考点巩固卷09 解三角形（七大考点）-2025年高考数学一轮复习考点通关卷（新高考通用）

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考点01：正余弦定理的应用条件
《正弦定理》
①正弦定理：
②变形：
③变形：
④变形：
⑤变形：
《余弦定理》
①余弦定理：
②变形：
核心问题：什么情况下角化边?什么情况下边化角?
⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角
⑵当每一项都有角《》且次数一样时，采用角化边
⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题
⑷当每一项都有角《》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可
1．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若，，且，则（ ）
A．B．4C．D．5
【答案】B
【分析】根据正弦定理角化边，由三角形面积公式求，再结合余弦定理，即可求解.
【详解】由正弦定理角化边，可知，，且
则，，则，
则，①
由余弦定理，②
由①②得，，即.
故选：B
2．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合条件由余弦定理可得，再由，结合正切函数的和差角公式以及基本不等式代入计算可得，即可得到结果.
【详解】因为，且，则，
由余弦定理可得，所以，
即，由正弦定理可得，
其中，则，所以，
又，
化简可得，
且为锐角三角形，则，
所以，
即，
解得或（舍），
所以，当且仅当时，等号成立，
则的最大值为.
故选：B
3．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正、余弦定理边角转化可得，再利用正弦定理解得，根据大边对大角结合同角三角关系分析求解.
【详解】因为，则，
由正弦定理可得，整理可得，
则，且，所以.
由正弦定理可得，
且，则，所以.
故选：A.
4．在锐角中，，，分别为三个内角所对的边，且，则角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意利用正弦定理边化角，化简整理即可得结果.
【详解】因为，由正弦定理可得，
且角为锐角，则，可得，即，
且角为锐角，所以角为.
故选：D.
5．已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由正弦定理可得，结合，可求，可求.
【详解】由，由正弦定理得，
所以，所以，
因为，所以可得，
所以，所以，
因为，所以.
故选：D.
6．记的内角的对边分别为，若，则是（ ）
A．等腰三角形B．等边三角形
C．直角三角形D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根据正弦定理和三角恒等变换的化简可得，即可求解.
【详解】，
由正弦定理得，
又，所以，
又，所以，
因为，所以，
即，得，故，则，
所以为正三角形.
故选：B
7．在中，角的对边分别是，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得.
【详解】在中，由正弦定理及，得，
设，，，所以.
故选：A
8．若的内角，，对边分别是，，，，且，则（ ）
A．外接圆的半径为B．的周长的最小值为
C．的面积的最大值为D．边的中线的最小值为
【答案】ACD
【分析】对于A，由正弦定理进行边角互化可得B，再利用正弦定理可得外接圆的半径；对于BC，利用余弦定理结合基本不等式可得的最值及的最值；对于D，根据向量的线性运算，可表示中线，进而可得其长度最值.
【详解】对于A：，由正弦定理得，
即，即，
因为，所以，所以，，
因为，则， 令外接圆的半径为,
根据正弦定理可得，即，故A正确；
对于C：由余弦定理知，，
因为，，所以，，当且仅当时等号成立，
因为，所以的最大值为，故C正确；
对于B：由C知，则，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为，故B错；
对于D：因为为边上的中线，
所以，，
得，因为，所以的最小值为，故D正确；
故选：ACD.
9．在中，内角所对的边分别为，若，，则的最大值为 .
【答案】
【分析】根据题目所给的条件，利用正弦定理化简后得到，利用正弦定理“边化角”化简得到，因此最大值即.
【详解】中，，，
所以，所以，
根据正弦定理，，
即，
因为，所以，
由为三角形内角可知，，
根据正弦定理，，
所以
，
其中，，
当时取得最大值，所以的最大值为.
故答案为：
10．已知的内角，，所对边分别为，，，且，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意，化简得到，求得，且，结合三角形的性质，得到，再由正弦定理得到，进而求得，利用二次函数的性质，即可求解.
【详解】因为，由正弦定理得，
所以，
可得，
因为为的内角，所以，则，
又因为，可得，所以，
因为，由正弦定理得，
又因为，
所以，
则，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：.
考点02：三角形的多解问题
在中，已知和A时，解的情况主要有以下几类：
①若A为锐角时：


一解一解


两解无解
②若A为直角或钝角时：
11．记的内角的对边分别为.已知，若角有两解，则的值可以是（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】C
【分析】由正弦定理先计算出，而角有两解，则需要满足且是最大边进而求出的范围.
【详解】角有两解，即角有两解，由正弦定理可知：，
角要有两解，则需满足且，解得：.
故选：C
12．在中，内角，，所对的边分别为，，，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A．若是边长为1的正三角形，则
B．若，则为等腰直角三角形
C．若，，，则这样的三角形有且只有两个
D．若，，为外心，则
【答案】CD
【分析】根据向量数量积的定义即可判断A，由正弦定理及二倍角公式可判断B，根据已知两边及一边对角三角形解的个数的判断方法判断C，根据向量的数量积的运算律判断D.
【详解】对A，，故A错误；
对B，由正弦定理可得，即，
由，所以或，即或，
所以三角形为等腰或直角三角形，故B错误；
对C，因为，所以三角形有两解，故C正确；
对D，如图，取的中点，连接，则，

所以，
又，
所以，故D正确；
故选： CD
13．在，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则必有两解
C．若是锐角三角形，则
D．若,则为锐角三角形
【答案】BC
【分析】利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B； 由已知得，结合正弦函数性质可判断C；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D.
【详解】对于A，由正弦定理可得，，或即，为等腰或直角三角形，故A错误；
对于B，，即，必有两解，故B正确；
对于C，是锐角三角形，，即，由正弦函数性质结合诱导公式得，故C正确；
对于D，利用二倍角的余弦公式知，即，即，，
即C为锐角，不能说明为锐角三角形，故D错误.
故选：BC.
14．在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，，则符合条件的恰有两个
B．若，则是等腰三角形
C．若，则是等腰三角形
D．若，则是直角三角形
【答案】ABD
【分析】对于A，求出与比较即可，对于B，利用正弦定理统一成角的形式再结合三角恒等变换公式化简判断，对于C，利用余弦定理统一成边的形式化简进行判断，对于D，利用三角函数恒等变换公式化简进行判断.
【详解】对于A，设边上的高为，则，
因为，，
所以，所以符合条件的恰有两个，故A正确；
对于B,若，由正弦定理得，
所以，
因为，所以，或（舍去），
所以是等腰三角形，故B正确；
对于C,若，由余弦定理得，
所以，化简得，
所以或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D,若，所以，
所以
，
所以，
因为，所以，
所以．
所以或，
因为，所以或，
所以是直角三角形，故D正确．
故选：ABD．
15．已知内角对边分别为，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为等腰三角形
C．若，则为锐角三角形
D．若的三角形有两解
【答案】ABD
【分析】对于A，根据正弦定理结合已知条件即可；对于B，由余弦定理得，即可判断三角形为等腰三角形；对于C，根据余弦定理只能得，即为锐角，无法判断的情况；对于D，利用正弦定理得，即可判断三角形解的个数.
【详解】对于A，因为，则由正弦定理可得，
，所以，即，故A正确；
对于B，由余弦定理得，
化简得，故为等腰三角形，故B正确；
对于C，由余弦定理，
因为，所以，故只能判断为锐角，无法判断，故C错误；
对于D，若，则由正弦定理得，
因为，所以三角形有两解，故D正确；
故选：ABD.
16．在中，角所对的边分别为，，，以下判断正确的是（ ）
A．若，则的面积为B．若，则
C．若，则D．若有两解，则
【答案】ACD
【分析】根据三角形的面积公式计算即可判断A；根据正弦定理计算即可判断B；根据余弦定理计算即可判断C；根据正弦定理和且即可判断D.
【详解】A：若，则，故A正确；
B：若，由正弦定理得，
即，解得，故B错误；
C：若，由余弦定理得，
即，整理得，由解得，故C正确；
D：由正弦定理得，则，
由得，若有两个解，则且，
所以，即，解得，故D正确.
故选：ACD
17．在中，内角所对的边分别为,，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．当时，最小值为
C．当有两个解时，的取值范围是
D．当为锐角三角形时，的取值范围是
【答案】BCD
【分析】对于A，利用数量积的定义计算即得；对于B，结合图形，化简，将问题转化成点到直线距离的最小值问题；对于C，利用正弦定理和三角函数的值域，结合图形即得；对于D，利用正弦定理，求得由题意求出，结合正弦函数的图象即得范围.
【详解】对于A，因，故，即A错误；

对于B， 如图，因当时，与共线，故可设,
则,故，
由图知，当且仅当时取最小值，
此时，即B正确；
对于C，由正弦定理，，，
当有两个解时，须使且，的取值范围是，故C正确；
对于D，因，,
当为锐角三角形时，,解得，,则，,
由正弦定理，故的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.
18．已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则为钝角三角形
C．若，则为等腰三角形
D．若，的三角形有两解，则的取值范围为
【答案】AB
【分析】利用正弦定理判断A、D，利用余弦定理判断B，利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式判断C.
【详解】对于A，因为，由正弦定理可得，所以，故A正确；
对于B，由余弦定理，可知为钝角，即为钝角三角形，故B正确；
对于C，因为，所以，即，
又，所以，所以或，即或，
即为等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，因为三角形有两解，所以，即，即的取值范围为，故D错误．
故选：AB．
19．已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．若，，，则符合条件的有两个
B．若，，，则符合条件的有且只有一个
C．若，则一定是锐角三角形
D．若，则一定是等腰三角形
【答案】AB
【分析】对于A，解出可能的即可；对于B，求出可能的即可；对于C，给出反例即可；对于D，给出反例即可.
【详解】对于A，由余弦定理可知，即.
所以或，经验证和均满足条件，从而的三边共有两种可能的取值情况，所以A正确；
对于B，由余弦定理可知，即，且经验证符合条件，从而的三边有唯一的取值情况，所以B正确；
对于C，若，则是直角三角形，但，所以C错误；
对于D，若，则不是等腰三角形，但此时由可知，故，所以D错误.
故选：AB.
20．在中，，，若存在且唯一，则的一个取值为 ．
【答案】5（答案不唯一）
【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求解即可.
【详解】在中，，，由正弦定理，得，
由存在且唯一，知或且，解得或，而，
所以的一个取值为5.
故答案为：5
考点03：判断三角形形状问题
Ⅰ：特殊三角形的判定：
（1）直角三角形
勾股定理：，
互余关系：，，；
（2）等腰三角形
，；
Ⅱ：用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号）
（1）在中，；
（2）在中，；
（3）在中，；
21．在中，，，的对边分别为，，，若，则的形状是（ ）
A．等腰直角三角形B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形D．等腰三角形
【答案】B
【分析】由正弦定理将边化角，再由二倍角公式及三角函数的性质判断即可.
【详解】因为，
由正弦定理可得，所以，
又，则，
所以或，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形.
故选：B
22．在△ABC中，若c＝2a cs B，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形B．等腰三角形
C．等边三角形D．非等边三角形
【答案】B
【分析】利用正弦定理边化角，再用内角和为，化，再通过三角恒等变形，即可得证.
【详解】由正弦定理知 (R为三角形外接圆的半径)，
故，
所以，即，
因为，所以,
所以，即．故为等腰三角形．
故选：B.
23．若三角形的三边长分别为20，30，40，则该三角形的形状一定是（ ）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
【答案】C
【分析】求出该三角形最大角的余弦值，根据余弦值的正负得到答案
【详解】设，该三角形的最大角为，
由余弦定理得，
故为钝角，三角形形状为钝角三角形.
故选：C
24．记的内角的对边分别为，则（ ）
A．当时，为直角三角形
B．当时，最大角与最小角之和为
C．当.时，
D．当时，为锐角三角形
【答案】ABC
【分析】根据余弦定理求解长度，即可判断A，根据余弦定理求解中间角，即可求解B，根据正弦定理即可求解C，利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解D.
【详解】对于A,由余弦定理可得,
由于，故为直角三角形，A正确，
对于B，三角形的三边长分别为，
，，，故,
则该三角形最大角与最小角之和为,B正确，
对于C，由正弦定理可得,由于，故，C正确，
对于D，由可得,
所以，由于,所以，进而,故，因此三角形为钝角三角形，D错误，
故选：ABC
25．在中，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若为锐角三角形，则
C．若，则一定是等腰三角形
D．若为钝角三角形，且，则的面积为或
【答案】ABD
【分析】对于A，可以根据大角对大边知道，再用正弦定理即可．
对于B, 根据锐角三角形，知道，即，因为且
结合在区间单调递增，得到，再用诱导公式即可．
对于C，切化弦，再用二倍角公式转化即可．
对于D，用余弦定理求出，再分类讨论即可．
【详解】对于A：因为，所以，所以，A正确；
对于B：因为是锐角三角形，所以，即，
因为且，在区间单调递增，
所以，B正确；
对于C：，
即，即，
所以，而A,B为三角形内角，
所以或者，
所以是等腰三角形或者直角三角形，C错误；
对于D：易求出 ，而，所以，
化简可得，解得或者，
当时，，此时是最大角且，
所以满足钝角三角形，此时，
当时，，此时为最大角且，
所以满足钝角三角形，，此时D正确．
故选：ABD.
26．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列说法中正确的是（ ）
A．若为锐角三角形，则
B．若，则为等腰或直角三角形
C．若，则不一定为直角三角形
D．若，则解的个数为1
【答案】ABD
【分析】对于A，利用结合诱导公式判断，对于B，利用二倍角公式化简后，再利用正余弦定理统一成边的形式，化简可判断，对于C，先利用二倍角公式化简已知等式，再结合正余弦定理化角为边，化简运算即可判断，对于D，利用余弦定理求出的值，即可判断.
【详解】对于A，因为为锐角三角形，所以，所以，
所以，所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，
所以，化简得，
所以，所以或，
所以为等腰或直角三角形，所以B正确，
对于C，因为，所以，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
所以一定是直角三角形，所以C错误，
对于D，由余弦定理得，
所以只有一个解，所以解的个数为1，所以D正确，
故选：ABD
27．已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．在锐角中，不等式恒成立
C．若，，且有唯一解，则或
D．若，的平分线交AC于点D，，则的最大值为9.
【答案】BC
【分析】用余弦定理统一成边形式化简判断出A的真假；由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得B选项的真假；根据边角的关系与解的数量判断C的真假；根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案，判断出D的真假．
【详解】对于A，因为，由余弦定理可得：，
所以有，整理可得，
所以或，故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
对于B，若为锐角三角形，所以，故，
由正弦函数在单调递增，则，故B正确．
对于C，若有一个解，则或，所以或，故C正确．
选项D，的平分线交于点，，
由，由角平分线性质和三角形面积公式得，
得，即，得，
得，
当且仅当，即时，取等号，故D错误．

故选：BC．
28．在中，角，，所对的边依次为，，，已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．为钝角三角形
C．若，则的面积是
D．若的外接圆半径是，内切圆半径为，则
【答案】BCD
【分析】由正弦定理可得，设，，，即可判断A，利用余弦定理求出，即可判断B，结合A求出边，再结合B求出，最后由面积公式判断C，首先由正弦定理求出，利用等面积法求出，即可判断D.
【详解】因为，
由正弦定理，可得，
设，，，
则，故A错误；
由题意可知，为最大角，
因为，故为钝角，故B正确；
若，则，，，
又，所以，
所以的面积，故C正确；
由正弦定理得，，即，
由面积公式可得，
即，
所以，
所以，故，故D正确．
故选：BCD．
29．已知 的内角的对边分别为，且，下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则 有两解
C．当时， 为直角三角形
D．若 为锐角三角形，则 的取值范围是
【答案】ACD
【分析】通过正弦定理、诱导公式、二倍角公式及辅助角公式即可判断A；通过余弦定理即可判断B；通过余弦定理及可得或，即可判断C；通过求的取值范围，并将即可判断D.
【详解】对于A，因为，
所以由及正弦定理得，，
由诱导公式得，，
因为，故，所以，
化解得，即，
所以或，即（舍）或，故A正确；
对于B，由余弦定理得，即，得，
由，所以(负值舍)，即有一解，故B错误；
对于C，因为，两边平方得，
由余弦定理得，
由两式消得，，解得或，
由解得，
由解得;
故为直角三角形，故C正确；
对于D，因为为锐角三角形，且，
所以，
即，
所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
30．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列叙述正确的是（ ）
A．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个
B．若，则为钝角三角形
C．若不是直角三角形，则
D．若，则为等腰三角形
【答案】ABC
【分析】利用正弦定理及三角形的性质可判定A，由正弦定理及余弦定理可判定B，由正切的和角公式可判定C，由正弦定理及二倍角公式可判定D.
【详解】对于A，可知，而，则，，
即满足条件的C只有一个，故A正确；
对于B，若，所以，
则，故B正确；
对于C，易知，
整理得，故C正确；
对于D，若，即，
又，且的余弦值同号，则，即，
所以或，故D错误.
故选：ABC
考点04：三角形面积定值问题
三角形面积公式
①
②其中分别为内切圆半径及的周长
推导：将分为三个分别以的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可得到上述公式
③（为外接圆的半径）
推导：将代入可得
将代入
可得
④
⑤海伦公式（其中）
推导：根据余弦定理的推论
令，整理得
31．在中，，，，则的面积为 .
【答案】/
【分析】利用余弦定理求出，再求,即可由面积公式求解.．
【详解】中，，，，
由余弦定理得 ,
由于，所以，
所以的面积为：
故答案为：
32．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为 ．
【答案】
【分析】因为，，，利用余弦定理求出，由三角形的面积公式，即可求得.
【详解】由余弦定理，，
代入，，，
得，即，
解得或（舍去），
则的面积为.
故答案为：.
33．已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
(1)求角的大小；
(2)若，，求的面积．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由余弦定理可得答案；
（2）由正弦定理得，结合求出，再由三角形的面积公式可得答案.
【详解】（1）由，
，
由，；
（2），由正弦定理得①，
又②，
联立①②解得，，
．
34．已知锐角的内角的对边分别为，向量，且．
(1)求；
(2)若的面积为，求．
【答案】(1)．
(2)．
【分析】（1）根据向量垂直结论得到三角函数式子，后运用正弦定理进行边角互化即可；
（2）运用面积公式得到方程，结合条件,求出,再用余弦定理求即可.
【详解】（1）由题意得，
由正弦定理得，
又，所以，则，即．
因为，所以．
（2）由，
得，结合，得．
由余弦定理得，
得．
35．的内角，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，再利用余弦定理可得角；
（2）根据余弦定理，结合三角形面积，可得，进而可得周长.
【详解】（1）因为，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
又，
则；
（2）由已知，即，
又，即，
所以，
所以的周长为.
36．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
(1)求A；
(2)若D为上一点，平分，且，，求的面积.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）用二倍角公式将化为，再边角互化，三角恒等变换化解即可；
（2）用等面积法和用余弦定理结合即可求解．
【详解】（1）因为
由正弦定理得
化简得
又因为
所以
由于，所以
则，即
（2）如图所示，
因为
所以，即
由余弦定理知.即
所以，解得或（舍去）
所以．
37．已知的内角的对边分别为，.
(1)求;
(2)若的面积为，求和.
【答案】(1)(2)，
【分析】（1）利用正弦定理进行边换角得到，则；
（2）根据三角形面积公式即可得值，再利用余弦定理即可得到值.
【详解】（1）由正弦定理：，那么，由于，
则，则，且，故.
（2）由于，则，
根据余弦定理：，
那么.
38．在中，．
(1)求；
(2)若的面积是，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）用余弦定理进行边角互化可解；
（2）由面积公式得到，再用余弦定理和基本不等式可解.
【详解】（1），用余弦定理得到，，化简得到，则，,则.
（2）由于,．
由余弦定理可得，当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
39．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，
(1)求B；
(2)若的面积为，求c．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由余弦定理、平方关系依次求出，最后结合已知得的值即可；
（2）首先求出，然后由正弦定理可将均用含有的式子表示，结合三角形面积公式即可列方程求解.
【详解】（1）由余弦定理有，对比已知，
可得，
因为，所以，
从而，
又因为，即，
注意到，
所以.
（2）由（1）可得，，，从而，，
而，
由正弦定理有，
从而，
由三角形面积公式可知，的面积可表示为
，
由已知的面积为，可得，
所以.
40．平面四边形中，，，，．
(1)求；
(2)求四边形周长的取值范围；
(3)若为边上一点，且满足，，求的面积．
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）首先求出，再由余弦定理计算可得；
（2）在中利用余弦定理及基本不等式求出的取值范围，即可求出的范围，即可求出四边形周长的取值范围；
（3）依题意可得，即可求出、、，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.
【详解】（1）因为，，所以，
在中由余弦定理
；
（2）在中，
即，
所以，所以，当且仅当时取等号，
又，
则，即，所以，
所以，
即四边形周长的取值范围为；
（3）因为，所以，又，
所以，，又，所以，
在中由余弦定理，
即
在中由余弦定理，
即，
又，所以，
所以，
又，所以，
即，所以，
所以，所以，
所以.
.
考点05：三角形面积最值问题
正规方法：面积公式+基本不等式
①
②
③

41．已知三个内角，，的对边分别是，，，且满足，则面积的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，由余弦定理以及三角形的面积公式可得，再利用两次基本不等式得到，从而得解.
【详解】因为，则，，即，
由余弦定理可得，又，
所以①，②，
①②可得，
又，即，
则
，
即，即，
解得，
当且仅当时，即，时，等号成立，
所以面积的最大值为.
故选：B.
42．在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，，则满足条件的△ABC有两个
C．若D是边BC上一点，满足，且，则△ABC面积的最大值为
D．若△ABC为锐角三角形，D是边BC上一点（不含端点），满足，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】A根据面积公式和余弦定理得即可判断；B根据正弦定理结合和角正弦公式可得，根据正弦定理得，结合角的范围即可判断；C根据题意，平方后得，结合基本不等式得，根据面积公式即可判断；D令，则，根据正弦定理得，弦化切后分离常数，结合角的范围即可判断.
【详解】对于A，，则，
根据余弦定理得，即，
由，故A正确；
对于B，根据正弦定理可得，,
即，
由，，
根据正弦定理得，，
由，故只有一解，故B错误；
对于C，，
，即，
，，即，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，即△ABC面积的最大值为，故C正确；
对于D，令，则，
在中，根据正弦定理得，
，
在上单调递减，
所以当时，有最大值，
当时，有最小值，
所以的取值范围是，故D正确.
故选：ACD.
43．在中，已知点满足.
(1)若，求的长度；
(2)若，求面积的取值范围.
【答案】(1)
(2).
【分析】（1）在，中，由正弦定理得，从而确定，再由两边同时平方，即可得.
（2）根据题意得，在中，由余弦定理得，则代入即可.
【详解】（1）因为，,
即,
所以，
在，中，由正弦定理得
,
又因为，
所以，即，
又因为,所以，故，
所以，
即
所以，故.
（2）因为，且，
所以.
在中，由余弦定理得
，
故，
即，当且仅当取等号，
所以,
所以的面积取值范围为.
44．在中，内角所对的边分别为，向量，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值；
(3)求的值域
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）由向量垂直的坐标表示、余弦定理可得答案；
（2）由余弦定理、基本不等式可得答案；
（3）由的范围求出的范围，再根据的取值范围可得答案．
【详解】（1），，
由正弦定理得，，，
，且，；
（2），根据余弦定理得，
即，，，
当且仅当时，等号成立，
所以，即面积的最大值为；
（3），，，
，的取值范围是．
45．已知在中，，在线段上，且.
(1)若是的中点，求面积的最大值；
(2)若，求面积的最小值.
【答案】(1)2(2)1
【分析】（1）利用同角三角函数的关系求出，由是的中点，得，两边平方化简后结合基本不等式可求得，再利用三角形的面积公式可求得其最大值；
（2）利用两角差的正弦公式表示出，由结合基本不等式可求得，再利用三角形的面积公式可求得其最小值.
【详解】（1）因为，，
所以，
因为是的中点，所以，
所以，
所以，
所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积为，当且仅当时取等号，
所以面积的最大值为2；
（2）由（1）知，，
，
因为，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，所以，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以面积的最小值为1.
46．在中，为角对应的边，为的面积.且.
(1)求；
(2)若，求内切圆半径的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据三角形得面积公式结合正弦定理化角为边，再根据余弦定理即可得解；
（2）根据，可得，再根据余弦定理将用表示，再化简，再结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，
由正弦定理得，
整理得，
由余弦定理得，
又，所以；
（2）设内切圆的半径为，
则，
所以，
又，所以，
则，
由，得，
当且仅当时取等号，
所以，
即内切圆半径的最大值为.
47．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且.
(1)求；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由余弦定理将化为，再利用余弦定理可求,则得到；
（2）由，利用基本不等式可得，又，则利用三角形的面积公式，即可求出面积的最大值.
【详解】（1）由余弦定理得，
化简得，
所以在中由余弦定理可得，
又因为，所以.
（2）由（1）知，由，，，所以，
当且仅当时取等号，所以，
所以，
故面积的最大值为.
48．在中，角，，的对边分别为，，，且.
(1)若，且的面积为，求的长度；
(2)若为锐角三角形，，求的面积的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理进行边化角运算，根据展开化简，再由辅助角公式计算可求出的值，再由三角形面积公式和边的等量关系，可求出边，从而求出相应边长，余弦定理即可求出长；
（2）法一：根据题意，由余弦定理可求出等量关系，由三角形为锐角三角形建立边的不等式组，求解可解出边的范围，三角形面积公式即可求出结果；法二：正弦定理求解边的范围，代入三角形面积公式可求出结果.
【详解】（1）由及正弦定理，得，
因为，且，
所以，即，
因为，所以，即；
由的面积为，得，
，，
又因为，，，，，，
在中，由余弦定理，得，
所以．
（2）法一：由余弦定理，得，
将代入，整理，得，
因为为锐角三角形，
，即，解得：，
.
法二：，
因为为锐角三角形，
，，，
，.
49．如图，已知平面四边形中，.
(1)若四点共圆，求；
(2)求四边形面积的最大值.
【答案】(1)(2).
【分析】（1）在、中分别利用余弦定理表示出，再由四点共圆得到，即可求出；；
（2）由（1）可得，再由面积公式得到，将两式平方再相加得到，结合余弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）在中，由余弦定理得：
，
在中，由余弦定理得：
，
因为四点共圆，所以，因此，
上述两式相加得：，所以（负值已舍去）.
（2）由（1）得：，
化简得，
则①，
四边形的面积
，
整理得，
则②
①②相加得：，
即，
由于，
所以当且仅当时，取得最小值，
此时四边形的面积最大，由，解得，
故四边形面积的最大值为.
50．在中，内角的对边分别是，，.
(1)求角的大小；
(2)设的平分线与交于点，当的面积最大时，求的长.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据正弦定理和三角恒等变换的化简计算即可求解；
（2）由（1），根据余弦定理可得，利用基本不等式和三角形面积公式知当且仅当时满足题意，结合正弦定理计算即可求解.
【详解】（1），
所以，
由正弦定理得，
即，
得，又，
所以，即，又，
所以；
（2）由余弦定理得
即，而，
，即，
.当且仅当取等号
此时，则，
在中，由正弦定理得，
即，解得.
考点06： 三角形周长定值问题
类型一：已知一角与两边乘积模型
第一步：求两边乘积
第二步：利用余弦定理求出两边之和
类型二：已知一角与三角等量模型
第一步：求三角各自的大小
第二步：利用正弦定理求出三边的长度
51．在中，角所对的边为，已知.
(1)求；
(2)若，，求的周长.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由正弦定理及两角和差正弦公式计算求出正切值求角即可；
（2）由正弦定理结合和比定理求出进而得出周长即可.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
在中，，
，，
.
（2），
，
所以的周长为.
52．在条件①，②，③中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.
已知的内角，，的对边分别为，，，且满足______.
(1)求；
(2)的内角平分线交于点，若的面积为，，求的周长.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）应用正弦定理边角关系及三角恒等变换求出三角函数值，再结合角的范围求教即可；
（2）把三角形面积结合角平分线得出边长，再应用余弦定理得出,即可得出边长.
【详解】（1）若选①，
，
，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
，解得.
，
.
若选②，
由正弦定理得，
即，
，
.
，，
，，
.
若选③，
由正弦定理得，，
即，
所以，
即，
，，整理得，
即，，，
，即.
（2），
，即.
又，
.
.
，
的周长为.
53．在中，，在边上，且.
(1)若，求的周长;
(2)求周长的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由余弦定理求出，，从而求出三角形的周长；
（2）设，则，由三角形三边关系求出，由余弦定理得到，表达出的周长为，，构造函数，求导得到其单调性，从而求出最大值.
【详解】（1）若，则，
又，，
所以，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得
，
故，
故的周长为；
（2）由（1）知，，
设，则，
由三边关系可得，解得，
在中，由余弦定理得，
在中，由余弦定理得
故，
所以的周长为，
令，，
则，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
最大值为.
54．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．
(1)证明：是锐角三角形；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）先根据正弦定理以及余弦定理求解出的值，然后根据的值分析出的范围，从而确定出的范围，由此可完成证明；
（2）先求解出的值，然后根据正弦定理求解出的值，由此可求的周长.
【详解】（1），
由正弦定理得，
整理得．
由余弦定理得．
，．
，，，
，均小于，
是锐角三角形．
（2），，
又，，
在中，由正弦定理得，
即，，，
的周长为．
55．在中，内角的对边分别为，已知，且．
(1)求A；
(2)已知角A的平分线交于点M，若，求的周长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简求得，得到，即可求解；
（2）根据题意，利用，化简得到，再由余弦定理，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】（1）解：因为，由正弦定理得，
所以，
又因为，
所以，
可得，
因为，可得，所以，所以，
又因为，所以.
（2）解：因为，交的内角平分线交于点，且，
，
又因为，
所以，可得，
由余弦定理得：
，
整理得，解得或（舍去），
所以，即的周长为.
56．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角的大小；
(2)若的面积为，，求的周长.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由，余弦定理边化角，利用同角三角函数的商数关系化简，再由正弦定理边化角，得，可得角的大小；
（2）由的面积求出，再由余弦定理求出，可得的周长.
【详解】（1）中，由，得，
由余弦定理得，
即，
由正弦定理得，
，，得，
，则.
（2）若的面积为，则，得，
，由余弦定理，得，
解得，
的周长为.
57．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c， 且 .
(1)求角A的大小;
(2)若，且的面积为，求的周长.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边化简，再结合余弦定理即可求得答案；
（2）根据三角形面积求得，再利用余弦定理求出的值，即可得答案.
【详解】（1）因为，故，
而，即，即，
所以，
因为，故；
（2）由（1）可知，
的面积为，即，故；
又，即，
则，
故的周长为.
58．在中，内角的对边分别为，且满足
(1)求；
(2)若的面积，求的周长.
【答案】(1)；(2)9.
【分析】（1）利用正余弦定理计算即可；
（2）利用余弦定理及三角形面积公式计算即可.
【详解】（1）由正弦定理可知，
因为中，，所以；
（2）由三角形面积公式及（1）可知：，
由余弦定理，
所以的周长为.
59．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A；
(2)若，求的周长．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）已知利用正弦定理边化角，再利用三角恒等变换化简得，可得角A；
（2）利用向量数量积的运算，求出，得为等边三角形，可求周长.
【详解】（1）∵中，，
由正弦定理知，，
由，得，
则有，
得，又，
则有，由，解得．
（2），由，则，得，
由，有，
得，解得，
又，为等边三角形，，
所以的周长为.
60．在中，角，，所对的边分别为，，，，.
(1)求的面积；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)(2)3
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和的真想公司化简，可得，利用三角形面积公式即可求得答案；
（2）由余弦定理推出，继而求出的值，即可得答案.
【详解】（1）由已知，在中有，故，
即，
即，而，所以，
又，故的面积为.
（2）由余弦定理，得，可得，
所以，
所以，即，
所以的周长为3.
考点07： 三角形周长最值问题
高端结论：在中，已知,
其中 分别是的系数，其中
周长往往求
则 其中
61．在中，，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则有两解B．面积有最大值
C．若是钝角三角形，则BC边上的高AD的范围为D．周长最大值为6
【答案】ABC
【分析】对于A，根据判断即可；对于BCD，均可先由正弦定理边化角得，，再依次由、、结合三角恒等变换公式以及三角函数值的范围即可研究面积、高和周长的取值范围.
【详解】对于A，由正弦定理得，所以，
故有两解，故A正确；
对于B，由题及正弦定理得，，
所以
，
又，所以，所以，
所以，
所以，
所以面积最大值为.故B正确；
对于C，因为，
所以对于BC边上的高AD，角或角为钝角的情况是等价的，不妨令角C为钝角，
因为，
所以由选项B有，
则由得，所以，
所以，所以，
所以若是钝角三角形，则BC边上的高AD的范围为.
对于D，由选项B得周长为
，
又，所以，所以，
所以最大值为，
即周长最大值为.故D错误；
故选：ABC.
62．已知在锐角中，内角所对的边分别为，，，若的面积为，，则（ ）
A．B．边的取值范围是
C．面积取值范围是D．周长取值范围是
【答案】ABC
【分析】A选项，由余弦定理得到，得到；B选项，由正弦定理得到，根据为锐角三角形，得到，从而得到；C选项，在B选项基础上得到；D选项，由正弦定理得到，结合B选项，得到周长的取值范围.
【详解】A选项，由题意得，即，
因为，所以，A正确；
B选项，由正弦定理得，
故，
因为锐角中，，所以，
解得，故，
，B正确；
C选项，由B可知，，故，
面积取值范围是，C正确；
D选项，由正弦定理得，故，
因为，所以，
故，
所以周长取值范围是，D错误.
故选：ABC
63．在中，角所对的边分别为，已知，则下列判断中正确的是（ ）
A．若，则B．若，则该三角形有两解
C．周长有最大值12D．面积有最小值
【答案】ABC
【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由正弦定理得，根据三角恒等变换解决即可.
【详解】对于A，，，由正弦定理得，
所以，故A正确；
对于B，由正弦定理得得，所以，
因为，则有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由，得
，
所以，当且仅当时取等号，此时三角形为等边三角形，周长最大，周长为12，故C正确；
对于D，由得,
故
由于，无最小值，
所以面积无最小值，有最大值为，故D错误.
故选：ABC.
64．在中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，求的周长l的取值范围．
【答案】(1)(2)．
【分析】（1）由正弦定理化边为角化简求解即得；（2）由正弦定理，根据边及角得， 再将周长化边为角，结合辅助角公式求解范围可得.
【详解】（1）由正弦定理，得，
∵，，
∴，即，
又∵，则，
，则；
（2）由（1）及正弦定理可知，，
，
，
∴，
又，，∴，
∴，
∴，即，
∴的周长l的取值范围为．
65．已知，，，函数，且在区间上的最大值为.
(1)求m的值；
(2)锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求的周长l的取值范围.
【答案】(1)1(2)
【分析】
（1）利用向量的坐标运算以及倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可求实数的值；
（2）根据正弦定理结合三角恒等变换及三角函数的图象与性质进行求解．
【详解】（1）
，
， ，
当时，即时，函数取得最大值，
则．
（2）
，
，由于为锐角，所以，则，
由，得，
，
，
，
，则，
的周长的取值范围是．
66．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．
(1)求角B的大小；
(2)设，的面积为S，周长为L，求的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】
（1）先根据正弦定理进行边化角，然后再根据弦化切求解出的值，则可知；
（2）先根据正弦定理将表示为角的正弦形式，然后表示出三角形面积和周长，利用二倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合正弦型函数的性质可求的最大值.
【详解】（1）因为，所以，
又因为，所以，所以，
所以，
又因为，所以.
（2）因为，所以，
所以，
所以，
又因为，所以，
所以
，
又因为，所以，所以，
当且仅当，即时有最大值为，
综上所述，的最大值为.
67．记的内角，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知．
(1)求a；
(2)若，求的周长l的取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）结合二倍角公式与正弦定理，化简已知等式，即可得解；
（2）解法一：由余弦定理得，结合基本不等式与完全平方公式可得，再由三角形三边关系可得周长取值范围；解法二：由正弦定理可得，，再利用三角恒等变换公式推出，然后根据正弦函数的图象与性质求解．
【详解】（1）因为，
所以，
又，，所以，
根据正弦定理可得，所以．
（2）解法一：因为，，
所以由余弦定理可得，即．
因为，所以，
所以，当且仅当时，取到最值
又，所以，即周长l的取值范围为．
解法二：由正弦定理知，，
所以，，
所以
，
因为，所以，所以,，
所以,，
所以,，
故的周长的取值范围为,．
68．设的内角所对边分别为，若．
(1)求的值;
(2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积．
【答案】(1)2(2)
【分析】（1）变形得到，由正弦定理得到，得到答案；
（2）由题意得到，由正弦定理和余弦定理得到，求出，由，求出当时，周长最小，进而由三角形面积求出答案.
【详解】（1）因为，所以，因为，
所以，
所以，由正弦定理，得，即．
（2）由可得：，故，于是，
由正弦定理及余弦定理可得：
，
解得：(舍)或者，故，
因为，所以当时，周长最小，此时，
所以，所以的面积为．
69．记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求C；
(2)若为锐角三角形，，求周长范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）应用正弦定理及余弦定理解三角形即可；
（2）先应用正弦定理用角表示边长，再根据锐角三角形求角的范围，最后求三角函数的值域即得.
【详解】（1）在中，由射影定理得，
则题述条件化简为，
由余弦定理得．
可得
所以.
（2）在中，
由正弦定理得，
则周长，
因为，则，
因为为锐角三角形，，
则得，
故．
70．设的内角所对的边分别为，已知向量，，且．
(1)求角的大小；
(2)若，求的周长取值范围．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据向量数量积的坐标运算和正弦定理边化角可化简已知等式求得，由的范围可求得；
（2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到，根据正弦型函数值域的求法可求得的取值范围，进而得到周长的取值范围.
【详解】（1），，
，，，即，
，.
（2）由正弦定理得：，，，
；
，，，
，，
即周长的取值范围为.