考点巩固卷03 函数及其性质（十大考点）-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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考点01：已知函数解析式求定义域问题
若函数f(x)的解析式为已知函数的形式采用直接法.
解题模板如下：
第一步：找出使函数f(x)所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：
(1)分式中分母不为0；(2)偶次方根中被开方数非负；(3)的底数不为零；
(4)的底数不为零；
(5)对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；
(6)正切函数y=tanx的定义域为 .
(7)指数式中底数大于零且不等于1.
(8)正弦函数、余弦函数、多项式函数（一次函数、二次函数、三次函数,…）的定义域为R.
(9)对于幂函数：
m为偶数，n为偶数，函数的定义域为R，m为偶数，n为奇数，函数的定义域为R，
m为奇数，n为偶数，函数的定义域为[0,+∞)，m为奇数，n为奇数，函数的定义域为R.
注：的定义域为[0,+∞)，而的定义域为R.
第二步：列出不等式（组）
第三步：解不等式（组），即不等式（组）的解集即为函数f(x)的定义域.
1．函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
3．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
4．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
5．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
6．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
7．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
8．函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
9．函数的定义域为（ ）
A．{且}B．{且}
C．D．{且}
10．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
考点02：抽象函数定义域的妙解
使用前提：涉及到抽象函数求定义域，函数的解析式是未知的.
解题模板如下：
解题模板1
已知的定义域，求的定义域.
求解思路：若的定义域为，则在中，，解得的取值范围构成的集合，即为的定义域.
解题模板2
已知的定义域，求的定义域.
求解思路：若的定义域为，则由确定的的范围（值域）构成的集合，即为的定义域.
解题模板3
已知的定义域，求的定义域.
求解思路：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域.
11．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
12．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
13．已知的定义域为，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
14．函数与有相同的定义域，且对定义域中任何都有，，若的解集是，则函数是（ ）.
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数
15．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
16．已知幂函数的图象过点，则的定义域为（ ）
A．B．C．D．
17．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
18．若幂函数的图象过点，则的定义域是（ ）
A．B．C．D．
19．已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ）
A．B．C．D．
20．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
考点03：求函数解析式的六大思路
模型一：待定系数法求函数解析式
适用条件：已知函数解析式的类型
步骤如下：
第一步：先设出
第二步：再利用题目中给的已知条件，列出等式
第三步：列出关于待定系数的方程组（左右对应匹配），进而求出待定的系数.
模型二：换元法求函数解析式
适用条件：已知函数且能够很轻松的将用表示出来.
步骤如下：
第一步：令，解出且注意新元的取值范围
第二步：然后代入中即可求得
第三步：从而求得.
模型三：配凑法求函数解析式
适用条件：已知函数且不能够很轻松的将用表示出来.
步骤如下：
第一步：将等号右边先出现
第二步：将题干等号右边形式变形成的形式.
第三步：从而求得的解析式.
模型四：方程组法求函数解析式
适用条件：已知与、与（为常数）等之间的关系式
步骤如下：
第一步：将原式抄写一遍，如
第二步：将交换，再写一遍.
第三步：建立二元一次方程组，进行消元从而求得的解析式.
模型五：抽象函数求函数解析式
适用条件：已知：括号中既有又有时
步骤如下：
第一步：令或（令字母出现次数少的为）
第二步：代入出现或形式且求出
第三步：从而求得的解析式.
模型六：分段函数求函数解析式
适用条件：已知的解析式求的解析式.
步骤如下：
第一步：明确函数的奇偶性
第二步：，代入已知函数解析式
第三步：利用奇偶性从而求得的解析式.
21．已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
22．下列函数满足的是（ ）
A．B．
C．D．
23．定义在上的函数满足，是函数的导函数，以下选项错误的是（ ）
A．
B．曲线在点处的切线方程为
C．在上恒成立，则
D．
24．已知为定义在上的单调函数，且对，则（ ）
A．B．
C．D．
25．已知函数的定义域为，且，若，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．函数是偶函数D．函数是减函数
26．已知函数，则（ ）
A．B．
C．D．
27．已知函数满足，则的值为（ ）
A．B．C．D．
28．已知，且，则=（ ）
A．2B．3C．4D．5
29．已知函数满足：，则的解析式为（ ）
A．B．
C．D．
30．若函数，满足，且，则（ ）
A．6B．7C．8D．9
考点04：各种函数值域问题
形如①：或采用判别式法.
形式1：
形式2：
移项继续利用形式1进行处理.
形如②：函数的不等式中含有一些特殊函数，直接观察即可确定函数的值域或最值.
简称直接法
解题步骤：
第一步：观察函数中的特殊函数；
第二步：利用这些特殊函数的有界性，结合不等式推导出函数的值域.
31．若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
32．函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
33．函数的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
34．已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．为偶函数
C．有最小值D．在上单调递增
35．已知函数在上的值域为，则（ ）
A．4B．5C．8D．10
36．设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
37．已知，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
38．已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考点05：函数单调性的处理技巧
①：定义法
使用前提：一般函数类型
解题步骤：
第一步：取值定大小：设任意，且；
第二步：作差：并变形变形(合并同类项、通分、分解因式、配方等)；
第三步：定符号，得出结论.
注意：同向递增，异向递减
②导数法
使用前提：较复杂的函数类型
解题步骤：
第一步：求函数的定义域和导函数的解析式；
第二步：在定义域范围内解不等式或；
第三步：得出函数的增减区间.斜率
39、已知函数利用函数单调性的定义证明：是其定义域上的增函数.
40、已知函数．
（1）求证：在上是单调递增函数；
（2）若f（x）在上的值域是，求a的值．
41、已知函数是定义在上的函数.
（1）用定义法证明函数在上是增函数；
（2）解不等式.
42、已知函数定义在上的奇函数，且．
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）解关于的不等式．
43、已知是定义域为的偶函数，且当时，．
（1）当时，求函数的表达式；
（2）求证：在区间上是减函数，在上是增函数，并写出函数取得最小值时的取值．
44、已知函数，试判断函数的单调性，并证明.
因为所以为单调递增函数.
45、 求函数的单调减区间.
考点06：函数奇偶性的处理技巧
①：基本方法判定函数的奇偶性
使用前提：函数表达式比较简单，定义域也容易求解.
解题步骤：
第一步：确定函数的定义域，判断其定义域是否关于原点对称；
第二步：若是，则确定与的关系；若不是，则既不是奇函数也不是偶函数；
第三步: 得出结论.
②：利用函数的奇偶性求函数的解析式
使用前提：已知函数在给定的某个区间上的解析式，求其在对称区间(或对称区间的子区间)上的解析式.
解题步骤：
第一步：首先设出所求区间的自变量；
第二步：运用已知条件将其转化为已知区间满足的的取值范围；
第三步：利用已知解析式确定所求区间相应的函数的表达式.
46、判定下列函数的奇偶性：
(1)(2).
(3)；(4)；
47、下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
48、设函数，的定义域都为，且是奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是（ ）
A．是偶函数B．是奇函数
C．是奇函数D．是奇函数
49、已知函数，则
A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数
C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数
50、已知函数是定义在上的奇函数，当时，，求出函数的解析式.
51、已知函数在R上为奇函数，且时，，则当时，________.
52、函数在上为奇函数，且当时，，则当时，________．
考点07：函数单调性奇偶性综合求不等式范围
结论1：奇函数单调性不改变，若函数为定义在上的奇函数时
①若时，为单调递增，则时，为也为单调递增，即.
②若时，为单调递减，则时，为也为单调递减，即.
结论2：偶函数单调性改变，若函数为定义在上的偶函数时
①若时，为单调递增，则时，为单调递减，
即，.
②若时，为单调递减，则时，为单调递增，
即，.
53、定义在上的函数满足，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．D．
54、已知函数，，如果成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
55、已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
56、已知函数，则不等式的解集为（ ）
A．B． C． D．
57、设是上的奇函数，且在上是减函数，又，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
58、已知函数则不等式的解集为（ ）
A．(-3，0)B．C．(0，3)D．
考点08：函数周期性的处理技巧
类型一：抽象函数的周期性
使用前提：函数的解析式不确定，给出抽象函数的性质，来确定函数的周期
解题步骤：
第一步：合理利用已知函数关系并进行适当地变形；
第二步：熟记常见结论，准确求出函数的周期性；
常见的结论包括：
结论1：若对于非零常数和任意实数，等式恒成立，则是周期函数，且是它的一个周期.
证明：
也可理解为：平移个单位到谷底，再平移一个单位到巅峰，再平移一个单位又到谷底，则谷底与谷底的距离为，
结论2：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.
证明：
口诀：同号差（周期）异号加（对称轴）只研究前的正负.
结论3：定义在上的函数，对任意的，若有(其中为常数，)，则函数是周期函数，是函数的一个周期.
59．设函数的定义域为，且满足，，当时，，下列结论：
①；
②当时，的取值范围为；
③为奇函数；
④方程仅有6个不同实数解．
其中正确的个数是（ ）．
A．1B．2C．3D．4
60．对任意的函数，都有，且当时，，若关于的方程在区间内恰有6个不等实根，则实数的取值范围是（ ）
A．(3,5)B．(3,4)C．[3,4]D．[3,5]
61．已知函数对都有，若的图象关于直线对称，且对，当时，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇函数C．是周期为4的周期函数D．
62．定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论：
①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数.
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
63．已知是定义在上的函数，若函数为偶函数，函数为奇函数，则（ ）
A．0B．1C．2D．-1
64．已知是定义域为的奇函数且满足，则（ ）
A．B．0C．1D．
65．定义在R上的函数，满足，，，，则下列说法中错误的是（ ）
A．是函数图象的一条对称轴
B．2是的一个周期
C．函数图象的一个对称中心为
D．若且，，则n的最小值为2
66．已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．B．C．4D．2
考点09：函数对称性的处理技巧
类型一：函数自身的对称性
使用前提：单一的函数本身具有轴对称或中心对称的特征
解题步骤：
第一步：由所给的函数性质确定函数的对称性
常见函数的对称性包括：
定理1：函数的图像关于点对称的充要条件是.或或
推论1：函数的图像关于原点对称的充要条件是.
定理2：函数的图像关于直线对称的充要条件是，即.
推论2：函数的图像关于轴对称的充要条件是.
67、定义在上的非常数函数满足：为偶函数，且，则一定是( )
A.是偶函数，也是周期函数B.是偶函数，但不是周期函数
C.是奇函数，也是周期函数D.是奇函数，但不是周期函数
68、对于函数，给出如下四个结论：其中正确的结论有______个.
（1）这个函数的值域为；（2）这个函数在区间上单调递减；
（3）这个函数图象具有中心对称性；（4）这个函数至少存在两个零点.
69、函数图象的对称中心为_____
70、对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心.”根据此发现，若函数，计算__________.
71、若函数在区间上的最大值、最小值分别为、，则的值为_______．
72、已知函数,________.
考点10：分段函数与零点问题
形如1：已知定义域为的函数，若是三个互不相同的正数，且，则的范围是？
破解：作出函数的图象，
不妨设，则，
∴，
∴，即，
∴，∴.
形如2：已知函数，若方程有四个不同的解，，，，且，则的取值范围是？
破解：由题意作函数与的图象如下，
结合图象可知，，，故，，
故，
形如3：已知函数若(互不相等)，则的取值范围是？
破解：作出函数的图象，如图所示:
设，则.
因为，所以，
所以，所以，即.
当时，解得或，所以.
设，
因为函数在上单调递增，所以，即，
所以.
73．已知函数.若，，，是方程的四个互不相等的解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
74．，若，且，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
75．已知函数，若实数，，c满足且，则的取值范为（ ）
A．B．C．D．
76．已知函数，若､､均不相等且，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
77．已知函数，若存在互不相等的正实数､､，满足，其中，则的最大值为（ ）
A．B．4C．9D．36
78．已知函数，若，，互不相等，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．