考点巩固卷08 三角函数的图象及性质（六大考点）-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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考点01：三角函数的定义域与值域
1、三角函数定义域的求法
求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
注：解三角不等式时要注意周期，且k∈Z不可以忽略．
（1）分式：分母不能为零；
（2）根式：偶次根式中根号内的式子大于等于0，（如，只要求）对奇次根式中的被开方数的正负没有要求；（若偶次根式单独作为分母，只要偶次根式根号内的式子大于0即可，如，只要求）
（3）零次幂：中底数；
（4）对数函数：对数函数中真数大于零，底数为大于0且不等于；
（5）三角函数：正弦函数的定义域为，余弦函数的定义域为，正切函数的定义域为 若，则
2、求解三角函数的值域(最值)常见的题目类型
(1)形如或的三角函数，可利用三角函数的有界性求值域
(2)形如y＝asinωx＋bcsωx＋k的三角函数,可设,逆用和角公式得到y＝Asin(ωx＋φ)＋k,化为一次函数型,再求值域(最值)；
对于由两类函数作和、差、乘运算而得到的函数；
例如①（特别的可先用和差角公式展开化为y＝asinω x＋bcsωx＋k的形式;
②即逆用倍角公式化为y＝asinω x＋bcsωx＋k的形式;进一步都可以转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后结合一次函数求最值。
总结：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数型,再由三角函数的有界性得解.(其中为正弦或余弦函数,为常数)
(3)形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)，小心定义域对值域的限制；
对于由与，由与作和、差运算而得到的函数都可以转化为二次型函数求最值。
=
(4)形如y＝asin xcs x＋b(sin x±cs x)＋c的三角函数，可先设＝t，化为关于t的二次函数在区间上的值域，要注意的取值范围；对于由与（）作和、差运算而得到的函数，例如，都可以转化为二次型函数求最值。
(5)形如分式型：等
三角函数，可用换元法或者从几何意义的角度结合图象来求最值。
①基本类型一:、型
方法一：反解，利用三角函数的有界性;方法二：分离常数法．
②基本类型二：型．
转化为，再利用辅助角公式及三角函数的有界性求其最值；
1．若，，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先求出向量坐标，再求出模长，最后求范围即可.
【详解】由已知可得,
则
,
,
所以，
所以.
故选:A.
2．下列函数中最小值为4的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.
【详解】对于A：当时，，故A错误；
对于B：令，则，，当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：，当且仅当时取等号，故C正确；
对于D：由题意得，故，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：CD.
3．对于函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称；
B．函数的对称轴是，；
C．若函数是偶函数，则的最小值为；
D．函数在的值域为，
【答案】ABD
【分析】利用三角恒等变换公式将函数化简得，计算可判断A；求出函数的对称轴方程可判断B；根据为偶函数求出可判断C；根据的范围求出最大值可判断D.
【详解】对于A，因为
，
因为，所以函数的图象关于点对称，
故A正确；
对于B，令，解得，
所以函数的对称轴是，，故B正确；
对于C，因为为偶函数，
所以，解得，
所以的最小值为，故C正确；
对于D，当，则，当，
即时，，，故D错误.
故选：ABD
4．函数，，，则下列说法正确的是（ ）
A．，使得为单调函数B．，使得有三个零点
C．，使得有最大值D．，使得的值域为
【答案】AC
【分析】根据题意得，区间长度为.对于，采用赋值法验证即可；对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为，与题干中的区间长度矛盾，即可判断；对于，当时，可得有最大值，即可判断；对于，根据，得，解三角函数不等式即可判断.
【详解】，，.
对于，不防令，则，此时单调递减，故正确；
对于，根据余弦函数图象知，若在区间有个零点，则区间长度最小值为，
而，故不存在使上述区间长度为，故错误；
对于，当时，取得最大值，，使得有最大值，故正确；
对于，由，得，
，
又，故不存在，使得的值域为，故错误.
故选：.
5．已知，，则的值域为 .
【答案】
【分析】令，再结合平方关系将用表示，根据三角函数的性质求出的范围，再结合二次函数的性质即可得解.
【详解】令，
则，故，
因为，所以，所以，
令，则在单调递增，
则当，
所以的值域为.
故答案为：.
6．已知函数．
(1)求函数的最小正周期；
(2)若，求函数的值域．
(3)若函数在上有且仅有两个零点，则求的取值范围
【答案】(1)最小正周期
(2)
(3)
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
（2）由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
（3）首先求出的解析式，由的范围，求出的范围，再根据正弦函数的性质计算可得；
【详解】（1）
，
所以函数最小正周期.
（2）当时，，
所以，，则，
因比，函数在区间上的值域为．
（3）因为，
，则，
若函数在上有且仅有两个零点，
则，解得，
即.
7．已知函数.
(1)求；
(2)若方程在区间上有且仅有3个解，求实数的取值范围；
(3)从以下两个条件中选择一个，求的解析式.
①若函数在上的值域为；
②函数在上的最大值与最小值差为3.
【答案】(1)
(2)
(3)选择①，或
选择②，
【分析】（1）根据题意，可得，从而得解；
（2）根据题意，，可得，再由则，且，可确定实数的取值范围；
（3）选择①，根据题意可得，又，，分和两种情况求解；
选择②，分析可知在上的最大值与最小值差为，由三角函数图象变换可知在上先增后减，最大值为1，故，可解.
【详解】（1）根据题意，，
即，则，又，所以；
（2）根据题意，在区间上有且仅有3个解，
即，在区间上有且仅有3个解，
所以，即，又，所以，
由于，
则，且，
根据正弦函数的图象性质，

可知，
所以；
（3）因为，
选择①，当时，，
根据题意，，所以，
所以，，
因为函数在上的值域为，即，
根据正弦函数的图象性质，可知，
当时，，此时，符合题意，
所以，
当时，，此时，符合题意，
所以，
综上，或；
选择②，由函数在上的最大值与最小值差为3，
即在上的最大值与最小值差为，
又因为，可由向左平移后再伸缩得到，
所以在上先增后减，最大值为1，
故，所以，
故.
8．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦函数的性质计算可得.
（2）由的取值范围求出，再根据余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1），令，
解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2），因为，所以，
可得，则，
即函数在上的值域为．
9．已知函数，
(1)求的单调递减区间；
(2)若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得.
（2）首先得到，的解析式，依题意可得关于的不等式在上恒成立，参变分离结合函数的单调性求出，即可得解.
【详解】（1）
，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）因为，
所以，
，
因为当，关于的不等式恒成立，
即关于的不等式在上恒成立，
即关于的不等式在上恒成立，
即关于的不等式在上恒成立，
因为，所以，所以在上恒成立，
因为在上单调递减，所以，所以，
即实数的取值范围为.
10．求函数的定义域.
【答案】
【分析】根据函数特征得到不等式，求出答案.
【详解】欲求函数定义域，则由，解得，
解得，取，
可得到定义域为
考点02：三角函数性质的考察
1、求三角函数的周期，一般有三种方法
定义法：直接利用周期函数的定义求周期．
公式法，即将函数化为或的形式，再利用求得，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为eq \f(π,|ω|)
（3）图象法：利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期．相邻两对称轴间的距离为eq \f(T,2)，相邻两对称中心间的距离也为eq \f(T,2),相邻对称轴和对称中心间的距离也为，函数的对称轴一定经过图象的最高点或最低点．
2、与三角函数的奇偶性有关的问题
（1）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数．
（2）对于函数（A>0,ω>0）：时，函数为偶函数；时，函数为奇函数．
3、与三角函数的单调性有关的问题
（1）求函数或的单调区间，一般将视作整体，代入或相关的单调区间所对应的不等式，解之即得．
（2）当ω