湖北省宜城市第一中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

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填空题
13. 14.
解答题
15.（1）如图，.……3分
（2）因为，，，
所以
……5分
又， ……6分
， ……7分
所以. ……9分
……13分
16.（1）根据题意，的这一组的频率为，
的这一组的频率为，的这一组的频率为，
的这一组的频率为，的这一组的频率为，
则这一组的频率为， ……4分
其频数为； ……5分
（2）一组的频率最大，人数最多，则众数为， ……7分
设第75百分位数为x,则：
解得：，即第75百分位数估计值为 ……9分
（3）记“取出的人在同一分数段”为事件，
因为之间的人数为，设为､､､，
之间有人，设为､， ……10分
从这人中选出人，有、、、､、、、
、、、､、、、，
共个基本事件， ……12分
其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件，
则. ……15分
17.解：（1）证明：四边形是矩形，，
平面平面，平面平面，平面，
平面， ……2分
平面，， ……3分
，，，， ……4分
，平面． ……5分
（2）以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， ……6分
则，0，，，，，，，，，0，，，，，
，，，，0，，，0，， ……8分
设平面的一个法向量为，，，
则，取，得，0，， ……11分
设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：
． ……15分
18.解：记甲，乙，丙三人在医学综合笔试中合格依次为事件，，，
在实践考试中合格依次为，，，
（1） ……5分
（2）甲、乙、丙获得执业医师证书依次为，，，
并且与，与，与相互独立，
则，， ……10分
由于事件，，彼此相互独立，
“恰有两人获得执业医师证书”即为事件：， ……12分
概率为. ……17分
19.解：（1）因为，，，平面，
所以⊥平面， ……1分
又平面，所以平面⊥平面，
取的中点，连接，因为是等边三角形，所以⊥，
又平面⊥平面，两平面交线为，平面，
所以⊥平面， ……3分
取的中点，连接，则，
因为⊥平面，所以⊥平面，
因为平面，所以⊥，⊥，故两两垂直，
以为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ……4分
因为，由勾股定理得，
所以，
平面的法向量为， ……5分
设与平面所成角的大小为，则， ……6分
因为，所以； ……7分
（2）设平面的法向量为，
则，
令得，则， ……7分
连接，因为平面，平面平面，所以， ……8分
不妨设，则，，
设，则，即，
故， ……9分
设，则，即，
故， ……10分
设平面的法向量为，
则解得，设，则，故， ……12分
故，
化简得，两边平方得，
，化简得，
解得或， ……14分
设，设，
则，解得，
故， ……15分
当时，，
因为，所以，
解得，解得，满足要求， ……16分
当时，，
因为，所以，
解得，解得，满足要求，
故存在点Q，使得平面与平面夹角的余弦值为，
此时的值为或. ……17分
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
A
A
B
C
D
D
C
ACD
ABC
AC