四川省南充高级中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷（Word版附解析）

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（考试时间：120分钟，满分：150分）
考试范围：必修第一册、必修第二册
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数的实部是（ ）
A. 2B. C. 2＋D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的定义，可得答案.
【详解】由题意，可得复数的实部是，
故选：A.
2. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据交集的定义，求出集合的交集即可.
【详解】∵，∴.
故选：B.
3. 已知，，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由，且，可得，正负不确定.取特值可得AD错误；根据不等式的基本性质可判定BC项.
【详解】因为，，
则，所以，.
AD选项，令，满足条件，，
但，则，故AD错误；
B选项，由，则，故B正确；
C选项，由，则，故C错误.
故选：B.
4. 已知函数，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，利用可构造方程求得结果.
【详解】，，解得：.
故选：C.
5. 定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据以及求出，再根据函数的单调性以及定义域即可求解.
【详解】解：
，
即，
，
，可转化为：，
即，
即，
满足，且，有，
在上单调递增，
即 ，
解得：，
即不等式的解集为：.
故选：C.
6. 已知不等式对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
由，然后利用基本不等式求最小值，利用最小值大于等于9，建立不等式，解之即可.
【详解】由已知可得若题中不等式恒成立，则只要的最小值大于等于9即可，
，
，
当且仅当即时等号成立，，
或舍去，即
所以正实数a的最小值为4.
故选：B.
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，这时改用勾型函数的单调性求最值.
7. 函数（，，）的部分图象如图所示，则的值为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图像，先求出，再求出，然后得到，进而求出，最后，直接求函数值即可.
【详解】由图得，，，
，得，
所以，，
则，
得，
由得，，
则，
所以，.
故选：A.
8. 已知，，点为动点，点为线段上的点且满足，当取最小值时，的外接圆的面积为（ ）.
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以为坐标原点，所在的直线为轴，过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，设，则，，由数量积计算分析即可得点坐标，从而得到点的坐标，然后求出，利用正弦定理求解外接圆半径求解面积即可.
【详解】
以为坐标原点，所在的直线为轴，
过点垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，∵，∴所在的直线为，设，
则，，所以，
当时，最小，此时点，
又∵，所以，∴点的坐标为，
∴，
设外接圆的半径为，由正弦定理得，
所以，所以，
故选：D
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（ ）
A. 的面积为B.
C. 平面平面D. 三棱锥的体积为
【答案】ABD
【解析】
【分析】直接求的面积可判定A，连接交于G，根据条件证平面即可判定B，判定的夹角是否为直角可判定C，利用棱锥的体积公式可判定D.
【详解】
对于A，易知，故A正确；
对于B，连接交于G，根据正方形的性质易知，
所以有，
又平面，所以平面，
平面，所以，故B正确；
对于C，由上可知为平面与平面的夹角，
易知，则不垂直，故C错误；
对于D，由题意可知两两垂直，
则，故D正确.
故选：ABD
10. 在中，下列结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 若，则是直角三角形
C. 若，则是钝角三角形
D. 若，则是等边三角形
【答案】CD
【解析】
【分析】由三角函数的性质结合诱导公式判断选项AB；正弦定理角化边余弦定理得角的范围判断选项C；正弦定理结合倍角公式化简判断选项D.
【详解】对于A，中，若，则有或，
当时，，为等腰三角形；
当时，，为直角三角形，
故A选项不正确，
对于B，中，若，则或，
即或，因此不一定是直角三角形，故B选项不正确；
对于C，中，若，则根据正弦定理得，
余弦定理得，则为钝角，是钝角三角形，故C选项正确；
对于D，中，若，则，即，
由，得，
所以，，是等边三角形，故D选项正确．
故选：CD．
11. 沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时.如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为，当细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的（细管长度忽略不计）.假设该沙漏每秒钟漏下的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆.下列说法正确的是（ ）
A. 沙漏中的细沙体积为
B. 沙漏的体积是
C. 细沙全部漏入下部后，此锥形沙堆的高度约为
D. 该沙漏的一个沙时大约是1985秒（）
【答案】ACD
【解析】
【分析】A．根据圆锥的体积公式直接计算出细沙的体积；B．根据圆锥的体积公式直接计算出沙漏的体积；C．根据等体积法计算出沙堆的高度；D．根据细沙体积以及沙时定义计算出沙时.
【详解】对于A，根据圆锥的截面图可知：细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，
所以细沙的底面半径，体积，A选项正确；
对于B，沙漏的体积，B选项错误；
对于C，设细沙流入下部后的高度为，根据细沙体积不变可知：，
所以，所以，C选项正确；
对于D，因为细沙的体积为，沙漏每秒钟漏下的沙，
所以一个沙时为：秒，D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知向量， 若， 则______.
【答案】
【解析】
【分析】由平面向量垂直的坐标表示代入即可得出答案.
【详解】解析：本题考查平面向量垂直以及数量积，考查数学运算的核心素养.
因为，所以，则.
故答案为：.
13. 某校按分层随机抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生进行调查，从三个年级中抽取的人数比为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人，则从高一年级中抽取____________人．

【答案】
【解析】
【分析】设总人数为，得到，求得，再结合分层抽样的计算方法，即可求解.
【详解】由题图中数据可知高二年级所占的角度为，设总人数为，
则，可知，故该校的总人数为，
由高一、高二、高三年级人数的比为，
可知高一年级人数为，
则抽样时应从高一年级抽(人).
故答案为：.
14. 已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为______.
【答案】或.
【解析】
【分析】由已知可得在上递增，再由偶函数的性质将不等式转化为，则可得，再对数的性质要求得结果
【详解】因为函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，
所以在上递增，
因为是定义在上的偶函数，
所以由，得，
所以，
所以或，
所以或，
解得或，
所以不等式的解集为或.
故答案为：或.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E.且交AC于点F，
（1）求值
（2）求的最小值.
【答案】（1）1 （2）
【解析】
【分析】（1）设，根据题意找到其他边长，对所求进行平方结合向量的数量积运算即可求出；（2）将化为关于的关系式即可求出最值.
【小问1详解】
设，，为边长为1的等边三角形，，
，
，为边长为的等边三角形，
，
.
【小问2详解】
，，
，
所以当时，的最小值为.
16. 某校高一年级有男生200人，女生100人.为了解该校全体高一学生的身高信息，按性别比例进行分层随机抽样，抽取总样本为30的样本，并观测样本的指标价（单位：cm），计算得男生样本的身高平均数为169，方差为39.下表是抽取的女生样本的数据；
记抽取的第i个女生的身高为（，2，3，…，10），样本平均数，方差.
参考数据：，，.
（1）若用女生样本的身高频率分布情况代替该校高一女生总体的身高频率分布情况，试估计该校高一女生身高在范围内的人数；
（2）用总样本的平均数和标准差分别估计该校高一学生总体身高的平均数和标准差，求，的值；
（3）如果女生样本数据在之外数据称为离群值，试剔除离群值后，计算剩余女生样本身高的平均数与方差.
【答案】（1）40； （2）；
（3）平均数为159，方差为.
【解析】
【分析】（1）根据样本数据在范围内的占比易求得女生总体在此范围内的人数；
（2）先利用加权平均数公式求出总样本的平均数，再利用混合样本的方差公式计算,最后对，进行估计即可；
（3）先判断169为离群值，再由平均数公式计算剩余9人的身高平均数，利用方差公式求出，再由公式计算出方差.
【小问1详解】
因女生样本中，身高在范围内的占比为，
故该校高一女生身高在范围内的人数估计为；
【小问2详解】
记总样本的平均数为，标准差为，
由题意，设男生样本（20人）的身高平均数为，方差为，
女生样本（10人）的身高平均数为，方差，
则，
，
故；
【小问3详解】
因，，则，即，
约为，由样本数据知，，为离群值，
剔除169后，女生样本（9人）的身高平均数为：；
由可得，，
则剔除169后，女生样本（9人）的身高的方差为：.
17. 如图，在梯形中，，．
（1）若，求周长的最大值；
（2）若，，求值．
【答案】（1）9 （2）．
【解析】
【分析】（1）由余弦定理结合基本不等式求出最值；
（2）设，在和中使用正弦定理，联立得到，由正弦和角公式得到，从而得到，求出的值.
【小问1详解】
在中，
，
即，解得：，当且仅当时取等号．
故周长的最大值是9．
【小问2详解】
设，则，．
在中，，
在中，，两式相除得，，
因为，
∴，故．
18. 已知定义在上的奇函数，当时，．
（1）求函数的解析式；
（2）若，使得不等式成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由奇函数的性质，，即可求出函数的解析式；
（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值即可得到实数的取值范围.
【小问1详解】
∵是定义在上的奇函数，且时，，
∴，解得，
∴时，，
当时，，则，
即在上的解析式为．
∴函数的解析式为
【小问2详解】
∵时，，
∴在有解，
整理得，
令，显然与上单调递减，
∴在上单调递减，则，
∴
∴实数的取值范围是．
19. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.
（1）求证：平面.
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
（3）在棱上是否存在点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在；
【解析】
【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而得，再结合线面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，再利用空间向量夹角公式、线面角的定义进行求解即可；
（3）要使平面，则，由此列式求解可得.
【小问1详解】
∵平面平面，且平面平面，
且，平面，
∴平面，
∵平面，∴，
又，且，平面，
∴平面；
【小问2详解】
取中点为，连接，
又∵，∴．则，
∵，∴，则，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，，
设为平面的一个法向量，
则由，得，令，则．
设与平面的夹角为，
则；
小问3详解】
假设在棱上存在点点，使得平面.
设，，
由（2）知，，，，则，，
，
由（2）知平面的一个法向量．
若平面，则，
解得，又平面，
故在棱上存在点点，使得平面，此时.
抽取次序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
155
158
156
157
160
161
159
162
169
163