四川省雅安市雅安中学2024-2025学年高二上学期入学检测数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题
1. 抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示“骰子向上的点数为奇数”，事件2表示“骰子向上的点数为偶数”，事件3表示“骰子向上的点数大于3”，事件4表示“骰子向上的点数小于3”则（ ）
A. 事件1与事件3互斥B. 事件1与事件2互为对立事件
C. 事件2与事件3互斥D. 事件3与事件4互为对立事件
2. 已知某运动员每次投篮命中的概率都为，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定表示命中，表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数： ，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（ ）
A. B. C. D.
3. 从装有若干个红球和白球（除颜色外其余均相同）的黑色布袋中，随机不放回地摸球两次，每次摸出一个球.若事件“两个球都是红球”的概率为，“两个球都是白球”的概率为，则“两个球颜色不同”的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
5. 甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为（ ）
A 0.9B. 0.8C. 0.7D. 0.6
6 已知空间向量，，若与垂直，则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 某同学进行投篮训练，在甲、乙、丙三个不同的位置投中的概率分别p，，，该同学站在这三个不同的位置各投篮一次，恰好投中两次的概率为，则p的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签甲､乙首先比赛，丙首轮轮空，设每场比赛双方获胜概率都为，则丙最终获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题
9. 不透明的袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中3个红球、2个黄球.记为事件“从中任取1个球是红球”，为事件“在有放回随机抽样中，第二次取出1个球是红球”，则（ ）
A B.
C. 事件与是互斥事件D. 事件与是相互独立事件
10. 已知事件A，B，且，则（ ）
A. 如果，那么
B. 如果，那么
C. 如果A与B相互独立，那么
D. 如果A与B相互独立，那么
11. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的数字，其中的各位数字中，，则（ ）
A. 的所有实验结果构成的样本空间中共有32个样本点
B. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则的概率大于的概率
C. 若的各位数字都是等可能地取值为0或1，则中各位数字之和是4的概率为
D. 若出现0的概率为，出现1的概率为，则启动一次出现的数字中恰有两个0的概率为
三、填空题
12. 已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则______．
13. 随着阿根廷队的夺冠，2022年卡塔尔足球世界杯落下帷幕.根据足球比赛规则，两支球队先进行90分钟常规赛.若比分相同，则进行30分钟加时赛；如果在加时赛比分依旧相同，则进入5球点球大赛.若甲、乙两队在常规赛与加时赛中得分均相同，则甲、乙两队轮流进行5轮点球射门，进球得1分，不进球不得分.假设甲队每次进球的概率均为0.8，乙队每次进球的概率均为0.5，且在前两轮点球中，乙队领先一球，已知每轮点球大赛结果相互独立，则最终甲队获胜的概率为______.
14. 冰雹猜想又称考拉兹猜想、角谷猜想、猜想等，其描述为：任一正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果是偶数就除以2，反复计算，最终都将会得到数字1．例如：给出正整数5，则进行这种反复运算的过程为，即按照这种运算规律进行5次运算后得到1．若从正整数6，7，8，9，10中任取2个数按照上述运算规律进行运算，则运算次数均为奇数的概率为______．
四、解答题
15. 经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按分段，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
（2）若分数在区间的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．
16. 甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4）完游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出牌不放回，各抽一张.
（1）设分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；
（2）若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？
（3）甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.
17. 杭州2022年第19届亚运会（The 19th Asian Games Hangzhu 2022）将于2023年9月23日至10月8日举办．本届亚运会共设40个竞赛大项，包括31个奥运项目和9个非奥运项目．同时，在保持40个大项目不变的前提下，增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．
传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军．双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？
这里我们简单研究一下两个赛制．假设四支队伍分别为，其中对阵其他三个队伍获胜概率均为，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时同组，同组．
（1）若，在淘汰赛赛制下，获得冠军的概率分别为多少？
（2）分别计算两种赛制下获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，，E是PC的中点，作交PB于点F.
（1）求证：平面EDB；
（2）求证：平面EFD；
（3）求平面CPB与平面PBD夹角的大小.
19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为．现有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，则译码为1，若依次收到，则译码为1）．
（1）已知．
①若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率；
②若采用单次传输方案，依次发送，证明：事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”相互独立．
（2）若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围．