2024年湖北省恩施州名校联考中考全真模拟数学试题

这是一份2024年湖北省恩施州名校联考中考全真模拟数学试题，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．绝对值不大于10.3的整数有（ ）
A．10个B．11个C．20个D．21个
2．随着我国经济的持续发展，我国家庭购车普及率已很高，下面的汽车商标你认识吗？这些车标图示中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列立体图形中，主视图是三角形的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．三角形的面积是，底边上的高与底边之间的函数关系大致为（ ）
A． B． C． D．
6．若（a+b）2＝9，（a﹣b）2＝5，则ab的值为（ ）
A．4B．﹣4C．1D．﹣1
7．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A，B在，同一水平面上），为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升600米到达C处，在C处观察B地的俯角为，则A，B两地之间的距离为（ ）
A．300米B．米C．米D．米
8．如图，的周长为，垂直平分，交于点E，交于点D，连接，，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，连接，在弦所对的优弧上取一点P（点P不与A，B重合），连接，，等于（ ）

A．B．30°C．D．无法确定
10．如图是二次函数图象的一部分，对称轴是直线，有下列结论：①；②；③直线不经过第四象限；④；⑤若点与是抛物线上的两点，则，其中，正确的结论有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
二、填空题
11．计算的结果是 ．
12．今年全国粮食总产量亿斤，比上年增加亿斤，亿用科学记数法可以表示 ．
13．事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是
14．将几个全等的平行四边形和全等的菱形镶嵌成如图所示的图案，设菱形中较小的角为α度，平行四边形中较大的角为β度，那么β可以用含α的代数式表示为 ．
15．如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”，例如，，，3，7，16就是三个智慧数，在正整数中，从1开始，第2024个智慧数是 ．
三、解答题
16．计算：．
17．如图，D是的边上一点，交于点E，，，与相等吗？请说明理由．
18．《算法统宗》是中国古代数学名著之一，其中记载了这样的数学问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，把绳子折成三折来量，井外余绳4尺；把绳子折成四折来量，井外余绳1尺，问绳长、井深各是多少尺？”请问此问题中的绳长、井深各是多少尺？
19．为了丰富学生社会实践活动，学校组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30＋30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是30km/h．（结果保留根号）
（1）求出∠BAC的度数和BC的长；
（2）请问，哪组同学先到达目的地？请说明理由．
20．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AC于点E．
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若∠CAB=120°，⊙O的半径等于5，求线段BC的长．
21．某教育部门为了解本地区中小学生参加家庭劳动时间的情况，随机抽取该地区1200名中小学生进行问卷调查，并将调查问卷（部分）和结果描述如下：
中小学生每周参加家庭劳动时间x（h）分为5组：第一组（），第二组（），第三组（），第四组（），第五组（）．根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在哪一组？
(2)在本次被调查的中小学生中，选择“不喜欢”的人数为多少？
(3)该教育部门倡议本地区中小学生每周参加家庭劳动时间不少于2h，请结合上述统计图，对该地区中小学生每周参加家庭劳动时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
22．某商家经销一种绿茶，用于装修门而已投资3000元，已知绿茶每千克成本50元，在第一个月的试销时间内发现，销量w（）随销售单价x（元/）的变化而变化，满足函数关系式，若该绿茶的月销售利润为y（元）（销售利润=单价×销售量-成本-投资）
（1）求y与x之间的函数关系式（不必写出变量x的取值范围）．并求出x为何值时，y的值最大？
（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
23．已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点M是BE的中点，连接CM、DM．

（1）当点D在AB上，点E在AC上时（如图一），求证：DM=CM，DM⊥CM；
（2）当点D在CA延长线上时（如图二）（1）中结论仍然成立，请补全图形（不用证明）；
（3）当ED∥AB时（如图三），上述结论仍然成立，请加以证明．
24．如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），点B（3，﹣），O为坐标原点．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；
（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．
调查问卷（部分）
1．你每周参加家庭劳动时间大约是_________h，如果你每周参加家庭劳动时间不足2h，请回答第2个问题；
2．影响你每周参加家庭劳动的主要原因是_________（单选）．
A．没时间 B．家长不舍得 C．不喜欢 D．其它
参考答案：
1．D
【详解】绝对值不大于5的整数有±10, ±9, ±8, ±7, ±6,±5，±4，±3，±2；±1；0共21个．
故选D．
2．C
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．
3．A
【分析】主视图即为从正面看到的图形，由此判断即可．
【详解】解：A的主视图为三角形，B、C的主视图均为矩形，D的主视图为圆形，
故选：A．
【点睛】本题考查三视图的识别，理解主视图即为从正面看到的图形是解题关键．
4．D
【分析】运用幂的乘方、同底数幂除法、同底数幂相乘和合并同类项进行计算、辨别．
【详解】解：A．，故错误，选项不符合题意；
B．，故错误，选项不符合题意；
C．，故错误，选项不符合题意；
D．，故正确，选项符合题意，
故选：D．
【点睛】此题考查了幂的乘方、同底数幂除法、同底数幂相乘和合并同类项的运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
5．D
【分析】根据题意有：xy=4，故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x、y实际意义x、y应大于0，其图象在第一象限；即可得出答案．
【详解】∵S=xy=4，∴y=（x＞0，y＞0），∴该函数图象是反比例函数，且位于第一象限．
故选D．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用及反比例函数的图象，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
6．C
【分析】已知两式利用完全平方公式展开后，相减即可确定出ab的值．
【详解】∵（a+b）2=a2+b2+2ab=9①，（a-b）2=a2+b2-2ab=5②，
∴①-②得：4ab=4，
则ab=1．
故选C
【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，熟练掌握公式是解本题的关键．
7．C
【分析】利用∠ABC的正切值计算即可得到答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，，∠ABC=，
∴（米），
故选：C．
【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，正确掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
8．A
【分析】根据垂直平分，可得，，即可得， ，根据的周长为，可得，的周长为，问题得解．
【详解】∵垂直平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵的周长为，
∴，
∴，
∵，
∴的周长为，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
9．C
【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；由题意及圆周角定理可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴；
故选C．
10．C
【分析】根据图象与x轴有2个交点可判断①；根据当时，y的值可判断②；根据a，b的符号可判断③；由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系即可判断④；根据二次函数的增减性判断⑤．
【详解】解：图象与x轴有2个交点，依据根的判别式可知，，故①正确；
∵当时，不能确定y的符号，
∴的符号不能确定，故②不正确；
由，又，∴，直线经过第四象限，故③不正确；
图象与y轴交于负半轴，∴，∴，∴，故④正确；
由对称轴为直线，当时和时，函数值相等，根据函数性质，的函数值大于的函数值，∴，故⑤正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，数形结合是解题的关键．
11．
【分析】先根据积的乘方计算出，然后根据单项式除以单项式法则计算即可．
【详解】解：原式
．
故答案为．
【点睛】此题考查的是整式的乘除法运算，掌握积的乘方和单项式除以单项式法则是解决此题的关键．
12．
【分析】根据科学记数法表示即可．
【详解】解：∵亿，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了科学记数法，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
13．25
【分析】大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，可得答案．
【详解】解：事件A发生的概率为，大量重复做这种试验，事件A平均每100次发生的次数是25，
故答案为：25．
【点睛】本题考查了概率的意义，大量反复试验下频率稳定值即概率．注意随机事件发生的概率在0和1之间．
14．
【分析】由将几个全等的平行四边形和全等的菱形镶嵌成如图所示的图案，可求得∠1与∠2的度数，再利用周角的定义，即可求得答案．
【详解】解：如图，∵是几个全等的平行四边形和全等的菱形镶嵌而成，
∴∠2=α°，∠1=180°-β°，
∵2∠2+4∠1=360°，
∴2α+4（180°-β）=360°，
∴．
【点睛】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质．注意利用方程思想求解是关键．
15．2701
【分析】本题考查了新定义智慧数以及平方差公式的运用，如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设两个数分别为，k，其中，且k为整数，即智慧数，因为k为正整数，因而和就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差．
【详解】解：设两个数分别为，k，其中，且k为整数．则．
设两个数分别为和，其中，且k为整数．则，时，，
∴除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数．
∴（且k为整数）均为智慧数；
除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有能被4整除的偶数都是智慧数；这样还剩被4除余2的数，特殊值2，6，10都不是智慧数，也就是被4除余2的正整数都不是智慧数，推广到一般式，证明如下：
∵假设是智慧数，那么必有两个正整数m和n，使得，
∴，
∵和这两个数的奇偶性相同，
∴等式①的右边要么是4的倍数，要么是奇数，而左边一定是偶数，但一定不是4的倍数．可左、右两边不相等．所以不是智慧数，即被4除余2的正整数都不是智慧数．
∴把从1开始的正整数依次每4个分成一组，除第一组有1个智慧数外，其余各组都有3个智慧数，而且每组中第二个不是智慧数，
又∵，
∴第2024个智慧数在（组），并且是第1个数，即．
故答案为：2701．
16．
【分析】本题主要考查了实数的混合计算，零指数幂，先计算算术平方根，立方根和零指数幂，再去绝对值，最后计算加减法即可．
【详解】解：
．
17．与相等，理由见解析
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，先根据平行线的性质得到，再利用证明即可证明．
【详解】解：与相等，理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
18．井深为8尺，绳长36尺
【分析】分析题意，不变的量是井深，根据等量关系：将绳三折测之，绳多4尺；绳四折测之，绳多1尺，设绳长为尺，井深为尺，列出方程组求解．
【详解】解：设绳长为尺，井深为尺，依题意得：
，解得
答：井深为8尺，绳长36尺．
【点睛】考查了二元一次方程组的应用，此题不变的是井深，用代数式表示井深是此题的关键．
19．（1）∠BAC＝30°， BC＝30km ；（2）第二组先到，见解析
【分析】（1）过点B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中证得BD=CD，设BD=x，则CD=x，在Rt△ABD中，∠BAC=30°，利用三角函数定义表示出的长，在Rt△BDC中，利用三角函数表示出CD的长，由AD+CD=AC列出方程问题得解．
（2）由（1）算出AB的长度，再分别算出第一组、第二组到达目的地的时间，比较大小即可．
【详解】解：作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE=45°，∠ABC=105°，∠CAE=15°，
∴∠BAC=∠BAE -∠CAE =45°-15°=30°，
∴∠ACB=45°．
在Rt△BCD中，∠BDC=90°，∠ACB=45°，
∴∠CBD=45°，
∴∠CBD=∠DCB，
∴BD=CD，
设BD=x，则CD=x，
在Rt△ABD中，∠BAC=30°，
∴AB=2BD=2x，tan30°=，
∴，
∴AD=x，
在Rt△BDC中，∠BDC=90°，∠DCB=45°，
∴sin∠DCB=，
∴BC=x，
∵CD+AD=30+30，
∴x+x=30+30，
∴x=30，
∴AB=2x=60，
∴BC=x=30，
（2）由（1）知，x=30，AB=2x=60，
第一组用时：60÷40=1.5（h）；第二组用时：30÷30=（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题．
20．(1)见解析；
(2)
【分析】（1）先连接OD、AD，由于AB是直径以及AB=AC，易证BD=CD，而OA=OB，从而可知OD是△ABC的中位线，那么，再结合DE⊥AC，易证∠ODE=∠CED=90°，即DE是⊙O的切线；
（2）由⊙O半径是5，可知AB=10，而△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，利用等腰三角形三线合一定理可知∠CAD=∠BAD=60°，在Rt△ADB中，易求BD，进而可求BC．
【详解】（1）证明：如图所示，连接OD、AD．
∵AB是直径，
∴∠BDA=∠CDA=90°，
又∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE=∠CED=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O半径是5，
∴AB=10，
∵△ABC是等腰三角形，且AD⊥BC，
∴∠CAD=∠BAD=60°，
在Rt△ADB中，BD=sin60°•AB=5，
∴BC=10．
【点睛】本题主要考查了中位线的判定及性质、切线的判定、等腰三角形的性质、直径所对的圆周角是直角以及解直角三角形，熟练掌握切线的判定以及解直角三角形是解题的关键．
21．(1)第二组
(2)175人
(3)该地区大部分学生家庭劳动时间没有达到2个小时以上主要原因是学生没有时间；建议：①家长多指导孩子家庭劳动技能；②各学校严控课后作业总量
【分析】（1）根据中位数的定义求解即可；
（2）根据扇形统计图求出C所占的比例再计算即可；
（3）根据统计图反应的问题回答即可．
【详解】（1）1200人的中位数是按从小到大排列后第600和601位的平均数，而前两组总人数为308+295=603
∴本次调查中，中小学生每周参加家庭劳动时间的中位数落在第二组；
（2）由扇形统计图得选择“不喜欢”的人数所占比例为
而扇形统计图只统计不足两小时的人数，总人数为1200-200=1000
∴选择“不喜欢”的人数为（人）
（3）答案不唯一、言之有理即可．
例如：该地区大部分学生家庭劳动时间没有达到2个小时以上主要原因是学生没有时间；建议：①家长多指导孩子家庭劳动技能；②各学校严控课后作业总量；③学校开设劳动拓展课程：等等．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
22．（1）y=-2（x-85）2-550，当x=85时，y的值最大为-550元；（2）每千克75元
【分析】（1）根据题意可以得到y与x之间的函数关系式，然后将函数关系式化为顶点式，即可得到y的最大值；
（2）根据第一问可以得到第一个月获得的最大利润，然后根据题意，即可得到相应的方程，从而可以得到第二个月里应该将销售单价定为多少．
【详解】解：（1）由题意可得，
y与x的函数关系式为：y=（x-50）•w-3000=（x-50）•（-2x+240）-3000=-2x2+340x-15000；
∵y=-2x2+340x-15000=-2（x-85）2-550，
∴当x=85时，y的值最大为-550元．
（2）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为-550元，
∴第1个月还有550元的投资成本没有收回．
∴要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y=2250才可以，
∴（x-50）•（-2x+240）=2250，
解得，x1=75，x2=95．
根据题意，x2=95不合题意应舍去．
答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元．
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的函数解析式，会将函数解析式化为顶点式，求函数的最值，可以根据实际问题确定问题的答案．
23．（1）证明见解析；（2）见解析；（3）见解析．
【分析】（1）如图一中，延长使得，连接、，先证明，再证明即可解决问题．
（2）补充图形如图二所示，延长交的延长线于，只要证明，再证明是等腰直角三角形即可．
（3）如图三中，如图一中，延长使得，连接、，，先证明，再证明即可．
【详解】（1）证明：如图一中，延长DM使得MN=DM，连接BN、CN．

在△DME和△NMB中，，
∴△DME≌△NMB，
∴DE=BN，∠MDE=∠MNB，
∴DE∥NB，
∴∠ADE=∠ABN=90°，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，
∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，
∴∠CBN=45°=∠A，
在△ACD和△BCN中，，
∴△ACD≌△BCN，
∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，
∴∠DCN=∠ACB=90°，
∴△DCN是等腰直角三角形，
∵DM=MN，
∴DM=CM．DM⊥CM
（2）解：如图二所示

延长DM交CB的延长线于N， ∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，
∴AD=DE=BN，AC=BC，∠A=∠ABC=45°，
∵∠EDC+∠DCN=180°，
∴DE∥CN，
∴∠EDM=∠N
在△DME和△NMB中，，
∴△DME≌△NMB，
∴DE=BN=AD，DM=MN，
∴CD=CN，
∴∠CDN=∠N=45°，CM=DM=MN，CM⊥DN，
∴DM=CM．DM⊥CM．
（3）证明：如图三中，如图一中，延长DM交AB于N连接CN．

∵DE∥AB，
∴∠MBN=∠MED，
在△DME和△NMB中，，
∴△DME≌△NMB，
∴DE=BN=AD，DM=MN，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，
∴AD=DE=BN，AC=BC，∠BAC=∠ABC=45°，
∵∠AED+∠BAE=180°，
∴∠BAE=135°，
∵∠BAC=∠EAD=45°，
∴∠DAC=∠CBN=45°
在△ACD和△BCN中，，
∴△ACD≌△BCN，
∴DC=CN，∠ACD=∠BCN，
∴∠DCN=∠ACB=90°，
∴△DCN是等腰直角三角形，∵DM=MN，
∴DM=CM．DM⊥CM
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、 等腰直角三角形的性质等知识， 解题的关键是添加辅助线构造全等三角形， 记住中线延长一倍是常用辅助线， 属于中考常考题型．
24．（1）；（2）t＞4；（3）∠BOC=60°，C（，）
【详解】分析：（1）将已知点坐标代入y=ax2+bx，求出a、b的值即可；
（2）利用抛物线增减性可解问题；
（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，3），点B（3，﹣3）求出相关角度．
详解：（1）把点A（1，3），点B（3，﹣3）分别代入y=ax2+bx得
，解得
∴y=﹣
（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x=，
当x＞时，y随x的增大而减小，
∴当t＞4时，n＜m．
（3）如图，设抛物线交x轴于点F，分别过点A、B作AD⊥OC于点D，BE⊥OC于点E
∵AC≥AD，BC≥BE，
∴AD+BE≤AC+BE=AB，
∴当OC⊥AB时，点A，点B到直线OC的距离之和最大．
∵A（1，3），点B（3，﹣3），
∴∠AOF=60°，∠BOF=30°，
∴∠AOB=90°，
∴∠ABO=30°．
当OC⊥AB时，∠BOC=60°，点C坐标为（32，）．
点睛：本题考查综合考查用待定系数法求二次函数解析式，抛物线的增减性．解答问题时注意线段最值问题的转化方法．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
A
D
D
C
C
A
C
C