南偏东60°的BF方向移动
（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到台风的影响，求A城受台风影响的时间有多长？
【分析】（1）点到直线的线段中垂线段最短，故应由A点向BF作垂线，垂足为C，若AC＞100则A城不受影响，否则受影响；
（2）点A到直线BF的长为100千米的点有两点，分别设为D、G，则△ADG是等腰三角形，由于AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在DG长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．
【解答】解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，
在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，则AC＝80km，
因为80＜100，所以A城要受台风影响；
（2）设BF上点D，DA＝100千米，有AG＝100千米．
因为DA＝AG，所以△ADG是等腰三角形，
因为AC⊥BF，所以AC是DG的垂直平分线，
在Rt△ADC中，DA＝100千米，
由勾股定理得，CD＝，
则DG＝7DC＝120千米，
遭受台风影响的时间是：t＝120÷40＝3（小时）．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，以及等腰三角形的性质，关键是正确构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．
25．（8分）如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，得到四边形DEFG．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；
（2）如果∠OBC＝45°，∠OCB＝30°，OC＝4
【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DG∥BC，DG＝BC，EF∥BC，EF＝BC，从而得到DG∥EF，DG＝EF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；
（2）过点O作OM⊥BC于M，由含30°的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质求得结果．
【解答】证明：∵AB、OB、AC的中点分别为D、E、F、G，
∴DG∥BC，DG＝，EF∥BCBC，
∴DG∥EF，DG＝EF，
∴四边形DEFG是平行四边形；
（2）解：过点O作OM⊥BC于M，
Rt△OCM中，∠OCM＝30°
∴OM＝OC＝2，
∴CM＝2，
Rt△OBM中，∠OBM＝∠BOM＝45°，
∴BM＝OM＝2，
∴BC＝2+8，
∴EF＝1+．
【点评】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，平行四边形的判定，含30°角，等腰直角三角形的性质，直角三角形的性质，熟记定理是解题的关键．
26．（8分）小明在解方程＝2时采用了下面的方法：
（﹣）（）＝﹣（）2
＝（24﹣x）﹣（8﹣x）＝16
∵﹣＝2，
∴＝8．
将这两式相加可得解得x＝﹣1．
经检验x＝﹣1是原方程的解．
请你学习小明的方法，解下列方程：
（1）；
（2）．
【分析】（1）由所给方法，可得＝，再解方程即可；
（2）由所给方法，可得＝3x+1，再解方程即可．
【解答】解：（1）（+）（﹣，
∵，
∴﹣＝1，
将这两式相加可得＝，
∴x+6＝，
解得x＝，
经检验，x＝；
（2）（+）（﹣5+8x﹣3）﹣（7x2﹣4x﹣7）＝12x，
∵，
∴+＝6x，
将这两式相加可得＝3x+5，
解得x＝2，
经检验，x＝2是原方程的解．
【点评】本题考查无理方程的解，熟练掌握无理方程的解法，准确计算是解题的关键．
27．（12分）如图，在△ABC中，AB＝BC，D是线段AC上一点（AD＞CD），连接BD，交BD于点E，交BC于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠CAE＝α，求∠CBD的大小（用含α的式子表示）；
（3）若点P在线段AF上，AP＝BD，连接DP，用等式表示线段AB，BP，并证明你的结论．
【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可；
（3）根据全等三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示：
（2）∵AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠BCA＝45°，
∵∠CAE＝α，
∴∠BAF＝45°﹣α，
∵AF⊥BD交BD于点E，
∴∠BEF＝90°，
∴∠AFB+∠CBD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠AFB+∠BAF＝90°，
∵∠CBD＝∠BAF，
∴∠CBD＝45°﹣α；
（3）AB＝DP+BP
如图，延长BP交AC于点G，
∵AF⊥BD，
∴∠AEB＝90°，
∴∠BAF+∠ABD＝90°，
∵∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠BAF＝∠CBD，
在△ABP和△BCD中，
，
∴△ABP≌△BCD（SAS），
∴∠ABP＝∠BCD＝45°，BP＝CD，
∴∠ABG+∠BAG＝45°+45°＝90°，
∴∠AGB＝180°﹣90°＝90°，
∴BG⊥AC，
∴BG＝AB，
∵∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴CG＝AG＝BG＝AB，
∴PG＝BG﹣BP＝AB﹣BPAB﹣BP，
∴PG＝DG，
∴∠GPD＝∠GDP＝45°，
∴DP＝PG＝（BP，
∴AB＝DP+BP．
【点评】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答．
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