考点巩固卷06 利用导数研究函数的单调性、极值和最值（八大考点）-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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考点01：利用导数求函数的单调区间
求已知函数（不含参）的单调区间
①求的定义域
②求
③令，解不等式，求单调增区间
④令，解不等式，求单调减区间
注：求单调区间时，令（或）不跟等号.
1．已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出函数的定义域，然后对函数求导后，由可求出其递减区间.
【详解】的定义域为，，
令，解得，
所以的单调递减区间为，
故选：A.
2．函数的单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出导函数，令，即可得解.
【详解】由函数，可得，
令，可得，所以函数的单调递减区间是.
故选：C.
3．函数的单调递增区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】对函数求导并令导函数大于零，解不等式可得其单调递增区间.
【详解】易知函数的定义域为，可得，
令，解得.
所以函数的单调递增区间是.
故选：D
4．函数单调递减区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】求导后，令，解出即可.
【详解】,
令，解得，
所以单调递减区间为.
故选：A.
5．已知函数，其导函数为．
(1)求在处的切线方程；
(2)求的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为，单调递减区间为
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解；
（2）利用导数与函数单调性的关系即可得解.
【详解】（1）因为的导数为，
所以在处的切线斜率为，而
故所求的切线方程为，即．
（2）因为，定义域为
所以
解得，解得，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为．
6．已知函数 (其中为常数)．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)求函数在上的最小值．
【答案】(1)单调递增区间为；单调递减区间为
(2)答案见解析
【分析】（1）根据的正负确定单调区间；
（2）分类讨论，根据单调的单调性确定的最小值.
【详解】（1）
令解得，所以的单调递增区间为
令解得，所以的单调递减区间为
（2）
①当时，在上单调递增，；
②当时，在上单调递增，；
③当时，令和分别解得和，
则在上单调递减，单调递增，所以；
④当时，在上单调递减.
综上所述：当时，；
当时，；
当时，.
7．已知函数．
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)当时，证明：；
(3)若既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间是，函数的单调递减区间是，．
(2)证明见解析(3)
【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数后由导数的正负可求出函数单调区间；
（2）不等式转化为，构造函数，利用导数求出其单调区间，利用其单调性可证得结论；
（3）设，令，则转化为既有极大值又有极小值，则，令，然后对函数求导后，分，，，四种情况讨论即可得答案.
【详解】（1）当时，，函数的定义域为，
，
令，解得；令，解得或，
故函数的单调递增区间是，函数的单调递减区间是，．
（2）当时，，函数的定义域为，
不等式就是不等式（*），
当时，（*）式等价于；
当时，（*）式等价于．
设，，
故在上单调递增，
故当时，，即，
当时，，即．
所以原式成立．
（3）设，令，
既有极大值又有极小值等价于既有极大值又有极小值．
，记．
，
①当时，有，则在上单调递增，
故函数在上至多有1个零点，不合题意；
②当时，在上单调递减，在上单调递增，且，
故在上没有零点，不合题意；
③当时，在上单调递减，在上单调递增，
又，，故函数在上没有零点，不合题意；
④当时，在上单调递减，在上单调递增，
且有，，，
（这里用不等式：当时，）
．
下面证明当时，，令，
则，令，则，
所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以，所以当时，，
所以，，
又因为函数的图象分别在区间，上连续，
所以函数在，内各有1个零点，分别记为和，
故、分别为函数的极大值点、极小值点．即既有极大值又有极小值．
综上，当时，既有极大值又有极小值．
8．设函数.
(1)若是的极值点，求a的值，并求的单调区间；
(2)讨论的单调性；
(3)若，求的取值范围.
【答案】(1)6，单调递增区间，单调递减区间
(2)答案见解析(3)
【分析】（1）先求导，令，检验即得解；代入，分别令，得到单增区间和单减区间；
（2）根据二次函数及二次不等式的性质，结合函数定义域，分类讨论即可求解；
（3）转化为，分，两种情况讨论即可.
【详解】（1），
，解得，
此时，
令，有或，令，有，
所以是的极值点，满足题意，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由（1）知，
当即时，恒成立，
所以在上单调递增；
当即时，由得或，
由得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当即时，由得或，
由得，
故的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当即时，由得，得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为.
综上，时，在上单调递增，无递减区间，
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
时，的单调递增区间为和，单调递减区间为，
时，的单调递增区间为，单调递减区间为.
（3）由题意
当时，令，有，令，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，即
当时，不成立.
综上，.
9．已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)函数有唯一零点，函数在上的零点为．证明：．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为
(2)证明见解析
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；
（2）法一：由已知导数与单调性关系及函数零点存在定理可知，，构造函数，结合导数及函数性质可得的范围，再令，结合导数分析的单调性，利用不等式放缩即可求解.法二：，设新函数，利用零点存在性定理得，再证明单调性即可.
【详解】（1）函数的定义域为，
且，
所以当时，当时，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2）法一：由（1）可知若函数有唯一零点，则，即，
令，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因为，，
所以，
，
当时，当时，
所以在上存在唯一零点，所以，即，
令，则，
所以在上单调递减，
故，
所以，
又，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，
又，
所以.
法二：因为，由（1）可知若函数有唯一零点，则，
即，
设，而在上单调递增，
所以，，所以在上单调递增，
又，
令，所以在上单调递增，
所以，而，
.
10．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
(2)当时，讨论的单调性．
【答案】(1)
(2)在上单调递增，在上单调递减.
【分析】（1）求导并将代入，即可求出曲线在点处切线的斜率；
（2）求导并将带入，利用导数即可得出单调性.
【详解】（1）由题意，
在中，，
中，
当时，
，，
中，，
∴曲线在点处切线的斜率为
（2）由题意及（1）得，
在中，，
当时，
，
∴即，此时，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
∴函数在上单调递增，在上单调递减.
考点02：求已知函数的极值与最值
1．函数的极值
(1)函数的极小值：
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)0.则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值：
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)