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    备战2025年高考一轮复习数学百练热点教案第86练事件的关系与概率运算(Word版附解析)
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    备战2025年高考一轮复习数学百练热点教案第86练事件的关系与概率运算(Word版附解析)

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    这是一份备战2025年高考一轮复习数学百练热点教案第86练事件的关系与概率运算(Word版附解析),共8页。教案主要包含了基础知识,典型例题等内容,欢迎下载使用。

    1、事件的分类与概率:
    (1)必然事件:一定会发生的事件,用表示,必然事件发生的概率为
    (2)不可能事件:一定不会发生的事件,用表示,不可能事件发生的概率为
    (3)随机事件:可能发生也可能不发生的事件,用字母进行表示,随机事件的概率
    2、事件的交并运算:
    (1)交事件:若事件发生当且仅当事件与事件同时发生,则称事件为事件与事件的交事件,记为,简记为
    多个事件的交事件::事件同时发生
    (2)并事件:若事件发生当且仅当事件与事件中至少一个发生(即发生或发生),则称事件为事件与事件的并事件,记为
    多个事件的并事件::事件中至少一个发生
    3、互斥事件与概率的加法公式:
    (1)互斥事件:若事件与事件的交事件为不可能事件,则称互斥,即事件与事件不可能同时发生。例如:投掷一枚均匀的骰子,设事件“出现1点”为事件,“出现3点”为事件,则两者不可能同时发生,所以与互斥
    (2)若一项试验有个基本事件:,则每做一次实验只能产生其中一个基本事件,所以之间均不可能同时发生,从而两两互斥
    (3)概率的加法公式(用于计算并事件):若互斥,则有
    例如在上面的例子中,事件为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得,所以根据加法公式可得:
    (4)对立事件:若事件与事件的交事件为不可能事件,并事件为必然事件,则称事件为事件的对立事件,记为,也是我们常说的事件的“对立面”,对立事件概率公式:,关于对立事件有几点说明:
    ① 公式的证明:因为对立,所以,即互斥,而,所以,因为,从而
    ② 此公式也提供了求概率的一种思路:即如果直接求事件的概率所讨论的情况较多时,可以考虑先求其对立事件的概率,再利用公式求解
    ③ 对立事件的相互性:事件为事件的对立事件,同时事件也为事件的对立事件
    ④ 对立与互斥的关系:对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层。由对立事件的定义可知:对立,则一定互斥;反过来,如果互斥,则不一定对立(因为可能不是必然事件)
    4、独立事件与概率的乘法公式:
    (1)独立事件:如果事件(或)发生与否不影响事件(或)发生的概率,则称事件与事件相互独立。例如投掷两枚骰子,设“第一个骰子的点数是1”为事件,“第二个骰子的点数是2”为事件,因为两个骰子的点数不会相互影响,所以独立
    (2)若独立,则与,与,与也相互独立
    (3)概率的乘法公式:若事件独立,则同时发生的概率 ,比如在上面那个例子中,,设“第一个骰子点数为1,且第二个骰子点数为2”为事件,则。
    (4)独立重复试验:一项试验,只有两个结果。设其中一个结果为事件(则另一个结果为),已知事件发生的概率为,将该试验重复进行次(每次试验结果互不影响),则在次中事件恰好发生次的概率为
    ① 公式的说明:以“连续投掷次硬币,每次正面向上的概率为”为例,设为“第次正面向上”,由均匀的硬币可知,设为“恰好2次正面向上”,则有:


    ② 的意义:是指在次试验中事件在哪次发生的情况总数,例如在上面的例子中“3次投掷硬币,两次正面向上”,其中代表了符合条件的不同情况总数共3种
    5、条件概率及其乘法公式:
    (1)条件概率:
    (2)乘法公式:设事件,则同时发生的概率
    (3)计算条件概率的两种方法:(以计算为例)
    ① 计算出事件发生的概率和同时发生的概率,再利用即可计算
    ② 按照条件概率的意义:即在条件下的概率为事件发生后,事件发生的概率。所以以事件发生后的事实为基础,直接计算事件发生的概率
    例:已知6张彩票中只有一张有奖,甲,乙先后抽取彩票且不放回,求在已知甲未中奖的情况下,乙中奖的概率。
    解:方法一:按照公式计算。设事件为“甲未中奖”,事件为“乙中奖”,所以可得:,事件为“甲未中奖且乙中奖”,则。所以
    方法二:按照条件概率实际意义:考虑甲在抽取彩票后没有中奖,则留给乙的情况是剩下的五张彩票中有一张是有奖的,所以乙中奖的概率为
    6、两种乘法公式的联系:
    独立事件的交事件概率:
    含条件概率的交事件概率:
    通过公式不难看出,交事件的概率计算与乘法相关,且事件通常存在顺承的关系,即一个事件发生在另一事件之后。所以通过公式可得出这样的结论:交事件概率可通过乘法进行计算,如果两个事件相互独立,则直接作概率的乘法,如果两个事件相互影响,则根据题意分出事件发生的先后,用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率(即条件概率)
    二、典型例题:
    例1:从这5个数中任取两数,其中:①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;②至少有一个是奇数和两个都是奇数;③至少有一个是奇数和两个都是偶数;④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数。上述事件中,是对立事件的是( )
    A. ① B. ②④ C. ③ D. ①③
    思路:任取两数的所有可能为两个奇数;一个奇数一个偶数;两个偶数 ,若是对立事件,则首先应该是互斥事件,分别判断每种情况:①两个事件不是互斥事件,② “至少有一个奇数”包含“两个都是奇数”的情况,所以不互斥,③ “至少一个奇数”包含“两个奇数”和“一奇一偶”所以与“两个偶数”恰好对立,④ “至少有一个奇数”和“至少有一个偶数”均包含“一奇一偶”的情况,所以不互斥。综上所述,只有③正确
    答案:C
    例2:5个射击选手击中目标的概率都是,若这5个选手同时射同一个目标,射击三次则至少有一次五人全部集中目标的概率是( )
    A. B. C. D.
    思路:所求中有“至少一次”,且若正面考虑问题所涉及的情况较多。所以考虑从问题的对立面入手,设所求事件为事件,则为“射击三次没有一次五人均命中目标”,考虑射击一次五人没有全命中目标的概率为,所以 ,从而可得
    答案:C
    例3:甲,乙,丙三人独立的去译一个密码,分别译出的概率为,则此密码能译出概率是( )
    A. B. C. D.
    思路:若要译出密码,则至少一个人译出即可。设事件为“密码译出”,正面分析问题情况较多,所以考虑利用对立面,为“没有人译出密码”,则
    ,从而
    答案:C
    例4:某次知识竞赛规则如下:在主办方预设的5个问题中,选手若能连续正确回答出两个问题,即停止答题,晋级下一轮,假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8,且每个问题的回答结果相互独立,则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率是_________
    思路:因为选手回答4个问题就晋级下一轮,所以说明后两个回答结果正确,且第二次回答错误(否则第二次与第三次连续正确,就直接晋级了),第一次回答正确错误均可。所以
    答案:
    例5:掷3颗骰子,已知所得三个数都不一样,求含有1点的概率
    思路:首先判断出所求的为条件概率,即在3个数都不一样的前提下,含有1点的概率,设事件表示“含有1点的概率”,事件为“掷出三个点数都不一样”,事件为“三个点数都不一样且有一个点数为1”,则有,,所以由条件概率公式可得:
    答案:
    例6:甲乙两人进行跳绳比赛,规定:若甲赢一局,比赛结束,甲胜出;若乙赢两局,比赛结束,乙胜出。已知每一局甲,乙两人获胜的概率分别为,则甲胜出的概率为( )
    A. B. C. D.
    思路:考虑甲胜出的情况包含两种情况,一种是甲第一局获胜,一种是甲第一局输了,第二局获胜,设事件为“甲在第局获胜”,事件为“甲胜出”,则,依题意可得:,两场比赛相互独立,所以
    从而
    答案:A
    例7:如图,元件通过电流的概率均为,且各元件是否通过电流相互独立,则电流能在之间通过的概率是( )
    A. B. C. D.
    思路:先分析各元件的作用,若要在之间通过电流,则必须通过,且这一组与两条路至少通过一条。设为“通过”,则,设为“通过”,,那么“至少通过一条”的概率,从而之间通过电流的概率为
    答案:B
    例8:假设每一架飞机的引擎在飞行中出现的故障率为,且各引擎是否有故障是独立的,已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行,飞机就可成功飞行;2引擎飞机要2个引擎全部正常运行,飞机也可成功飞行;要使得4引擎飞机比2引擎飞机更安全,则的取值范围是( )
    A. B. C. D.
    思路:所谓“更安全”是指成功飞行的概率更高,所以只需计算两种引擎成功的概率即可,引擎正常运行的概率为,设事件为“4引擎飞机成功飞行”,事件为“个引擎正常运行”,可知引擎运行符合独立重复试验模型,所以,所以。设事件为“2引擎飞机成功飞行”,则,依题意:,即,进而解出
    答案:B
    例9:从中,甲,乙两人各任取一数(不重复),已知甲取到的是5的倍数,则甲数大于乙数的概率是_______
    思路一:本题涉及条件概率的问题,设事件为“甲取到的数比乙大”,事件为“甲取到的数是5的倍数”,则所求概率为。若用公式求解,则需求出,事件即为“甲取到了5的倍数且甲数大于乙数”,由古典概型可计算出概率。甲能够取得数为,当甲取5时,乙有种取法,当甲取10时,乙有种取法,当甲取15时,乙有种取法,所以,因为,所以
    思路二:本题处理条件概率时也可从实际意义出发,甲取5,10,15对乙的影响不同,所以分情况讨论。当甲取的是5时,甲能从5的倍数中取出5的概率是,此时乙从剩下14个数中可取的只有1,2,3,4,所以甲取出5且大于乙数的概率,同理,甲取的是10时,乙可取的由9个数,所以甲取出10且大于乙数概率为,甲取的是15时,乙可取14个数,所以甲取出15且大于乙数的概率为,所以甲取到的数是5的倍数后,甲数大于乙数的概率为
    答案:
    小炼有话说:本题两种处理条件概率的思路均可解决问题,但第二种方法要注意,所发生过的只是甲取到5的倍数,但不知是哪个数,所以在分类讨论时还要乘上某个5的倍数能抽中的概率。即所求问题转变为“已知抽到5的倍数后,抽到哪个5的倍数(具体分类讨论)且甲数大于乙数的概率”。
    例10:甲袋中有5只白球,7只红球;乙袋中由4只白球,2只红球,从两个袋子中任取一袋,然后从所取到的袋子中任取一球,则取到白球的概率是_______
    思路:本题取到白球需要两步:第一步先确定是甲袋还是乙袋,第二步再取球。所以本问题实质上为“取到某袋且取出白球的概率”,因为取袋在前,取球在后,所以取球阶段白球的概率受取袋的影响,为条件概率。设事件为“取出甲袋”,事件为“取出白球”,分两种情况进行讨论。若取出的是甲袋,则,依题意可得:,所以;若取出的是乙袋,则,依题意可得:,所以,综上所述,取到白球的概率
    答案:
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